高中数学单元测试——第3章函数的概念与性质（适中版01）

**基本信息** 本单元卷聚焦函数概念与性质，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，结合机器人生产利润等科技情境，适配高中数学第三章单元复习，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数值、定义域、同一函数等基础概念|基础层面向核心概念聚焦，如第3题辨析函数同一性| |多选题|3/18|函数定义、奇偶性、最值|能力提升层综合概念辨析，如第10题结合奇函数性质判断| |填空题|3/15|解析式计算、单调性参数范围|考查运算能力，如第13题单调性求参数范围| |解答题|5/67|奇函数解析式、分段函数图像、实际利润应用、单调性证明、拟轴对称图形探究|创新应用层融合科技情境（如第17题机器人利润问题）与创新概念（如第19题拟轴对称），培养应用意识与创新思维|

高中数学单元测试 —— 第3章函数的概念与性质（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若函数，则（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意，直接代入，即可求解. 【详解】由函数，则. 故选：C. 2．（本题5分）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由解析式有意义列出不等式，解得函数定义域. 【详解】由题可知且，所以函数的定义域为． 故选：D． 3．（本题5分）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】利用相等函数的定义从函数三要素角度分析即可. 【详解】对于A，当为奇数时，， 所以，与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于B，为偶数时，，所以， 与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于C，与都可化为， 且定义域均为，故是同一个函数； 对于D，与的定义域都是， 是关于的二次函数，而是关于的函数， 当时为一次函数，当时为常数函数， 两函数对应关系不相同，故不是同一个函数. 故选：D. 4．（本题5分）若是一次函数，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出函数的解析式，再根据给定条件列出方程组，求解作答. 【详解】设，由题设有， 解得，所以． 故选：B． 5．（本题5分）函数在上的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和特殊点坐标判断即可. 【详解】令，的定义域为， ， 则是偶函数，其图象关于轴对称，排除选项； 又，则排除选项A. 故选：B. 6．（本题5分）已知函数的最小值为0，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据分段函数的最值计算求参. 【详解】因为函数的最小值为0，且当时，， 所以当时，的最小值为0． 在上单调递增，所以． 故选：A. 7．（本题5分）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析函数的单调性，然后解不等式、，分、两种情况解不等式即可. 【详解】当时，，则函数在上为增函数，且， 由于函数为上的增函数，故函数在上为增函数，且， 当时，由，可得；由，可得； 当时，由，可得；由，可得. 接下来解不等式， 当时，即当时，则可得或，可得； 当时，即当时，则可得或，可得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：C. 8．（本题5分）函数的定义域为R，满足，且对，.记，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，结合单调函数的定义可知在上单调递增，进而求解. 【详解】由题意知，， 由， 得， 因为，所以. 又， 所以在上单调递增，则， 即. 故选：B 二、多选题 9．（本题6分）下列选项中，为上的函数有（    ） A．为“乘以” B．为“对应元素为或” C．为“求倒数” D．为“求平方根” 【答案】AC 【分析】根据函数的定义进行判断选项. 【详解】对于任意实数，乘以2得到都是唯一确定的，所以A正确； 对于任意，对应到4或5均有可能，不是唯一确定的，所以B错误； 对于任意，求倒数得到都是唯一确定的，所以C正确； 对于任意，求平方根得到不是唯一确定的，所以D错误. 故选:AC. 10．（本题6分）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C． D．当时， 【答案】AD 【分析】AB选项，由奇函数得到，，进而得到，得到为偶函数，B错误；C选项，；D选项，由函数的奇偶性结合时的解析式，求出答案. 【详解】AB选项，因为是定义在R上的奇函数， 根据奇函数性质可知，，A正确； 的定义域为R，由于， 则， 即为偶函数，B错误； C选项，当时，，则， 故，C错误； D选项，当时，，则， 所以，D正确． 故选：AD． 11．（本题6分）已知，函数的最小值为，则满足条件的a的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】分三种情况讨论，化简函数的解析式，分析函数的单调性，结合可求得实数的值. 【详解】分以下三种情况讨论： ①若时，即当时，， 所以，函数在上单调递减，且， 当时，，所以，解得； ②若时，即当时，， 当时，， 当时，． 因为，所以，整理可得， 因为，解得（舍去）； ③当时，即当时，， 当时，， 当时，． 因为，所以， 整理可得，，解得或（舍去）． 综上所述，实数的取值集合为． 故选：AD． 三、填空题 12．（本题5分）已知，，则的值为________ 【答案】 【分析】根据函数解析式代入得到方程，解得即可. 【详解】已知，所以，解得. 故答案为： 13．（本题5分）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】代入临界值即可得到不等式，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，所以，解得， 则a的取值范围是. 故答案为：. 14．（本题5分）已知函数，（），若存在实数，，使得成立，则______． 【答案】 【分析】根据函数性质可得函数最大值与函数最小值，即，结合题意可得，，计算即可求解. 【详解】因为， 当且仅当时，取得最大值，， 当且仅当时，取得最小值2，所以． 又，所以，则，，． 四、解答题 15．（本题13分）已知是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求的解析式； (2)求的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用奇函数性质求对称区间的解析式，及奇函数满足，即得答案； （2）求两个分段的二次函数值域，再求三段值域的并集即可. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ， 由题， 当， ， 所以， （2）在单调递增， 所以 在单调递增， 所以， 又因为， 所以的值域为. 16．（本题15分）已知函数． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象（不写画法），写出该函数的定义域、值域． 【答案】(1)； (2) 定义域为，值域为. 【详解】（1）当， ；当，. 故； （2）略 17．（本题15分）某厂家开发了一种新型机器人．根据开发及生产费用，该款机器人以每台7000元的价格投入市场．设该款机器人的产量为（单位：千台），若，则需投入生产费用万元；若，则需投入生产费用万元．假设销量等于产量． (1)求售出该款机器人所获利润（单位：万元）关于的函数关系式．（利润售价-生产费用） (2)当为多少时，该厂家售出该款机器人所获利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)当年产量为40千台时，该厂家售出该款机器人所获利润最大，最大利润是4920万元 【分析】（1）分和两种情况分别求出利润（万元）关于产量x（千台）的函数关系式，即得答案； （2）根据（1）的结论，分段求出函数的最大值，比较大小，即可求得答案. 【详解】（1）当时，， 当时，， ∴售出该款机器人所获利润关于的函数关系式为 （2）当时，， ∴当时，． 当时，， 当且仅当，即时，． ， ∴当年产量为40千台时，该厂家售出该款机器人所获利润最大，最大利润是4920万元． 18．（本题17分）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求，的值； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (3)已知，若成立的一个充分不必要条件是，求的最大值. 【答案】(1)， (2) 在区间上单调递增. 证明如下： 任取，且， 则， 因为，且， 所以，，，， 故， 所以. 所以在区间上单调递增. (3). 【分析】（1）由题可得：，，代入函数计算即可； （2）利用单调性的定义即可证明； （3）结合奇偶性和单调性可将转化为，求出的范围，根据充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以， 即，解得， 所以， 又，所以，解得， 所以，经检验满足题意. （2）略 （3）等价于， 因为是定义在上的奇函数，所以原不等式转化为. 因为，所以， 当时，,原不等式为,即，不成立， 当时，， 又因为在区间上单调递增， 所以原不等式等价于，即，解得或， 又因为，所以或. 由，得. 又因为，所以. 因为成立的一个充分不必要条件是， 所以或， 所以，解得， 所以的最大值为. 19．（本题17分）设函数的定义域为D，若，都有，且，则的图象为关于直线对称的轴对称图形；若且，有，且，则的图象为关于直线对称的拟轴对称图形． (1)若函数的图象是关于直线对称的轴对称图形，求实数m的值； (2)判断函数的图象是否为关于y轴对称的拟轴对称图形，并说明理由； (3)若函数的图象是关于直线对称的拟轴对称图形，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)函数的图象不是关于y轴对称的拟轴对称图形，理由见解析. (3) 【分析】（1）由题意得对任意都成立，将条件代入解析式，整理计算，即可得答案. （2）由题意，需存在，使得，根据解析式，代入求解，可得，分析即可得答案. （3）设，由题意，需存在，使成立，分别讨论、和三种情况，分别求出解析式，令，根据对勾函数的性质，求得m范围，分析即可得答案. 【详解】（1）的定义域为R，由题意得对任意都成立， 所以， 展开整理得：， 即，所以，解得. （2）函数的图象不是关于y轴对称的拟轴对称图形，理由如下： 关于y轴对称，即，需存在，使得， 由，则， 所以，解得，与矛盾， 所以函数的图象不是关于y轴对称的拟轴对称图形. （3）设，由题意，需存在，使成立， 当时，，， 令，得，在上有解，且， 所以 ，令，，则， 所以， 令，根据对勾函数的性质可得在单调递增， 所以，所以即可； 当时，，， 令，得，解得，不符合题意； 当时，，， 令，得，在上有解，且， 所以，因为在单调递增， 所以，所以即可； 综上，实数m的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第3章函数的概念与性质（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若函数，则（   ） A． B．1 C． D．3 2．（本题5分）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．（本题5分）若是一次函数，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）函数在上的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知函数的最小值为0，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 7．（本题5分）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）函数的定义域为R，满足，且对，.记，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列选项中，为上的函数有（    ） A．为“乘以” B．为“对应元素为或” C．为“求倒数” D．为“求平方根” 10．（本题6分）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C． D．当时， 11．（本题6分）已知，函数的最小值为，则满足条件的a的值是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）已知，，则的值为________ 13．（本题5分）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是__________． 14．（本题5分）已知函数，（），若存在实数，，使得成立，则______． 四、解答题 15．（本题13分）已知是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求的解析式； (2)求的值域. 16．（本题15分）已知函数． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象（不写画法），写出该函数的定义域、值域． 17．（本题15分）某厂家开发了一种新型机器人．根据开发及生产费用，该款机器人以每台7000元的价格投入市场．设该款机器人的产量为（单位：千台），若，则需投入生产费用万元；若，则需投入生产费用万元．假设销量等于产量． (1)求售出该款机器人所获利润（单位：万元）关于的函数关系式．（利润售价-生产费用） (2)当为多少时，该厂家售出该款机器人所获利润最大？最大利润是多少万元？ 18．（本题17分）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求，的值； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (3)已知，若成立的一个充分不必要条件是，求的最大值. 19．（本题17分）设函数的定义域为D，若，都有，且，则的图象为关于直线对称的轴对称图形；若且，有，且，则的图象为关于直线对称的拟轴对称图形． (1)若函数的图象是关于直线对称的轴对称图形，求实数m的值； (2)判断函数的图象是否为关于y轴对称的拟轴对称图形，并说明理由； (3)若函数的图象是关于直线对称的拟轴对称图形，求实数m的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $