第7章 第7讲 空间向量的概念与运算(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学讲义聚焦空间向量的概念与运算，覆盖线性运算、共线共面向量定理、数量积及坐标运算等高考核心考点，按“概念-定理-运算-应用”逻辑架构知识体系，通过考点梳理（如定理公式表）、方法指导（如线性运算化简技巧）、真题训练（判断、选择、填空及解答题）等环节，帮助学生构建空间向量解题框架。 资料以几何模型为载体创新教学，如用斜三棱柱实例讲解共线共面定理，培养数学思维与推理能力，通过数量积求模和夹角的步骤化教学提升运算能力。设置基础巩固、能力提升分层练习，配合即时反馈，确保高效突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第7讲　空间向量的概念与运算 课标要求　1.掌握空间向量的线性运算．　2.理解共线向量定理与共面向量定理，并能解决相关问题．　3.掌握空间向量的数量积运算，能利用向量的数量积解决向量的夹角、模以及两向量的垂直问题． 1．空间向量的有关定理 2．空间向量的数量积及坐标运算 (1)两个非零空间向量的数量积 ①a·b＝|a||b|cos_〈a，b〉； ②a⊥b⇔a·b＝0； ③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝.　 (2)空间向量运算的坐标表示 类别 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘向量 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2， a3＝λb3(λ∈R，b≠0) 垂直 a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 (a≠0，b≠0) 夹角公式 cos 〈a，b〉＝＝ (a≠0，b≠0) 常用结论　 空间中三点共线、四点共面的充要条件 (1)在平面中，A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点(不与A，B，C重合). (2)在空间中，P与不共线三点A，B，C共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间中任意两个非零向量a，b共面．(　　) (2)对于非零向量b，若a·b＝b·c，则a＝c.(　　) (3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．(　　) (4)若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知空间中有三点A(1，－1，2)，B(3，0，－1)，C(2，3，－3)，则向量与的夹角为(　　) A． B． C． D． 解析：选C.由已知可得＝(2，1，－3)，＝(1，－3，2)，所以cos 〈，〉＝＝＝－.又〈，〉∈[0，π]，所以〈，〉＝. 3．(选择性必修第一册P12例1改编)如图，在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在上，且满足＝2，点N为线段BC的中点，则＝(　　) A.a－b＋c B．－a＋b＋c C．a－b－c D．a＋b－c 解析：选C.由题意可得＝－＝－(＋)＝－－＝a－b－c. 4．如果A(1，5，－2)，B(2，4，2)，C(a，3，b＋2)三点在同一直线上，那么a＝_____________， b＝_____________．　 解析：由题设，＝λ且λ∈R， 而＝(1，－1，4)，＝(a－2，－1，b)， 所以解得 答案：3　4 5．如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则||＝________． 解析：因为＝＋＋， 所以2＝2＋2＋2＋2· ＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144， 所以||＝12. 答案：12 考点一　空间向量的线性运算 　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点． (1)化简：－－＝_______________________________； (2)用，，表示，则＝ ____________． 【解析】　(1)－－＝(＋)－－＝＋(＋)－－＝. (2)＝＋＝＋ ＝(＋)＋ ＝＋＋. 【答案】　(1)　(2)＋＋ 【感悟进阶】　 　1.已知A(3，4，5)，B(0，2，1)，O(0，0，0)，若＝，则点C的坐标为(　　) A．(－，－，－) B．(，－，－) C．(－，－，) D．(，，) 解析：选A.设点C的坐标为(x，y，z)， 则＝(x，y，z). 又＝(－3，－2，－4)，＝， 所以x＝－，y＝－，z＝－. 2．如图，底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD，EC＝2PE，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　　) A．1 B．2 C． D． 解析：选A.由题意得＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋＝－＋＋(－)＝－＋， 又因为＝x＋y＋z， 所以x＝1，y＝－，z＝， 所以x＋y＋z＝1. 考点二　共线定理、共面定理的应用 　如图所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k(0≤k≤1). (1)向量是否与向量，共面？ (2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？ 【解】　(1)因为＝k，＝k，所以＝＋＋＝k＋＋k＝k(＋)＋＝k(＋)＋＝k＋＝－k＝－k(＋)＝(1－k)－k，所以由共面向量定理知向量与向量，共面． (2)当k＝0时，点M与点A重合，点N与点B重合，MN在平面ABB1A1内．当0＜k≤1时，MN不在平面ABB1A1内，又由(1)知与，共面，所以MN∥平面ABB1A1.　 【感悟进阶】　 　已知a，b，c是空间中不共面的向量，若＝2a－b＋c，＝a＋2b－c，＝－a＋mb＋nc. (1)若B，C，D三点共线，求m，n的值； (2)若A，B，C，D四点共面，求mn的最大值． 解：(1)因为B，C，D三点共线，设＝λ(λ∈R)， 又＝－＝－a＋3b－2c，＝－＝－3a＋(m＋1)b＋(n－1)c， 则解得 (2)因为A，B，C，D四点共面，设＝x＋y， 则－a＋mb＋nc＝x(2a－b＋c)＋y(a＋2b－c)＝(2x＋y)a＋(－x＋2y)b＋(x－y)c， 则解得3m＋5n＝－1， 所以mn＝m·() ＝－(m2＋m) ＝－(m＋)2＋， 当m＝－时，mn取到最大值. 考点三　空间向量数量积的应用 　如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.求： (1)AC1的长； (2)与夹角的余弦值． 【解】　记＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|b|＝|c|＝1， 〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， 所以a·b＝b·c＝c·a＝. (1)||2＝(a＋b＋c)2 ＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a) ＝1＋1＋1＋2×(＋＋)＝6， 所以||＝，即AC1的长为. (2)因为＝b＋c－a，＝a＋b， 所以||＝，||＝， ·＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1， 所以cos 〈，〉＝＝. 即与夹角的余弦值为. 【感悟进阶】　求空间向量的数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积； (3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模； (4)代入公式a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉求解． 　(2026·重庆期中)已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，点P是棱BB1上的动点(含端点)，M是棱D1C1上的动点，满足BP＝D1M，则·的最小值为(　　) A．0 B．－ C． D．1 解析：选A. 如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，设BP＝D1M＝a(0≤a≤1)，则P(1，1，a)，M(0，a，1)，所以＝(0，－1，－a)，＝(－1，a－1，1－a)，则·＝－(a－1)－a(1－a)＝a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，当且仅当a＝1时等号成立，则·的最小值为0. 学科网（北京）股份有限公司 $