第6章 第1讲 数列的概念及简单表示法(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学高考复习讲义聚焦数列概念及简单表示法核心考点，涵盖数列定义、表示方法及函数特征，按概念辨析、方法提炼、真题应用逻辑架构知识体系，通过判断正误夯实基础、改编题精讲突破an与Sn关系等难点、分层训练提升解题能力，体现复习的系统性与针对性。 资料突出数学思维与实践结合，如分析递推关系时引导学生用累加法累乘法推理通项，结合函数单调性判断数列最值培养抽象能力。设置基础巩固与能力提升练习，配合即时反馈，助力教师精准把控节奏，有效提升学生用数学语言表达和解决问题的应考能力。

第1讲　数列的概念及简单表示法 课标要求　1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表法、图象法、公式法).　2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数． 1．数列的概念 概念 含义 数列 按照确定的顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项an与序号n之间的关系式 前n项和 数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an 提醒　数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号． 2．数列的分类及性质 3．数列的表示方法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点(n，an)画在平面直角坐 标系中 公式法 通项 公式 把数列的通项用公式表示 递推 公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 常用结论　 1．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝ 2．若an＋k＝an(k∈N*)，则数列{an}为周期数列，k为{an}的一个周期． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列1，2，3与3，2，1是两个不同的数列．(　　) (2)若数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＝Sn－Sn－1.(　　) (3)若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点.(　　) (4)一个确定的数列，它的通项公式只有一个．　(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．(选择性必修第二册P5例3改编)已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋2n，那么120是这个数列的(　　) A．第9项 B．第10项 C．第11项 D．第12项 解析：选B.令n2＋2n＝120，解得n＝－12(舍去)或n＝10，所以120是数列{an}的第10项． 3．已知{an}是一个无穷数列，“a2>a1”是“{an}为递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.a2>a1不能推出{an}为递增数列，但{an}为递增数列可以推出a2>a1.所以“a2>a1”是“{an}为递增数列”的必要不充分条件． 4．(选择性必修第二册P5例2(1)改编)若数列{an}的前4项分别是，－，，－，则此数列的一个通项公式为an＝________． 解析：由题意得该数列的奇数项为正数，偶数项为负数，第n项的绝对值为，故此数列的一个通项公式为an＝. 答案： 5．(用结论)已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋3，则数列{an}的通项公式为___________________________________． 解析：当n＝1时，a1＝S1＝4；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，又a1＝4不满足上式，所以an＝ 答案：an＝ 考点一　an与Sn的关系 　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝0，an＋1＋2Sn＝n，则a5＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 (2)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝________． 【解析】　(1)由题意得，2Sn＝－an＋1＋n，则当n≥2时，有2Sn－1＝－an＋n－1， 两式相减可得2(Sn－Sn－1)＝an－an＋1＋1，即an＋an＋1＝1. 当n＝1时，2S1＝－a2＋1，因为S1＝a1＝0，所以a2＝1，所以a3＝1－a2＝0，a4＝1－a3＝1，a5＝1－a4＝0. (2)当n＝1时，a1＝21＝2. 因为a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，① 故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n-1(n≥2)，② 由①－②，得nan＝2n－2n-1＝2n-1，所以an＝(n≥2). 显然当n＝1时不满足上式， 所以an＝ 【答案】　(1)B　(2) 【感悟进阶】　Sn与an关系问题的求解思路 (1)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)消去Sn，转化为an与an－1的关系求an； (2)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)消去an，转化为Sn与Sn－1的关系，求出Sn后再求an. 易错点　最后需检验当n＝1时的表达式是否可以与当n≥2时的表达式合并． 　1.已知数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn＝2an－1，则a5＝(　　) A．8 B．－8 C．16 D．－16 解析：选D.由题意，当n＝1时，3a1＝3S1＝2a1－1，解得a1＝－1，当n≥2，n∈N*时，3an＝3Sn－3Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)＝2an－2an－1，即an＝－2an－1，所以an＝(－1)·(－2)n-1，所以a5＝(－1)×(－2)5-1＝－16. 2．已知数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＝－，且满足Sn＋＋2＝an(n≥2)，则S3＝________． 解析：由Sn＋＋2＝an(n≥2)可得Sn＋＋2＝Sn－Sn－1，化简得Sn＝－(n≥2)，由a1＝－可得S2＝－＝－＝－，S3＝－＝－. 答案：－ 考点二　由数列的递推关系求通项公式 　(1)若数列{an}满足an＋1－an＝lg (1＋)，且a1＝1，则数列{an}的第100项为________． (2)设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋2)·an＋1－nan＝0(n∈N*)，则an＝__________________________________________________. 【解析】　(1)因为an＋1－an＝lg (1＋)＝lg ＝lg (n＋1)－lg n， 所以a100－a99＝lg 100－lg 99，…，a3－a2＝lg 3－lg 2，a2－a1＝lg 2－lg 1， 以上99个式子累加得a100－a1＝lg 100， 所以a100＝lg 100＋1＝2＋1＝3. (2)因为(n＋2)an＋1－nan＝0，所以＝，所以an＝a1····…··＝1××××…××＝(n≥2)， 又a1＝1满足上式，所以an＝. 【答案】　(1)3　(2) 【感悟进阶】　由递推关系求数列的通项公式的常用方法 易错点　根据累加法、累乘法求出an之后，注意检验a1是否满足an. 　1.已知数列{an}满足an＋1＝an＋a1＋2n，a10＝130，则a1＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选D.由题意可得an＋1－an＝a1＋2n， 则可得a2－a1＝a1＋2，a3－a2＝a1＋4， … a10－a9＝a1＋18， 将以上等式左右两边分别相加得 a10－a1＝9a1＋＝9a1＋90， 即a10＝10a1＋90，又a10＝130，所以a1＝4. 2．已知a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式为an＝________． 解析：因为＝2n，所以＝2n-1，＝2n-2，…，＝22，＝2，又a1＝2，以上各式累乘得an＝··…···a1＝2n-1×2n-2×…×22×2×2＝21+2+3+…＋(n-1)×2＝2+1＝2(n≥2)，且a1＝2也满足上式，所以an＝2. 答案：2 考点三　数列的函数特征 角度1　数列的周期性 　(2026·辽宁名校联考)已知数列{an}满足anan＋4＝－，a4＝，则a200＝(　　) A． B．－ C．0 D．－ 【解析】　由anan＋4＝－，得an≠0且an＋4an＋8＝－，所以an＋8an＋4＝anan＋4， 故an＋8＝an，所以{an}是以8为周期的周期数列，又a4＝，a4a8＝－，所以a8＝－，所以a200＝a25×8＝a8＝－. 【答案】　B 【感悟进阶】　解决数列周期性问题的方法：先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 角度2　数列的单调性 　已知数列{an}满足an＝ 若数列{an}为递增数列，则实数a的取值范围为(　　) A．(1，7) B．(2，7) C．(2，6) D．(6，7) 【解析】　因为数列{an}为递增数列， 所以必有 解得a∈(2，6). 【答案】　C 【感悟进阶】　解决数列单调性问题的方法 (1)作差比较法：根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列，还是常数列． (2)作商比较法：根据(an≠0)与1的大小关系进行判断． (3)函数法：结合相应的函数图象直观判断． 角度3　数列的最大(小)项 　已知数列{bn}满足bn＝，则当n＝________时，bn取最大值为________． 【解析】　方法一：bn－bn－1＝－＝，所以当n≤4时，bn>bn－1，当n≥5时，bn<bn－1，所以{bn}先增后减，故当n＝4时，(bn)max＝b4＝. 方法二：令即 解得≤n≤，又n∈N*，故n＝4， 故当n＝4时，(bn)max＝b4＝. 【答案】　4　 【感悟进阶】　求数列的最大项或最小项的常用方法 (1)函数法：利用函数的单调性求最值． (2)利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项． 　1.已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n－16，则数列{an}的最小项是(　　) A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项 解析：选B.数列{an}中，由an＋1＝an＋3n－16，得an＋1－an＝3n－16，由3n－16<0，得n≤5，则当n≤5时，an＋1<an；当n≥6时，an＋1>an，即a1>a2>a3>a4>a5>a6<a7<a8<…，所以数列{an}的最小项是第6项． 2．设f(x)定义如表，数列{xn}满足x1＝5，xn＋1＝f(xn)，则x211＝________． x 1 2 3 4 5 6 f(x) 4 5 1 2 6 3 解析：由题可知x1＝5，x2＝f(x1)＝f(5)＝6， x3＝f(x2)＝f(6)＝3， x4＝f(x3)＝f(3)＝1， x5＝f(x4)＝f(1)＝4， x6＝f(x5)＝f(4)＝2， x7＝f(x6)＝f(2)＝5＝x1， 即数列{xn}是以6为周期的周期数列，所以x211＝x35×6＋1＝x1＝5. 答案：5 学科网（北京）股份有限公司 $