第7章 一题一课 空间几何体的截面问题(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学高考复习讲义聚焦立体几何截面问题，覆盖截面作法（直接法、延长线法、平行线法）、形状判断及相关计算等核心考点，按“基础方法—探究应用—真题演练”逻辑架构知识，通过考点梳理、方法指导（如作截面三原则）、典例精讲等环节，帮助学生构建系统解题思路。 资料特色在于立足教材（如人教A版例3）与创新探究结合，采用直观演示（正方体截面图示）与逻辑推理（线面垂直证明）培养学生几何直观与空间观念。设置分层练习（选择、填空），配合即时反馈，高效突破截面周长、面积等难点，提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

在立体几何中，截面是指用一个平面去截几何体所得到的平面图形．截面问题在高中数学中十分常见，多面体中截面的作法常有以下方法： (1)直接法：有两点在多面体的同一个面上，连接这两点即为多面体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程． (2)延长线法：若直线相交，但在多面体中未体现，可以通过作延长线的方法找到交点，然后借助交点找到交线． (3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到多面体与截面的交线． 人教A版必修第二册P138例3 如图所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′. （1）要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？ （2）所画的线与平面AC是什么位置关系？ 感悟　作截面应遵循如下三个原则：(1)在同一平面上的两点可引直线；(2)凡是相交的直线都要画出它们的交点；(3)凡是相交的平面都要画出它们的交线．解答与截面相关问题需要把握两点：一是画出截面的形状；二是影响截面形状的因素，比如几何体形状、截取方式．常见问题有判断截面的形状、求截面的面积、周长及相关的最值等．下面我们从其他角度对截面问题进行探究！ 探究一　截面图形的形状判断 　(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，用垂直于AC1的平面截此正方体，则所得截面可能是(　　) A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【解析】　如图所示． 在正方体中，BD⊥AC，BD⊥AA1，又AC∩AA1＝A，AC，AA1⊂平面AA1C1C，则BD⊥平面AA1C1C，又AC1⊂平面AA1C1C，则BD⊥AC1，同理，BA1⊥AC1，又BD∩BA1＝B，BD，BA1⊂平面BDA1，所以AC1⊥平面BDA1，同理，AC1⊥平面CB1D1，由直线与平面垂直的性质得与平面BDA1和平面CB1D1平行的平面都与AC1垂直，由图知在平面BDA1和平面CB1D1之间的平面，截正方体所得截面的形状为六边形；在平面BDA1和平面CB1D1之外的平面，截正方体所得截面的形状为三角形． 【答案】　AD 【技法点拨】　判断几何体被一个平面所截得的截面形状，关键在于弄清这个平面与几何体的面相交成线的形状和位置． 探究二　截面图形的计算 　(1)在三棱锥P-ABC中，AB＋2PC＝9，E为线段AP上靠近点P的三等分点，过E作平行于AB，PC的平面，则该平面截三棱锥P-ABC所得截面的周长为(　　) A．5 B．6 C．8 D．9 (2)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AA1，BC，CC1的中点，则平面EFG截正方体所截得的截面面积为________________________________________________________________________． 【解析】　(1)如图所示 ，在三棱锥P-ABC中，过E分别作EF∥AB，EH∥PC.过点H作HG∥AB，连接FG，可得EF∥HG，故E，F，G，H四点共面，因为AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，所以AB∥平面EFGH，同理可证，PC∥平面EFGH，因为PC⊂平面PBC，平面PBC∩平面EFGH＝FG，所以PC∥FG，故EH∥FG，所以截面即为平行四边形EFGH，又由E为线段AP上靠近点P的三等分点，且AB＋2PC＝9，所以EF＝AB，EH＝PC，所以平行四边形EFGH的周长为2(EF＋EH)＝(AB＋2PC)＝6. (2)如图，延长GF交B1B的延长线于点N，连接EN交AB于点P，则P为AB的中点，连接PF，取D1C1的中点K，D1A1的中点J，连接KG，EJ，KJ，则KG∥EP，EJ∥GF，KJ∥PF，故平面EFG截正方体所截得的截面图形为正六边形，且边长为，所以截面面积为6××××＝. 【答案】　(1)B　(2) 【技法点拨】　有关几何体截面的计算问题，关键在于根据公理作出所求的截面，再运用平面几何的相关知识解决． 1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是线段BB1上靠近B1的三等分点，点F是线段D1C1上靠近D1的三等分点，则平面AEF截正方体ABCD-A1B1C1D1形成的截面图形为(　　) A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 解析：选C. 如图，设AB＝6，分别延长AE，A1B1交于点G，此时B1G＝3，连接FG交B1C1于H，连接EH，设平面AEF与平面DCC1D1的交线为l，则F∈l，因为平面ABB1A1∥平面DCC1D1，平面AEF∩平面ABB1A1＝AE，平面AEF∩平面DCC1D1＝l，所以l∥AE，设l∩D1D＝I，则FI∥AE，此时△FD1I∽△ABE，故ID1＝，连接AI，所以五边形AIFHE为所求截面图形． 2．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为A1B1，B1C1的中点，过M，N的平面截该正方体所得截面为四边形，则该截面的最大面积为(　　) A．2 B．2 C． D． 解析：选D.如图所示，面积最大的截面四边形为等腰梯形MNCA，其中MN＝， AC＝2，AM＝CN＝，高为h＝＝，故面积为×(＋2)×＝. 3．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱DD1的中点，N为棱B1C1的中点，设直线A1D1与平面MNC交于点Q，则D1Q＝(　　) A．2 B． C．1 D． 解析：选D.在平面CDD1C1中，延长CM，C1D1交于点P，连接PN，交A1D1于Q， 在△PCC1中，D1M∥CC1，D1M＝CC1， 则D1P＝C1D1， 又在△PC1N中，D1Q∥NC1，D1P＝C1D1， 则D1Q＝NC1＝B1C1＝. 4．已知正四面体棱长为4，所有与它四个顶点距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为(　　) A．4 B．4 C．12＋4 D．16＋4 解析：选C.如图1，E，F，G分别为正四面体棱的中点，此时它的四个顶点到截面EFG的距离相等，△EFG是边长为2的等边三角形，S△EFG＝，这样的截面有4个．如图2，E，F，M，N分别为正四面体棱的中点，此时它的四个顶点到截面EFMN的距离相等，四边形EFMN是边长为2的正方形，S正方形EFMN＝4，这样的截面有3个．所以满足条件的截面的面积之和为12＋4. 5．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝，AA1＝3，M为线段BB1上的一动点，则过A，M，C1三点的 平面截该三棱柱所得截面的最小周长为____________． 解析：由题意可知过A，M，C1三点的平面截该三棱柱所得截面的周长即△AMC1的周长，因为直三棱柱ABC-A1B1C1的各侧面均为矩形，所以AC1＝＝， 直三棱柱ABC-A1B1C1的部分侧面展开图如图所示，则在矩形ACC1A1中，AM＋MC1≥AC1＝＝3，所以过A，M，C1三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为3＋. 答案：3＋ 学科网（北京）股份有限公司 $