第6章 第3讲 等比数列(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学讲义聚焦等比数列高考核心考点，涵盖概念、通项公式、前n项和公式及性质，按“概念-公式-性质-结论-题型”逻辑架构梳理知识内在联系。通过考点分类讲解、解题方法指导、真题与变式训练等环节，帮助学生突破基本量运算、判定证明、性质应用难点，体现复习的系统性与针对性。 资料突出分层教学与核心素养培养，设置概念辨析判断题、教材改编题及综合应用题，如利用“m+n=p+q则a_m a_n=a_p a_q”性质简化运算，培养数学思维。通过真题变式延伸（如前4项和到前20项和）提升数学语言表达能力，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第3讲　等比数列 课标要求　1.理解等比数列的概念并掌握其通项公式与前n项和公式．　2.能在具体的问题情境中发现数列的等比关系，并解决相应的问题．　3.体会等比数列与指数函数的关系． 1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)，定义的表达式为＝q. (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab. 提醒　(1)等比数列中的项不含有0； (2)同号的两个数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数． 2．等比数列的基本公式 (1)通项公式：an＝a1qn-1． (2)前n项和公式： Sn＝ 提醒　在求等比数列的前n项和时，易忽略q＝1这一特殊情形． 3．等比数列的常用性质 已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)； (2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则aman＝apaq＝a； (3)若数列{an}，{bn}(项数相同)都是等比数列，则{λan}(λ≠0)，{}，{a}，{anbn}，{}仍然是等比数列； (4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk； (5)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn；当公比为－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…不一定构成等比数列． 常用结论　 1．等比数列的单调性 当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1>0时，{an}是递减数列；当q＝1时，{an}是常数列． 2．等比数列的常用结论 (1)Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn； (2)若a1a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列； (3)若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)等比数列{an}的公比q＞1，则该数列为递增数列．(　　) (2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.　(　　) (3)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．(　　) (4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(选择性必修第二册P31T3改编)若等比数列{an}满足a1＋a2＝2，a1－a3＝3，则数列{an}的公比为(　　) A．－或 B．或－ C．－ D． 解析：选C.设等比数列{an}的公比为q，易知q≠－1，a1≠0，则＝＝1－q，又a1－a3＝3，a1＋a2＝2，所以1－q＝，所以q＝－. 3．(用结论)已知{an}是递增的等比数列，且a2<0，则其公比q满足(　　) A．q<－1 B．－1<q<0 C．q>1 D．0<q<1 解析：选D.{an}是等比数列，故an＝a1qn-1，当q<0时，{an}各项正负项间隔，故q>0，显然q≠1，由a2＝a1q<0得a1<0，又{an}是递增的等比数列，故{qn-1}为递减数列，由指数函数的单调性知0<q<1. 4．已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和，若a1＝1，公比q＝2，Sn＝31，则n＝________． 解析：由题意知Sn＝＝＝31，解得n＝5. 答案：5 5．在等比数列{an}中，a3＝3，a5a9＝27，则a11＝________．　 解析：由a5a9＝a3a11得3a11＝27，故a11＝9. 答案：9 考点一　等比数列基本量的运算 　(1)(2026·苏锡常镇调研)已知Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4＝4a3－4a2，则＝(　　) A．5 B．9 C．－9 D．－5 (2)(多选)(2025·全国二卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q>0.若S3＝7，a3＝1，则(　　) A．q＝ B．a5＝ C．S5＝8 D．an＋Sn＝8 【解析】　(1)设等比数列{an}的公比为q，由a4＝4a3－4a2，得a2q2＝4a2q－4a2，则q2＝4q－4，解得q＝2，所以＝＝5. (2)对于A，由题意得 结合q＞0，解得故A正确； 对于B，a5＝a1q4＝4×()4＝，故B错误； 对于C，S5＝＝＝，故C错误； 对于D，an＝4×()n-1＝23-n，Sn＝＝8－23-n，则an＋Sn＝23-n＋8－23-n＝8，故D正确． 【答案】　(1)A　(2)AD 【感悟进阶】　等比数列基本量运算的解题策略 (1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解． (2)解方程组时常常利用“作商”消元法． (3)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解． 　1.(2026·株洲模拟)记等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝a·2n－4，则a1＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：选C.设等比数列{an}的公比为q.由等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·2n－4，可得q≠1，又Sn＝＝－qn＋，所以a＝4，所以Sn＝4·2n－4，所以a1＝S1＝4×2－4＝4. 2．已知在正项等比数列{an}中，a1＝1，a6＝4a4，记Sn为数列{an}的前n项和，若Sm＝63，则m＝________． 解析：设等比数列{an}的公比为q，则q＞0，且q＝＝2，且Sm＝＝2m－1＝63，所以2m＝64，解得m＝6. 答案：6 考点二　等比数列的判定与证明 　(2025·浙江教育联盟联考)已知数列{an}的首项a1＝－1，且满足an＋1＝. (1)求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)若数列的前n和为Sn，求Sn. 【解】　(1)因为－1＝－1＝ ＝(－1)，又－1＝－2， 所以数列是以－2为首项，为公比的等比数列，所以－1＝－2×()n-1＝－，故＝1－. (2)Sn＝＋＋＋…＋ ＝n－2×(＋＋＋…＋) ＝n－2× ＝n－3＋＝n－3＋31-n. 【感悟进阶】　 注意　在解答题中证明一个数列为等比数列时，用定义法和等比中项法；如果要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续的三项不成等比数列即可． 　记等差数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是正项等比数列，且a1＝b1＝2，S10＝11a5，b3－b2＝a2. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)证明是等比数列． 解：(1)由题意，设等差数列{an}的公差为d，则S10＝10×2＋d＝11(2＋4d)，解得d＝2，则an＝2＋(n－1)×2＝2n； 设正项等比数列{bn}的公比为q(q>0)， 由题意可得，b3－b2＝2q2－2q＝4，解得q＝2或q＝－1(舍去)，故bn＝2·2n-1＝2n. (2)证明：令cn＝＝＝，则＝，又c1＝ ，故是首项为，公比为的等比数列． 考点三　等比数列的性质 角度1　项的性质 　(多选)(2026·辽宁段考)已知等比数列{an}中，a3＋a4＝40，a3－a5＝30，则(　　) A．公比为 B．a2 025＝16a2 027 C．当n≥6时，an< D．{an}的前10项积为1 【解析】　设等比数列{an}的公比为q. 由得 解得故A正确； a2 027＝a2 025q2＝a2 025，则a2 025＝16a2 027，故B正确； an＝a3qn-3＝211-2n，当n≥6时，11－2n≤－1，则an≤2-1＝，故C错误； 由an＝211-2n，则a5＝2，a6＝，则a5a6＝2×＝1，可得{an}的前10项积为(a5a6)5＝1，故D正确． 【答案】　ABD 【感悟进阶】　在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用等比数列的性质，特别是“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度． 角度2　和的性质 　(2025·全国一卷)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于________． 【解析】　方法一(基本量法)：设等比数列为{an}，其公比为q，前n项和为Sn，因为等比数列{an}的各项均为正数，所以q>0，又S4＝4，S8＝68，所以q≠1.由S4＝4得＝4①，由S8＝68得＝68②，得＝，即＝1＋q4＝17，所以q4＝16，又q>0，所以q＝2. 方法二(性质法)：设等比数列为{an}，其公比为q，前n项和为Sn，因为等比数列{an}的各项均为正数，所以q>0，因为S4＝4，S8＝68，所以S8－S4＝64，因为S4，S8－S4，S12－S8，…成等比数列，且公比为q4，所以q4＝＝＝16，又q>0，所以q＝2. 【答案】　2 　　真题源于教材人教A版选择性必修第二册P37 T5.如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这个数列的公比等于多少？ 相似度　两题均是围绕等比数列公比求解，解题思路相同，均是基于等比数列的前n项和公式来构建关于公比q的方程求解． 变式点　真题可以从改变已知和、调整所求量、引入负数项、改变项数关系等方面进行变式，可考察不同的解题思路． [变式1]　若一个等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该数列的前20项的和为 ________． 解析：设等比数列为{an}，其公比为q，前n项和为Sn，因为S4＝4，S8＝68，所以S8－S4＝64，因为S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，S20－S16，…成等比数列，且公比为q4，所以q4＝＝＝16， S20＝S4＋(S8－S4)＋(S12－S8)＋(S16－S12)＋(S20－S16)＝＝279 620. 答案：279 620 [变式2]　已知等比数列{an}的前10项中，所有奇数项之和为85，所有偶数项之和为170，则a3＋a6＋a9＋a12＝________． 解析：设等比数列{an}的公比为q，由解得 所以a3＋a6＋a9＋a12＝a3(1＋q3＋q6＋q9)＝a1q2(1＋q3)(1＋q6)＝585. 答案：585 【感悟进阶】　等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征，即可找出解决问题的突破口． 　1.(2026·安庆模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2a5＝2a4，且a3与2a6的等差中项为，则S4＝(　　) A．33 B．31 C．17 D．15 解析：选D.设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由题意得a2a5＝a3a4＝2a4，又因为a4≠0，所以a3＝2，因为a3与2a6的等差中项为，所以a3＋2a6＝2×，则a6＝，故q＝＝，所以a1＝＝8， 故S4＝＝＝15. 2．(2026·南通质量监测)已知数列{an}为等比数列，a1＝512，公比q＝，则数列{an}的前n项积Tn最大时，n＝(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选B.因为a1＝512，公比q＝，所以an＝512·()n-1＝211-2n，所以当1≤n≤5时，an>1；当n≥6时，0<an<1.又Tn是数列{an}的前n项积，则当n＝5时，Tn取得最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $