高中数学单元测试——第3章函数的概念与性质（较易版02）

**基本信息** 本单元卷聚焦函数概念与性质，以基础巩固为主，通过分层设题与实际情境（如医疗器械利润问题），适配单元复习，培养数学抽象、运算及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|函数求值、定义域、同一函数判断等基础概念|注重概念辨析，如第3题判断同一函数| |多选题|3题18分|函数定义、奇偶性单调性、新定义“P界函数”|引入创新情境，如第11题“P界函数”考查抽象能力| |填空题|3题15分|分段函数求值、单调性参数范围|强调运算能力，如第13题单调性参数求解| |解答题|5题77分|奇偶性解析式、实际利润函数、不动点新定义|综合应用突出，如17题经济利润模型培养模型意识，19题“不动点”考查逻辑推理|

高中数学单元测试 —— 第3章函数的概念与性质（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知函数，则（   ） A．15 B．7 C．4 D．0 2．（本题5分）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．（本题5分）若是一次函数，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）函数在上的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）函数在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 7．（本题5分）已知偶函数在上单调递减，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）定义在上的偶函数满足：对任意有则当时，有（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）已知．下列对应关系可以视作的函数的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知函数，下列说法错误的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上是减函数 D．在上是减函数 11．（本题6分）设函数的定义域为，对于任意给定的正数P，定义函数则你为的“P界函数”．若函数，则（   ） A． B．的最小值为 C．在上单调递减 D．为偶函数 三、填空题 12．（本题5分）设函数，若，则实数的值为__________. 13．（本题5分）已知函数满足对任意的实数，都有，则实数的取值范围是___________． 14．（本题5分）已知函数，（），若存在实数，，使得成立，则______． 四、解答题 15．（本题13分）已知定义在R上的偶函数，当,时，. (1)求函数在上的解析式； (2)求函数在上的最大值和最小值． 16．（本题15分）设为定义在上的偶函数，如图是函数图象的一部分，当时，是线段；当时，图象是顶点为，且过点的二次函数图象的一部分． (1)在图中的直角坐标系中补充完整函数的图象； (2)求函数在上的解析式； (3)求函数的单调区间和最大值． 17．（本题15分）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 18．（本题17分）已知是奇函数． (1)求的解析式； (2)判断并证明在区间上的单调性； (3)解不等式：． 19．（本题17分）对于定义在上的函数，若，使得成立，则称为函数的不动点． (1)若，求的不动点； (2)对于二次函数． （i）当时，函数有唯一的不动点，求实数a的取值范围； （ii）若函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第3章函数的概念与性质（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知函数，则（   ） A．15 B．7 C．4 D．0 【答案】B 【分析】代入运算得解. 【详解】. 故选：B. 2．（本题5分）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式被开方数非负及分式分母不为零可列不等式组，进而求解即可. 【详解】由，解得且，所以函数的定义域为. 故选：B. 3．（本题5分）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】利用相等函数的定义从函数三要素角度分析即可. 【详解】对于A，当为奇数时，， 所以，与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于B，为偶数时，，所以， 与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于C，与都可化为， 且定义域均为，故是同一个函数； 对于D，与的定义域都是， 是关于的二次函数，而是关于的函数， 当时为一次函数，当时为常数函数， 两函数对应关系不相同，故不是同一个函数. 故选：D. 4．（本题5分）若是一次函数，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出函数的解析式，再根据给定条件列出方程组，求解作答. 【详解】设，由题设有， 解得，所以． 故选：B． 5．（本题5分）函数在上的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和特殊点坐标判断即可. 【详解】令，的定义域为， ， 则是偶函数，其图象关于轴对称，排除选项； 又，则排除选项A. 故选：B. 6．（本题5分）函数在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据分式型函数的单调性进行求解即可. 【详解】，该函数在上单调递增， 所以， 故选：B 7．（本题5分）已知偶函数在上单调递减，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数是偶函数得出函数在上的单调性，进而应用单调性列不等式计算求解. 【详解】由偶函数的减区间为，增区间为， 若，则或， 可得或. 故选：C. 8．（本题5分）定义在上的偶函数满足：对任意有则当时，有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性和奇偶性求得正确答案. 【详解】依题意，对任意有， 则对任意有 所以在上递减，由于是偶函数，所以在上递增， 则，因为， 所以，即. 故选：B. 二、多选题 9．（本题6分）已知．下列对应关系可以视作的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由函数的定义，验证ABD选项，由函数表达得到定义域，判断C选项. 【详解】A选项，，，，A选项正确； B选项，，，，B选项正确； C选项，∵函数的定义域为，，C选项不正确； D选项，，，，D选项正确； 故选：ABD. 10．（本题6分）已知函数，下列说法错误的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上是减函数 D．在上是减函数 【答案】BC 【分析】由偶函数的性质和图像逐一判断即可； 【详解】易知函数的定义域为R，且，所以是偶函数，故A正确，B错误； 当时，，此时单调递增且过原点， 由函数为偶函数作出图像如下：    由图像可得在上是增函数，在上是减函数，故C错误，D正确； 故选：BC. 11．（本题6分）设函数的定义域为，对于任意给定的正数P，定义函数则你为的“P界函数”．若函数，则（   ） A． B．的最小值为 C．在上单调递减 D．为偶函数 【答案】ABD 【分析】根据题意得出的解析式，即可判断ABC；求得的解析式，作出函数的图象，由图象判断D． 【详解】根据题意，由，解得， ，所以，故A正确； 当时，， 且在上单调递增，在上单调递减， ，所以， 即的值域为，故B正确，C错误； 因为，则的图象如图所示， 由图可知的图象关轴对称，所以函数为偶函数，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题 12．（本题5分）设函数，若，则实数的值为__________. 【答案】 【分析】代入即可求解. 【详解】由可得，解得， 故答案为： 13．（本题5分）已知函数满足对任意的实数，都有，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】由不等式可以判断函数的单调性，结合分段函数的性质进行求解即可. 【详解】或，所以函数单调递增， 二次函数的对称轴为， 要想为实数集上的增函数， 只需， 故答案为： 14．（本题5分）已知函数，（），若存在实数，，使得成立，则______． 【答案】 【分析】根据函数性质可得函数最大值与函数最小值，即，结合题意可得，，计算即可求解. 【详解】因为， 当且仅当时，取得最大值，， 当且仅当时，取得最小值2，所以． 又，所以，则，，． 四、解答题 15．（本题13分）已知定义在R上的偶函数，当,时，. (1)求函数在上的解析式； (2)求函数在上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)在,上的最大值是，最小值是． 【分析】（1）根据题意，设，则，分析可得的解析式，结合函数为偶函数，分析可得答案； （2）由（1）的结论可得函数的解析式，分析其在,的单调性，进而分析可得答案． 【详解】（1）根据题意，设，则，则， 又由为偶函数，则 （2）由（1）的结论：， 在,上单调递增，在,上单调递减， 则；， 函数在,上的最大值是，最小值是． 16．（本题15分）设为定义在上的偶函数，如图是函数图象的一部分，当时，是线段；当时，图象是顶点为，且过点的二次函数图象的一部分． (1)在图中的直角坐标系中补充完整函数的图象； (2)求函数在上的解析式； (3)求函数的单调区间和最大值． 【答案】(1)作图见解析； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据偶函数的对称性画出函数图象； （2）根据已知写出解析式，结合点在函数图象上求参数，再用分段函数形式写出解析式； （3）由图象确定函数的单调区间和最大值. 【详解】（1）如图，根据函数为偶函数，函数的图象关于轴对称，补充完整其图象如下： （2）当时，； 当时，依题设， 将点代入，得，解得， 故． 即函数在上的解析式为； （3）由图知，函数单调递增区间为和，单调递减区间为和， 函数在和处取得最大值，且， 所以函数的最大值为4． 17．（本题15分）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元 【分析】（1）分和两种情况，进行求解利润； （2）时，可利用二次函数的特点求最大利润值，时，利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润． 【详解】（1）当时，； 当时，， ． （2）若，当时，万元； 若， ， 当且仅当时，即时，万元， 由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大， 最大利润是1680万元． 18．（本题17分）已知是奇函数． (1)求的解析式； (2)判断并证明在区间上的单调性； (3)解不等式：． 【答案】(1) (2) 函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以， 则，即， 所以函数在上单调递增. (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义列式求解即可； （2）根据函数单调性的定义判断并证明； （3）结合（2）及为奇函数可得时，，时，，时，，时，，进而得到或，再求解不等式即可. 【详解】（1）由为奇函数，得， 则，整理得，即， 所以. （2）略 （3）由（2）知，函数在上单调递增，且， 则时，，时，， 而函数为奇函数，则时，，时，， 由，则或， 先解不等式，即，则， 即，解得或； 再解不等式，即， 则，即，解得或. 综上所述，不等式的解集为. 19．（本题17分）对于定义在上的函数，若，使得成立，则称为函数的不动点． (1)若，求的不动点； (2)对于二次函数． （i）当时，函数有唯一的不动点，求实数a的取值范围； （ii）若函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值． 【答案】(1) (2)（i） （ii） 【分析】（1）根据题意得到的解析式，然后根据不动点的定义计算即可； （2）（i）将时，有唯一的不动点转化为函数在上只有一个零点，然后列不等式求解即可； （ii）将有两个不相等的不动点，且转化为方程有两个不相等的正根，然后结合韦达定理和基本不等式求最值即可. 【详解】（1）， 则不动点满足，即， 整理得， 因为，所以， 当时，，解得，满足； 当时，，无解， 所以的不动点为. （2）（i）， 当时，有唯一的不动点，则方程只有一个解， 即函数在上只有一个零点， 当时，，，满足要求； 当，即时，，解得或， 时，，在上只有一个零点1， 时，，在上只有一个零点1， 所以的取值范围为. （ii）令，整理得， 则 ，解得， ， 令， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 【点睛】方法点睛：一元二次方程根的分布问题： （1）图形法：考虑开口、对称轴、和端点处函数值的正负等因素； （2）韦达定理的方法：根据和的正负判断根的正负. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $