高中数学单元测试——第3章函数的概念与性质（适中版02）

**基本信息** 聚焦函数概念与性质，通过基础巩固、能力提升、创新应用题梯度设计，适配单元复习，培养数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数定义域（第2题）、同一函数判断（第3题）|基础概念辨析，落实数学抽象| |多选题|3/18|奇函数性质（第10题）、函数单调性（第11题）|概念多维度考查，培养推理意识| |填空题|3/15|函数单调性参数范围（第13题）|性质应用，提升数学思维| |解答题|5/77|奇函数解析式（第15题）、利润函数建模（第17题）、不动点问题（第19题）|综合应用，贴近高考命题，发展数学建模与创新意识|

高中数学单元测试 —— 第3章函数的概念与性质（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】令求出的值，再代入计算可得. 【详解】因为，令，解得， 所以. 故选：B 2．（本题5分）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得且， 故函数的定义域为. 故选：B. 3．（本题5分）下列四组函数中，与表示同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用同一函数的定义，逐项分析判断得解. 【详解】对于A，函数的定义域为R，值域为，函数的定义域、值域均为R，A不是同一函数； 对于B，函数的定义域为，的定义域为R，B不是同一函数； 对于C，函数与的定义域均为，且，C是同一函数； 对于D，函数的定义域、值域均为R，的定义域为R，值域为，D不是同一函数. 故选：C 4．（本题5分）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用的解析式，将替换为即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 5．（本题5分）函数的部分图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数定义，排除C，D，再根据时函数值的符号判断A、B即可. 【详解】因为，所以， 所以的图象关于原点中心对称，排除C，D， 当时，，排除B． 故选：A． 6．（本题5分）已知函数的定义域为，满足对任意实数都有，，且，都有．若，总有，则实数的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】令可得为奇函数，由题意，且，有，再令，结合函数单调性的定义可知在上单调递减，则，，即可得出的最小值. 【详解】因为，令，可得， 令可得，即， 所以为奇函数，， 因为，都有，所以，且，有， 因为， 所以，在上单调递减， 所以，， 故的最小值为6， 故选：C 7．（本题5分）已知函数是定义在上的偶函数，若在区间上是增函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的性质，结合单调性列出不等式求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 不等式，即， 又因为在区间上是增函数，所以在区间上是减函数， 所以，即，解得， 所以不等式的解集是， 故选：C. 8．（本题5分）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先比较的大小，再由函数的单调性和奇偶性求解即可. 【详解】当时，恒成立， 可知函数在上单调递增， 又因为函数是偶函数， 所以， 设，则， 所以，又， 所以，所以， 又因为函数在上单调递增， 所以. 故选：A. 二、多选题 9．（本题6分）下列选项中，为上的函数有（    ） A．为“乘以” B．为“对应元素为或” C．为“求倒数” D．为“求平方根” 【答案】AC 【分析】根据函数的定义进行判断选项. 【详解】对于任意实数，乘以2得到都是唯一确定的，所以A正确； 对于任意，对应到4或5均有可能，不是唯一确定的，所以B错误； 对于任意，求倒数得到都是唯一确定的，所以C正确； 对于任意，求平方根得到不是唯一确定的，所以D错误. 故选:AC. 10．（本题6分）函数是定义在上的奇函数，下列说法中正确的是（   ） A． B．若在上为增函数，则在上为减函数 C．若在上有最小值，则在上有最大值1 D．，使 【答案】AC 【分析】根据奇函数的性质一一判断即可. 【详解】对于A：因为是定义在上的奇函数，所以，故A正确； 对于B：因为是定义在上的奇函数，且在上为增函数， 则在上为增函数，故B错误； 对于C：因为是定义在上的奇函数，则的图象关于原点对称， 又在上有最小值，所以在上有最大值，故C正确； 对于D：因为是定义在上的奇函数，则，都有，故D错误. 故选：AC 11．（本题6分）已知函数，则下列选项中正确的有（    ） A． B．若，则 C．在上单调递增 D．当时，，则的最小值为，最大值为 【答案】ABD 【分析】选项A和B，利用函数解析式，代入求解即可，选项C，利用分段函数、一次、二次函数的性质，即可求解；选项D，作出的图象，数形结合，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，所以，故选项A正确， 对于选项B，若，则，得到，满足题意， 若，则，即， 又，所以无解，故选项B正确， 对于选项C，当时，在区间上单调递增， 当时，，对称轴为，开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增，故选项C错误， 对于选项D，的图象如图， 由，得到，由，得到，解得， 由，得到，由，得到，解得或， 又时，， 由图知，当，或，或，时，满足题意， 所以的最小值为，最大值为，故选项D正确， 故选：ABD. 三、填空题 12．（本题5分）已知，，则的值为________ 【答案】 【分析】根据函数解析式代入得到方程，解得即可. 【详解】已知，所以，解得. 故答案为： 13．（本题5分）已知函数满足对任意的实数，都有，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】由不等式可以判断函数的单调性，结合分段函数的性质进行求解即可. 【详解】或，所以函数单调递增， 二次函数的对称轴为， 要想为实数集上的增函数， 只需， 故答案为： 14．（本题5分）已知函数若存在，使得成立，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】分，，，四种情况，进行讨论，结合函数单调性进行求解，得到答案. 【详解】当时，，由得， 故，， 由于在上单调递减，且， 故，所以； 当时，，由得， 故，， 由于在上单调递增，且， 故，所以； 当时，，由得， 故对恒成立，故满足要求； 当时，，同理可得满足要求； 综上，. 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）已知是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求的解析式； (2)求的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用奇函数性质求对称区间的解析式，及奇函数满足，即得答案； （2）求两个分段的二次函数值域，再求三段值域的并集即可. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ， 由题， 当， ， 所以， （2）在单调递增， 所以 在单调递增， 所以， 又因为， 所以的值域为. 16．（本题15分）已知函数． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象（不写画法），写出该函数的定义域、值域． 【答案】(1)； (2) 定义域为，值域为. 【详解】（1）当， ；当，. 故； （2）略 17．（本题15分）某厂家开发了一种新型机器人．根据开发及生产费用，该款机器人以每台7000元的价格投入市场．设该款机器人的产量为（单位：千台），若，则需投入生产费用万元；若，则需投入生产费用万元．假设销量等于产量． (1)求售出该款机器人所获利润（单位：万元）关于的函数关系式．（利润售价-生产费用） (2)当为多少时，该厂家售出该款机器人所获利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)当年产量为40千台时，该厂家售出该款机器人所获利润最大，最大利润是4920万元 【分析】（1）分和两种情况分别求出利润（万元）关于产量x（千台）的函数关系式，即得答案； （2）根据（1）的结论，分段求出函数的最大值，比较大小，即可求得答案. 【详解】（1）当时，， 当时，， ∴售出该款机器人所获利润关于的函数关系式为 （2）当时，， ∴当时，． 当时，， 当且仅当，即时，． ， ∴当年产量为40千台时，该厂家售出该款机器人所获利润最大，最大利润是4920万元． 18．（本题17分）已知函数是定义域为的奇函数，满足． (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)求关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由和代入求解即可； （2）由单调性的定义证明即可； （3）由函数单调性，结合奇偶性列出不等式组即可求解. 【详解】（1）由函数是定义域为的奇函数，可知可得， 即， 又，即，解得， 此时,定义域关于原点对称，且，符合题意， 所以，； （2）由（1）可得，该函数单调递增.用定义证明如下： 在任取，设，即， 则， 因为，所以，，， 即当时，，所以在区间上单调递增． （3）由题意， 由于是定义域为的奇函数， 所以， 由（2）知在区间上是增函数， 则，解得． 即不等式的解集为. 19．（本题17分）对于定义在上的函数，若，使得成立，则称为函数的不动点． (1)若，求的不动点； (2)对于二次函数． （i）当时，函数有唯一的不动点，求实数a的取值范围； （ii）若函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值． 【答案】(1) (2)（i） （ii） 【分析】（1）根据题意得到的解析式，然后根据不动点的定义计算即可； （2）（i）将时，有唯一的不动点转化为函数在上只有一个零点，然后列不等式求解即可； （ii）将有两个不相等的不动点，且转化为方程有两个不相等的正根，然后结合韦达定理和基本不等式求最值即可. 【详解】（1）， 则不动点满足，即， 整理得， 因为，所以， 当时，，解得，满足； 当时，，无解， 所以的不动点为. （2）（i）， 当时，有唯一的不动点，则方程只有一个解， 即函数在上只有一个零点， 当时，，，满足要求； 当，即时，，解得或， 时，，在上只有一个零点1， 时，，在上只有一个零点1， 所以的取值范围为. （ii）令，整理得， 则 ，解得， ， 令， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 【点睛】方法点睛：一元二次方程根的分布问题： （1）图形法：考虑开口、对称轴、和端点处函数值的正负等因素； （2）韦达定理的方法：根据和的正负判断根的正负. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第3章函数的概念与性质（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则（    ） A．0 B． C． D． 2．（本题5分）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）下列四组函数中，与表示同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（本题5分）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）函数的部分图象可能是（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知函数的定义域为，满足对任意实数都有，，且，都有．若，总有，则实数的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．（本题5分）已知函数是定义在上的偶函数，若在区间上是增函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列选项中，为上的函数有（    ） A．为“乘以” B．为“对应元素为或” C．为“求倒数” D．为“求平方根” 10．（本题6分）函数是定义在上的奇函数，下列说法中正确的是（   ） A． B．若在上为增函数，则在上为减函数 C．若在上有最小值，则在上有最大值1 D．，使 11．（本题6分）已知函数，则下列选项中正确的有（    ） A． B．若，则 C．在上单调递增 D．当时，，则的最小值为，最大值为 三、填空题 12．（本题5分）已知，，则的值为________ 13．（本题5分）已知函数满足对任意的实数，都有，则实数的取值范围是___________． 14．（本题5分）已知函数若存在，使得成立，则的取值范围是__________. 四、解答题 15．（本题13分）已知是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求的解析式； (2)求的值域. 16．（本题15分）已知函数． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象（不写画法），写出该函数的定义域、值域． 17．（本题15分）某厂家开发了一种新型机器人．根据开发及生产费用，该款机器人以每台7000元的价格投入市场．设该款机器人的产量为（单位：千台），若，则需投入生产费用万元；若，则需投入生产费用万元．假设销量等于产量． (1)求售出该款机器人所获利润（单位：万元）关于的函数关系式．（利润售价-生产费用） (2)当为多少时，该厂家售出该款机器人所获利润最大？最大利润是多少万元？ 18．（本题17分）已知函数是定义域为的奇函数，满足． (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)求关于的不等式的解集． 19．（本题17分）对于定义在上的函数，若，使得成立，则称为函数的不动点． (1)若，求的不动点； (2)对于二次函数． （i）当时，函数有唯一的不动点，求实数a的取值范围； （ii）若函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $