第7章 第8讲 空间向量的应用(一)(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学讲义聚焦空间向量应用核心考点，涵盖方向向量、法向量概念，线线、线面、面面平行垂直的向量表示及空间距离计算，按“概念-关系-距离”逻辑架构知识体系。通过考点梳理（表格对比位置关系）、方法指导（向量法证明与距离公式）、真题训练（分层例题与练习），帮助学生系统突破难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以数学眼光抽象空间关系，用数学思维构建向量运算逻辑，创新采用“坐标系建立-向量求解-结论推导”三步教学法，如证明线面平行时，引导学生建立坐标系求法向量，通过向量垂直关系论证。设置基础判断、中档计算、综合证明分层练习，配合即时解析，保障复习效果，助力学生建立解题框架，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第8讲　空间向量的应用(一) 课标要求　1.理解直线的方向向量及平面的法向量．　2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．　3.了解利用空间向量求空间距离的方法，会求点到直线的距离、点到平面的距离，体会空间向量在研究立体几何中的作用． 1．直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的方向向量． (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量． (3)方向向量和法向量均是非零向量且不唯一． 2．空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔ n1＝kn2(k∈R) l1⊥l2 n1⊥n2⇔ n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔n·m＝0 l⊥α n∥m⇔n＝km(k∈R) 续　表 位置关系 向量表示 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝km(k∈R) α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 3.空间距离 (1)点到直线的距离：如图，直线l的单位方向向量为u，设 ＝a，则向量 在直线l上的投影向量 ＝(a·u)u，则点P到直线l的距离PQ＝＝. (2)点到平面的距离：如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离PQ＝＝＝. (3)直线到平面的距离、平面到平面的距离都可以转化为点到平面的距离． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的．(　　) (2)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.(　　) (3)点到直线的距离也就是该点到直线上任意一点连线的长度．(　　) (4)直线l平行于平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　) A．异面 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 解析：选B.由A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)， 得＝(－3，－3，3)，＝(1，1，－1)，则＝－3，即∥，而＝(2，0，－2)，显然向量，不共线，即点C不在直线AB上，所以直线AB与CD平行． 3．若平面α过点A(2，3，0)且该平面的一个法向量为n＝(2，1，1)，则点P(－4，－9，30)到平面α的距离为(　　) A． B． C．2 D．2 解析：选A.＝(－6，－12，30)，点P(－4，－9，30)到平面α的距离为＝＝. 4．已知平面α的一个法向量为n＝(1，－1，2)，＝(2，0，－1)，那么直线AB与平面α的位置关系是____________________． 解析：由题可得n·＝1×2＋(－1)×0＋2×(－1)＝0，故n⊥，则AB∥α或AB⊂α. 答案：AB∥α或AB⊂α 5．在空间直角坐标系中，已知点A(1，2，0)，B(0，1，0)，P(2，2，2)，则点P到直线AB的距离为__________． 解析：依题意得＝(－1，－1，0)，＝(1，0，2)，则点P到直线AB的距离 d＝ ＝ ＝. 答案： 考点一　证明平行、垂直 　如图， 已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，点E和F分别为BC和A1C的中点．求证： (1)EF∥平面A1B1BA； (2)平面AEA1⊥平面BCB1. 【证明】　因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC. 因为AA1⊥平面ABC， 所以以E为原点，过点E作平行于AA1的直线为z轴，EC，EA所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为AB＝3，BE＝，所以AE＝2， 所以E(0，0，0)，C(，0，0)， A(0，2，0)，B(－，0，0)，A1(0，2，)， 则F(，1，). (1)＝(，1，)，＝(－，－2，0)，＝(0，0, ). 设平面A1B1BA的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 取所以n＝(－2，，0)是平面A1B1BA的一个法向量． 因为·n＝×(－2)＋1×＋×0＝0，所以⊥n. 又EF⊄平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA. (2)因为AA1⊥平面ABC，EC⊂平面ABC， 所以AA1⊥EC，又EC⊥AE，AE∩AA1＝A，AE，AA1⊂平面AEA1，所以EC⊥平面AEA1，所以＝(，0，0)为平面AEA1的一个法向量． 同理易证EA⊥平面BCB1，所以＝(0，2，0)为平面BCB1的一个法向量． 因为·＝0，所以⊥， 故平面AEA1⊥平面BCB1. 【感悟进阶】　利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤 　如图， 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点． (1)求证：B1E⊥AD1； (2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，请说明理由． 解： 以点A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝a. (1)证明：A(0，0，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，E(，1，0)，B1(a，0，1)，故＝(0，1，1)，＝(－，1，－1).因为·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，因此⊥，所以B1E⊥AD1. (2)存在满足题意的点P，且AP＝，理由如下：假设在棱AA1上存在一点P(0，0，z0)，0≤z0≤1，使得DP∥平面B1AE，此时＝(0，－1，z0).设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z)，＝(a，0，1)，＝(，1，0)，则即取x＝1，则y＝－，z＝－a，则平面B1AE的一个法向量为n＝(1，－，－a).要使DP∥平面B1AE，需满足n⊥，则－az0＝0，解得z0＝.所以在棱AA1上存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝. 考点二　空间距离 角度1　点到直线的距离 　(2026·安阳模拟)如图，在三棱锥S-ABC中，SA，SB，SC两两垂直，SC＝3，SB＝2，SA＝1，D为线段SC上靠近点C的三等分点，点E为△ABC的重心，则点E到直线BD的距离为(　　) A． B． C． D． 【解析】　以点S为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(2，0，0)，D(0，2，0)，A(0，0，1)，C(0，3，0)，则＝(2，－2，0). 因为点E为△ABC的重心， 所以E(，1，)， 则＝(，－1，－)， 所以|cos 〈，〉|＝＝＝， 所以sin 〈，〉＝＝， 所以点E到直线BD的距离为||·sin〈，〉＝×＝. 【答案】　B 【感悟进阶】　利用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)求直线的方向向量； (2)计算所求点与直线上某一点所构成的线段对应的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度； (3)利用勾股定理求解． 角度2　点到平面的距离 　在 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点． (1)求点A1到平面AEC1的距离； (2)求点B到平面AEC1的距离． 【解】　 (1)以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，1)，B(1，1，1)，A1(1，0，0)，C1(0，1，0)，E(1，，0)，所以＝(0，，－1)，＝(－1，，0). 设点A1到平面AEC1的距离为d，平面AEC1的法向量为n＝(x，y，z)， 则 取z＝1，则x＝1，y＝2，所以n＝(1，2，1). 又＝(0，，0)， 故d＝＝＝. (2)由(1)可知，平面AEC1的一个法向量为n＝(1，2，1)，＝(0，1，0)，故点B到平面AEC1的距离为＝＝. 【感悟进阶】　利用向量法求点到平面的距离的步骤 　1.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为平面A1ABB1的中心，E为BC的中点，则点O到直线A1E的距离为(　　) A． B． C． D． 解析：选A.以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意可知，O(1，，)，A1(1，0，1)，E(，1，0)， 所以＝(0，－，)，＝(－，1，－1)， 所以点O到直线A1E的距离为＝＝. 2．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝，D是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝1，则直线AB1到平面BC1D的距离为________． 解析：以B为坐标原点，BC, BA，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(0，0，0)，C1(1，0，1)，D(，，0)，A(0，1，0)，B1(0，0，1)，所以＝(1，0，1)，＝(，，0)，＝(0，－1，1).设平面BC1D的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1，则n＝(1，－1，－1).因为·n＝0×1＋(－1)×(－1)＋1×(－1)＝0，所以⊥n，又AB1⊄平面BC1D，所以AB1∥平面BC1D.设直线AB1到平面BC1D的距离为d，因为＝(0，1，0)，所以d＝＝，所以直线AB1到平面BC1D的距离为. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $