高中数学单元测试——第3章圆锥曲线与方程（较难版01）

**基本信息** 本单元卷聚焦圆锥曲线与方程，以卫星接收天线等科技情境和梯度问题设计，覆盖抛物线、双曲线、椭圆核心知识，适配单元复习，提升数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|抛物线焦点、双曲线渐近线、椭圆离心率|第6题结合卫星天线科技情境，体现数学眼光| |多选题|3题18分|双曲线性质、抛物线综合、双纽线定义|第11题引入双纽线新定义，考查数学思维| |填空题|3题15分|双曲线参数范围、抛物线焦点三角形|第14题椭圆与平行四边形综合，需数学语言表达| |解答题|5题67分|轨迹方程、焦点弦长、存在性探究|第19题动圆轨迹与定点证明，综合逻辑推理与创新意识|

高中数学单元测试 —— 第3章 圆锥曲线与方程（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知抛物线的焦点为F，点P为C上一点.若，则点 P的横坐标为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据抛物线的标准方程可得，结合抛物线的定义即可求解. 【详解】由题意知，， 由抛物线的定义知，，得， 即点P的横坐标为7. 故选：C 2．（本题5分）已知双曲线的渐近线方程为，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】先判断双曲线的焦点在轴上，再由其渐近线方程列出关于的方程求解即得. 【详解】因为方程表示双曲线，所以， 又双曲线的焦点在轴上，所以其渐近线方程为， 由解得. 故选：A 3．（本题5分）以椭圆的左、右焦点和上顶点为顶点的三角形是正三角形，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出的关系，进而求出离心率. 【详解】令椭圆半焦距为，由左、右焦点和上顶点为顶点的三角形是正三角形，得， 则，所以所求离心率. 故选：A 4．（本题5分）已知点在抛物线上，若点到抛物线对称轴的距离是4，到准线的距离是5，则的值是（    ）． A．2或4 B．4或6 C．6或8 D．2或8 【答案】D 【分析】由点的纵坐标及点在抛物线上得到点的横坐标，再由到准线的距离得到的值. 【详解】 如图所示，因为点到抛物线对称轴的距离是4，所以点的纵坐标为， 因为点在抛物线上，所以由得横坐标为， 又因为到准线的距离为5，即，解得或． 故选：D. 5．（本题5分）已知椭圆过点，且椭圆的短轴长为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆上的点结合短轴长度求解参数，得到椭圆方程即可. 【详解】由题意可得，解得，故椭圆的方程为. 故选：B 6．（本题5分）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设抛物线方程为且，结合点在抛物线上求参数，即可得焦点坐标. 【详解】由题意，设抛物线方程为且，显然点在抛物线上， 所以，则，故焦点的坐标为. 故选：B 7．（本题5分）已知双曲线 的左、右焦点分别为，点P是双曲线上一点，若，则 的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线定义，用表示，结合余弦定理求得，再结合三角形面积公式，即可求得结果. 【详解】因为，所以， 在双曲线上，设①， 由，在中， 根据余弦定理可得，， 故，即②， 由①②可得， 得到的面积 故选：C. 8．（本题5分）在平面直角坐标系中，点是椭圆上的动点，椭圆的左、右焦点分别为，，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆定义以及点点距离即可求解. 【详解】依题意，设，而，，    则 ， 要使最大，则在右半椭圆上，故， ，此时点位于右顶点. 故选：D 二、多选题 9．（本题6分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若（为的离心率），则（    ） A． B．的虚轴长为 C． D．的一条渐近线的斜率为 【答案】AB 【分析】由双曲线方程可求焦点，的坐标，结合离心率定义求离心率，根据求，再求虚轴长，由此判断ABC，再由渐近线方程的定义求渐近线，由此确定渐近线的斜率判断D. 【详解】由，知，，， 由，得，即，， 所以的虚轴长为，故A，B正确，C错误； 由的渐近线方程为，得两条渐近线的斜率分别为，，故D错误． 故选：AB． 10．（本题6分）已知抛物线的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，点在抛物线C上，直线分别与l交于A，B，直线与抛物线C交于另一点N，则（    ） A．F的坐标为 B． C． D． 【答案】BC 【分析】由抛物线的标准方程可判断A，由抛物线的定义可判断B，求出直线的方程并得到坐标可判断C，分别计算和的面积可判断D. 【详解】对于A，由抛物线，可得，所以，且焦点在轴正半轴上，则焦点，所以A错误； 对于B，由抛物线的方程得，由定义可得，所以B正确； 对于C，直线的方程分别为，，分别与联立得，，所以，所以C正确； 对于D，联立，得，解得， 所以，由，所以D错误． 故选：BC. 11．（本题6分）已知，若平面内动点满足，则称点P的轨迹为双纽线，下列结论正确的是（    ） A．双纽线是轴对称图形 B．的面积的最大值为 C． D．直线与双纽线有三个交点 【答案】AD 【分析】对于A，利用两点的距离公式整理方程，将关于坐标轴对称的点代入，可得答案；对于B，利用一元二次方程根的存在性，求得动点坐标的范围，结合三角形面积公式，可得答案；对于C，根据三角形三边关系，可得答案；对于D，联立方程，因式分解求方程的根，可得答案. 【详解】对于A，由， 则曲线方程为， 由关于轴的对称点为，显然当满足方程时，也满足方程， 则双纽线关于轴对称，故A正确； 对于B，由方程， 整理可得关于的方程， 由，解得， 由，则其最大值为，故B错误； 对于C，当点不在原点，则构成，则，故C错误； 对于D，将代入方程， 整理可得，解得或，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 12．（本题5分）曲线是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为________. 【答案】 【分析】根据焦点在轴上的双曲线的标准方程的特征得到不等式组，即可得解. 【详解】方程，表示焦点在轴上的双曲线， ， ． 故答案为： 13．（本题5分）设抛物线的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，P是C上一点.若，则_____. 【答案】 【分析】根据抛物线的定义，结合两点间距离公式进行求解即可. 【详解】由抛物线的标准方程可知该抛物线的准线方程为， 因此准线l与x轴的交点M的坐标为， 设点的坐标为，则有， 因为， 所以由抛物线的定义可得， 于是， 故答案为：    14．（本题5分）已知为坐标原点，椭圆的方程为，其离心率为，设，分别是两条直线和（且）上的动点，且线段的长度为，若上存在点，使得四边形是平行四边形，则_____． 【答案】或2 【分析】首先利用坐标表示，再坐标表示平行四边形的向量关系，利用点在椭圆上，结合离心率，即可求解. 【详解】设，， 因为，所以，设， 因为，所以所以，即， 因为，且，所以， 当，即时，表示焦点在轴上的椭圆， 此时，，，，此时由得或（舍去）； 当，即时，表示焦点在轴上的椭圆， 此时，，，，此时由得或（舍去）． 综上所述，或． 故答案为：或2 四、解答题 15．（本题13分）根据下列条件，求曲线方程. (1)对称轴是轴，且顶点在原点，经过，求抛物线方程； (2)以椭圆的短轴的两个顶点为焦点，且离心率为2的双曲线方程； 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用待定系数法来求抛物线方程； (2)利用双曲线的来求双曲线方程. 【详解】（1）可设对称轴是轴，且顶点在原点的抛物线方程为：， 由经过点可得，， 所以抛物线方程为； （2）由椭圆的短轴两个顶点为， 可知双曲线的焦点为，即， 由离心率为2，则， 所以， 根据焦点在轴上可得双曲线方程为：. 16．（本题15分）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过的直线与交于，两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线的倾斜角为，求. 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）依题意求出焦准距，即得抛物线方程； （2）先求得直线的方程，与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用抛物线焦点弦公式计算即得. 【详解】（1）由题意，，则抛物线的标准方程为：. （2）由抛物线可得其焦点为，则直线的方程为：， 将其代入抛物线方程，整理得：， 则，设，则， 于是.    17．（本题15分）已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点作直线与曲线C相交于P，Q两点，点N能否是线段PQ的中点？若能，求直线PQ的方程；若不能，请说明理由. 【答案】(1)； (2)不能，理由如下： 假设点N能是线段的中点，设，则， 由得 ， ∴， ∴直线的斜率为， ∴直线的方程为，即， 由得， ∵，∴直线与双曲线无交点， ∴点N不能是线段的中点. 【分析】（1）根据条件计算双曲线焦点坐标，结合渐近线方程可得结果. （2）利用点差法计算直线的方程，与双曲线方程联立可得无交点，故点N不能是线段的中点. 【详解】（1）由题意得，椭圆焦点坐标为. ∵双曲线渐近线方程为， ∴，解得， ∴双曲线C的标准方程为. （2）略 18．（本题17分）已知椭圆，设分别为椭圆的左、右焦点． (1)点在椭圆上，若，求的面积； (2)过点的直线（斜率不为0）交于两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)在轴上存在定点，使得为定值． 【分析】（1）由椭圆定义、勾股定理、直角三角形面积公式求解即可； （2）设直线与椭圆联立，设定点，由韦达定理化简数量积，让含m的项系数为 0，即可求出定点的坐标. 【详解】（1）设，又，则， 由得，∴解得， 故． （2）由（1）知，左焦点． 因为直线斜率不为0，可设直线的方程为， 联立直线的方程与椭圆方程，得． 设，则， ． 设定点，则， 代入得：， 令此式与无关，则，则， 此时， 因此，在轴上存在定点，使得为定值． 19．（本题17分）已知圆和圆，动圆与圆、圆都外切或都内切，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若过点的直线与曲线的两个交点分别在轴两侧． ①求直线斜率的取值范围； ②若是点关于轴的对称点，证明：直线过定点，并求出该定点． 【答案】(1) (2)①； ②由题意，则，所以直线方程为， 即，因为 ， 因为， 所以， 所以直线方程为，恒过点. 【分析】（1）由题意可得，由双曲线的定义可知动点的轨迹是双曲线，由双曲线的得到轨迹方程； （2）①设出直线方程，联立方程组并消元得到一元二次方程，由直线与曲线存在两个交点得到一元二次方程二次项系数不为0，判别式大于0，两根之积为负数建立不等式组，解出斜率的取值范围；②表示出直线方程，利用①的韦达定理化简方程求得直线恒过定点. 【详解】（1）设动圆的半径为，当动圆与圆、圆都外切时，， 所以. 当动圆与圆、圆都内切时，， 所以，所以， 所以点的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线， 所以，，所以， 所以曲线的方程为. （2）①由题意直线斜率存在，设为， 设点，， 由消去得，， 则， 则由题意，解得， 所以直线斜率的取值范围为. ②略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第3章 圆锥曲线与方程（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知抛物线的焦点为F，点P为C上一点.若，则点 P的横坐标为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（本题5分）已知双曲线的渐近线方程为，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．（本题5分）以椭圆的左、右焦点和上顶点为顶点的三角形是正三角形，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知点在抛物线上，若点到抛物线对称轴的距离是4，到准线的距离是5，则的值是（    ）． A．2或4 B．4或6 C．6或8 D．2或8 5．（本题5分）已知椭圆过点，且椭圆的短轴长为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 7．（本题5分）已知双曲线 的左、右焦点分别为，点P是双曲线上一点，若，则 的面积为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）在平面直角坐标系中，点是椭圆上的动点，椭圆的左、右焦点分别为，，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 二、多选题 9．（本题6分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若（为的离心率），则（    ） A． B．的虚轴长为 C． D．的一条渐近线的斜率为 10．（本题6分）已知抛物线的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，点在抛物线C上，直线分别与l交于A，B，直线与抛物线C交于另一点N，则（    ） A．F的坐标为 B． C． D． 11．（本题6分）已知，若平面内动点满足，则称点P的轨迹为双纽线，下列结论正确的是（    ） A．双纽线是轴对称图形 B．的面积的最大值为 C． D．直线与双纽线有三个交点 三、填空题 12．（本题5分）曲线是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为________. 13．（本题5分）设抛物线的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，P是C上一点.若，则_____. 14．（本题5分）已知为坐标原点，椭圆的方程为，其离心率为，设，分别是两条直线和（且）上的动点，且线段的长度为，若上存在点，使得四边形是平行四边形，则_____． 四、解答题 15．（本题13分）根据下列条件，求曲线方程. (1)对称轴是轴，且顶点在原点，经过，求抛物线方程； (2)以椭圆的短轴的两个顶点为焦点，且离心率为2的双曲线方程； 16．（本题15分）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过的直线与交于，两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线的倾斜角为，求. 17．（本题15分）已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点作直线与曲线C相交于P，Q两点，点N能否是线段PQ的中点？若能，求直线PQ的方程；若不能，请说明理由. 18．（本题17分）已知椭圆，设分别为椭圆的左、右焦点． (1)点在椭圆上，若，求的面积； (2)过点的直线（斜率不为0）交于两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由． 19．（本题17分）已知圆和圆，动圆与圆、圆都外切或都内切，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若过点的直线与曲线的两个交点分别在轴两侧． ①求直线斜率的取值范围； ②若是点关于轴的对称点，证明：直线过定点，并求出该定点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $