第7章 [微拓展] 三余弦定理(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学讲义聚焦立体几何核心考点，以三余弦定理（最小角定理）为核心，串联线面角、异面直线所成角等高考高频考点，按“定理阐述—内涵解读—典例应用”逻辑架构知识，通过考点梳理（明确公式中三个角的含义）、方法指导（三余弦公式应用步骤）、真题训练（三棱柱、正四面体实例）环节，帮助学生突破立体几何角度计算难点，体现复习的系统性与针对性。 资料特色在于创新“定理工具化”教学策略，如在正四面体线面角问题中，引导学生用三余弦定理建立cos∠AOC=cosθ·cos∠HOC的关系，培养数学思维（推理能力）与空间观念（数学眼光）。通过对比几何法与定理法优化解题路径，配合技法点拨与典型例题，保障复习效率，助力学生提升立体几何解题速度，为教师精准把控复习节奏提供实用参考。

　三余弦定理 三余弦定理：如图，设AO是平面α的一条斜线段,O是斜足，B为A在平面α内的射影，OC为平面α内的任一直线，则cos ∠AOC＝cos ∠AOB·cos ∠BOC. 三余弦定理描述了线面角是斜线与平面内任意直线所成角的最小值，又称最小角定理．（平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角 　已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 【解析】　方法一(三余弦定理)：如图1，取BC的中点O，连接AO，A1O，由三棱柱的性质可知，CC1∥AA1，则∠A1AB或其补角即为异面直线AB与CC1所成的角．由三余弦定理可得cos ∠A1AB＝cos ∠A1AO·cos ∠OAB. 设三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为2a， 易知cos ∠OAB＝，AO＝a， 由题意知A1O⊥平面ABC，则cos ∠A1AO＝＝，所以cos ∠A1AB＝×＝. 　 方法二(几何法)：如图2，取BC的中点O，连接AO，A1O，A1B.由三棱柱的性质可知，CC1∥AA1，则∠A1AB或其补角即为异面直线AB与CC1所成的角． 设三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为2a，易知OB＝a，AO＝a，由题意知A1O⊥平面ABC，则A1O＝＝a，A1B＝＝a. 在△A1AB中，由余弦定理的推论可得 cos ∠A1AB＝＝. 【答案】　D 【技法点拨】　使用三余弦定理时，关键弄清公式cos θ＝cos θ1·cos θ2中三个角的含义：θ为斜线与动直线所成角，θ1为线面角，θ2为射影与动直线所成角． 　如图在正四面体ABOC中，直线OA与平面OBC所成的角为θ，则tan θ＝(　　) A. B． C． D． 解析：选A. 设H为△OBC的中心，取BC的中点P，连接OP， 则AH⊥平面BOC，∠AOH就是直线OA与平面OBC所成的角θ， 在正四面体ABOC中，∠AOC＝60°，∠HOC＝30°，由三余弦定理可得cos ∠AOC＝cos θ·cos ∠HOC，即cos 60°＝cos θ·cos 30°，所以cos θ＝，从而sin θ＝，即tan θ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $