第4章 第1讲 任意角和弧度制、三角函数的概念(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

第1讲　任意角和弧度制、三角函数的概念

课标要求　1.了解任意角、弧度制的概念．　2.能进行弧度与角度的互化．　3.借助单位圆理解三角函数(正弦函数、余弦函数、正切函数)的定义．

1．角的概念的推广

(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．

(2)分类：按旋转方向不同分为正角、负角、零角；按终边位置不同分为象限角和轴线角．

(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

提醒　终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．

2．弧度制的定义和公式

(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．

(2)公式

 

提醒　角度与弧度换算的关键是π rad＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．

3．任意角的三角函数

(1)定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．

(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．

提醒　定义的推广：设P(x，y)是角α的终边上异于顶点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0).

常用结论　

1．α的终边所在象限与的终边所在象限的关系

2.象限角与轴线角

(1)象限角

(2)轴线角

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.(　　)

(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(　　)

(3)不相等的角终边一定不相同．(　　)

(4)若角α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√

2．(必修第一册P175练习T1改编)－660°＝(　　)

A．－π rad    B．－π rad

C．－π rad    D．－π rad

解析：选C．－660°＝－660× rad＝－π rad.　

3．(用结论)已知α是第一象限角，那么是(　　)

A．第一象限角   

B．第二象限角

C．第一或第二象限角   

D．第一或第三象限角

解析：选D．易知2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，故kπ<<＋kπ，k∈Z，所以是第一或第三象限角．

4．已知半径为3的圆弧所对的圆心角为，则该圆弧所在的扇形面积为________．

解析：由题意，扇形面积为S＝αr2＝××32＝.

答案：

5．(必修第一册P180T3改编)已知角α的终边经过点P(2，－3)，则sin α＝_________，tan α＝________________________________.