第7章 第4讲 空间直线、平面的平行(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学高考复习讲义聚焦空间直线与平面平行核心考点，涵盖线面、面面平行的判定及性质定理，按“定理梳理-关系转化-考点突破”逻辑架构知识，通过基础判断、改编题、综合证明等环节，结合判定性质应用方法指导，帮助学生构建平行关系解题体系。 讲义创新采用“分层突破+情境化教学”策略，如线面平行判定中引导学生取中点构造平行四边形，培养空间观念与逻辑推理能力。设置基础巩固、能力提升分层练习，配合即时方法总结，高效突破难点，助力学生形成解题思维，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第4讲　空间直线、平面的平行 课标要求　1.以立体几何的定义和定理为出发点，了解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理． 2．能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形平行关系的简单命题． 1．线面平行的判定定理和性质定理 类别 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 ⇒l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与 交线平行 ⇒l∥b 2.面面平行的判定定理和性质定理 类别 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面内的两条 相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 ⇒α∥β 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面 相交，那么两条 交线平行 ⇒a∥b 常用结论　 1．平行关系中的三个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行． (2)平行于同一平面的两个平面平行． (3)垂直于同一个平面的两条直线平行． 2．三种平行关系的转化 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线l∥b，直线b⊂α，则l∥α.(　　) (2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．(　　) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(　　) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(必修第二册P143 T1(1)改编)如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(　　) A．一条直线不相交　 B．两条直线不相交 C．无数条直线不相交 D．任意一条直线都不相交 解析：选D.因为直线a∥平面α，直线a与平面α无公共点，因此直线a与平面α内的任意一条直线都不相交． 3．(用结论)(多选)已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，下列四个命题中正确的是(　　) A．若m∥n，n∥α，则m∥α B．若m∥α，n⊂α，则m∥n C.若α∥β，m⊂α，则m∥β D．若m⊥α，m⊥β，则α∥β 解析：选CD.若m∥n，n∥α，则m∥α或m⊂α，故A不正确；若m∥α，n⊂α，则m∥n或m与n异面，故B不正确；若α∥β，则α与β没有公共点，又因为m⊂α，所以m与β没有公共点，所以m∥β，故C正确；由线面垂直的性质可以证得，故D正确． 4．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为____________． 解析：连接BD，设AC∩BD＝O，连接OE(图略)，则OE∥BD1，OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE. 答案：平行 5．如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________． 解析：由面面平行的性质定理得，CD∥AB，所以＝，所以AB＝＝＝. 答案： 考点一　直线与平面平行 角度1　直线与平面平行的判定 　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为BC，PA的中点． 求证：EF∥平面PCD. 【证明】　方法一：取PD的中点H，连接HF，CH. 因为F为PA的中点，所以HF∥AD，且HF＝AD，又E为BC的中点，四边形ABCD为平行四边形，所以EC∥AD，且EC＝AD， 则HF∥EC，且HF＝EC，所以四边形EFHC为平行四边形，所以EF∥CH. 又EF⊄平面PCD，CH⊂平面PCD，故EF∥平面PCD. 方法二： 取AD的中点G，连接FG，EG，因为F是PA的中点，所以FG∥PD， 又FG⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以FG∥平面PCD， 同理得EG∥平面PCD. 又FG∩EG＝G，FG，EG⊂平面EFG，所以平面EFG∥平面PCD. 又EF⊂平面EFG，所以EF∥平面PCD. 【感悟进阶】　证明线面平行的两种常用方法 (1)判定定理法：关键是在平面内找出(或作出)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程； (2)性质判定法：即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面． 角度2　直线与平面平行的性质 　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，BC＝AD，E为AD的中点，F为棱PC上的点，平面BEF与棱PD相交于点G.求证：BE∥FG. 【证明】　因为E为AD的中点，所以DE＝AD＝BC.又因为DE∥BC，所以四边形BCDE为平行四边形，所以BE∥CD.又因为BE⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以BE∥平面PCD.因为BE⊂平面BEF，平面BEF∩平面PCD＝FG，所以BE∥FG. 【感悟进阶】　应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线． 　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 为平行四边形，N是PB的中点，过A，N，D三点的平面交PC于点M.求证： (1)PD∥平面ANC； (2)M是PC的中点． 证明：(1)连接BD，设AC∩BD＝O，连接NO， 因为底面ABCD是平行四边形， 所以O是BD的中点， 又N是PB的中点，所以PD∥NO， 又NO⊂平面ANC，PD⊄平面ANC， 所以PD∥平面ANC. (2)因为底面ABCD为平行四边形，所以AD∥BC，因为BC⊄平面ADMN，AD⊂平面ADMN，所以BC∥平面ADMN. 因为平面PBC∩平面ADMN＝MN，BC⊂平面PBC，所以BC∥MN，又N是PB的中点，所以M是PC的中点． 考点二　平面与平面平行 　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点． (1)求证：平面A1C1G∥平面BEF； (2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点． 【证明】　(1)因为E，F分别为B1C1，A1B1的中点，所以EF∥A1C1，因为A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G，所以EF∥平面A1C1G，因为F，G分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，所以A1F綉BG，所以四边形A1GBF为平行四边形，则BF∥A1G，因为A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G，所以BF∥平面A1C1G，又EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BEF，所以平面A1C1G∥平面BEF. (2)因为平面A1C1G∩BC＝H，BC⊂平面ABC，所以平面A1C1G与平面ABC有公共点H，又平面A1C1G与平面ABC有公共点G，所以平面A1C1G∩平面ABC＝GH，因为平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，所以A1C1∥GH，则GH∥AC，因为G为AB的中点，所以H为BC的中点． 【感悟进阶】　 注意　利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明在一个平面内的两条直线是相交直线． 　如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，E，F分别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF. (1)求证：平面OEF∥平面PCD. (2)若平面ABCD∩平面OEF＝l，求证：AB∥l. 证明：(1)因为E，F分别是棱PA，PB的中点，所以EF∥AB.因为四边形ABCD为菱形， 所以AB∥CD，所以EF∥CD.又CD⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，所以EF∥平面PCD. 又O是BD的中点，所以FO∥PD. 又PD⊂平面PCD，FO⊄平面PCD， 所以FO∥平面PCD. 因为FO∩EF＝F，FO，EF⊂平面OEF，所以平面OEF∥平面PCD. (2)由(1)可知平面OEF∥平面PCD， 又平面ABCD∩平面OEF＝l，平面ABCD∩平面PCD＝CD，所以CD∥l.又因为四边形ABCD为菱形，所以AB∥CD，故AB∥l. 考点三　平行关系的综合应用 　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且＝＝. (1)求证：PQ∥平面A1D1DA； (2)若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明． 【解】　(1)证明：如图，连接CP并延长与DA的延长线交于M点，连接MD1， 因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD，故△PBC∽△PDM，所以＝＝，又因为＝，所以＝＝，所以PQ∥MD1.又MD1⊂平面A1D1DA，PQ⊄平面A1D1DA，故PQ∥平面A1D1DA. (2)当的值为时，能使平面PQR∥平面A1D1DA.如图，证明 如下：因为＝，即＝，故＝，所以PR∥DA.又DA⊂平面A1D1DA，PR⊄平面A1D1DA，所以PR∥平面A1D1DA.又由(1)知PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR⊂平面PQR，所以平面PQR∥平面A1D1DA. 【感悟进阶】　利用线面平行的判定和性质定理，可以实现与线线、面面平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用观察特殊位置或函数思想来解决． 　如图所 示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若该截面为平行四边形． (1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH； (2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围． 解：(1)证明：因为四边形EFGH为平行四边形，所以EF∥HG.因为HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，所以EF∥平面ABD.又因为EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，所以EF∥AB，又因为EF⊂平面EFGH，AB⊄平面EFGH，所以AB∥平面EFGH. 同理可得CD∥平面EFGH. (2)设EF＝x(0<x<4)， 由(1)知EF∥AB，FG∥CD，所以＝， 则＝＝＝1－， 所以FG＝6－x， 因为四边形EFGH为平行四边形，所以四边形 EFGH 的周长L＝2(x＋6－x)＝12－x.又因为0<x<4，所以8<L<12，故四边形EFGH周长的取值范围是(8，12). 学科网（北京）股份有限公司 $