高中数学单元测试——第3章不等式（较难版02）

**基本信息** 高中数学第3章不等式较难版单元卷，通过基础到综合的梯度设计，覆盖不等式性质、解法、最值及应用，适配单元复习巩固提升，培养数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|不等式性质、解集求解|基础巩固，考查概念辨析| |多选题|3/18|命题真假、条件关系|综合判断，培养逻辑思维| |填空题|3/15|实际情境（盐水浓度）、最值|联系生活，体现数学眼光| |解答题|5/77|二次函数不等式、证明、利润应用、根与系数关系推导|分层提升，如17题结合公司利润培养应用意识，19题类比推导发展创新思维|

高中数学单元测试 —— 第3章 不等式（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知a，b均为正实数，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 4．（本题5分）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 6．（本题5分）已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知，则的最大值为（   ） A．     B． C．2 D．3 8．（本题5分）若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 二、多选题 9．（本题6分）已知，则下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（本题6分）下列说法正确的是（   ）. A．的一个必要条件是 B．若集合中只有一个元素，则 C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D．已知集合，则满足条件的集合的个数为4 11．（本题6分）设正实数x，y满足，则以下说法正确的有（   ） A．xy的最大值为2 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题 12．（本题5分）b克盐水中，有a克盐，若再添加m克盐则盐水就变咸了（浓度增加了），试根据这一事实提炼一个不等式：_________________. 13．（本题5分）若，，且，则的最小值为___________． 14．（本题5分）已知命题p：对任意的；命题q：存在；若命题p，q均为假命题，则实数a的取值范围为______ 四、解答题 15．（本题13分）已知二次函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若对，不等式恒成立，求不等式的解集. 16．（本题15分）（1）已知 ，求证：； （2）已知，求证： ． 17．（本题15分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 18．（本题17分）已知函数. (1)求的开口方向和对称轴； (2)若对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围； 19．（本题17分）（1）若方程的两根分别为，求的值. （2）教材中有对一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）的证明：韦达定理 若一元二次方程的两个根为，则 证明：因为一元二次方程的两个根为､，所以二次三项式可以因式分解为 由于 从而等式恒成立. 根据多项式相等的概念可知，该等式两边的对应项系数应相等. 因此 类比以上思路，推导一元三次方程的根与系数关系； （3）根据你的发现，解决以下问题：已知关于的方程有三个实数根､满足，求实数的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第3章 不等式（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由不等式的基本性质判断各个选项. 【详解】∵，∴，A选项错误，B选项正确； ，C选项错误， ，D选项错误. 故选：B. 2．（本题5分）已知a，b均为正实数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，作差比较大小. 【详解】由a，b均为正实数，， 得 ，当且仅当时取等号， 所以. 故选：D 3．（本题5分）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】整理可得，结合一元二次不等式运算求解即可. 【详解】因为，可得，解得， 所以不等式的解集为. 4．（本题5分）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，化简不等式为，结合分式不等式的解法，即可求解. 【详解】由不等式，可得， 即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B. 5．（本题5分）不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式解法以及根与系数的关系即可求得结果. 【详解】依题意可知和3是方程的两个实数根，且； 因此，解得； 所以不等式可化为，即， 解得或，即不等式的解集为 故选：A 6．（本题5分）已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件确定，结合不等式的性质即可求解. 【详解】因为，所以，则有， 所以，即， 所以. 故选：B 7．（本题5分）已知，则的最大值为（   ） A．     B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据基本不等式计算求解最值. 【详解】由得，， ， 当且仅当时，即或（舍去）时，等号成立； 的最大值为， 故选:A. 8．（本题5分）若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】由题意可得，由基本不等式可得的最小值等于，故，从而得到实数的最大值． 【详解】由不等式可得， 故的最小值． 因为，当且仅当时，等号成立， 故的最小值等于， 故，所以，则实数的最大值为. 故选：A． 二、多选题 9．（本题6分）已知，则下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】当时可判断A选项；当时可判断B选项；C选项利用不等式的性质即可判断；当时可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，，则，故A错误； 对于B选项，若，则当时，，故B错误； 对于C选项，若，则，两边同时乘以得，故C正确； 对于D选项，当时，满足，此时，故D错误. 故选：ABD. 10．（本题6分）下列说法正确的是（   ）. A．的一个必要条件是 B．若集合中只有一个元素，则 C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D．已知集合，则满足条件的集合的个数为4 【答案】CD 【分析】A举反例，根据必要条件的定义判断；B分、讨论；C将问题转化为一元二次方程有一正一负根，根据判断；D判断集合的子集个数. 【详解】若，则，但， 故不是的一个必要条件，故A错误； 当时，，符合题意； 若，则当集合中只有一个元素时，，得， 综上，或，故B错误； 若一元二次方程有一正一负根， 则一元二次方程有一正一负根， 其充要条件是，即，故C正确； 因为，所以， 因为集合的子集个数有个，故集合的个数为4，故D正确. 故选：CD 11．（本题6分）设正实数x，y满足，则以下说法正确的有（   ） A．xy的最大值为2 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据基本不等式的性质逐项计算即可. 【详解】对于A，因为， 所以根据基本不等式的性质得，所以. 当且仅当时等号成立，此时的最大值为2，A正确； 对于B，因为，所以， 所以. 因为，所以，所以当时，取最小值为，B正确； 对于C，， 由A可知的最大值为2，所以的最大值为，C正确； 对于D，. 当且仅当即，结合可得时等号成立， 此时的最小值为，D错误； 故选：ABC. 三、填空题 12．（本题5分）b克盐水中，有a克盐，若再添加m克盐则盐水就变咸了（浓度增加了），试根据这一事实提炼一个不等式：_________________. 【答案】 【分析】盐水变咸了，即含盐的浓度增大了即可得出． 【详解】由题意可得 ． 证明：当时， 故答案为：． 13．（本题5分）若，，且，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，，且， 则， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 则的最小值为. 故答案为：. 14．（本题5分）已知命题p：对任意的；命题q：存在；若命题p，q均为假命题，则实数a的取值范围为______ 【答案】 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题为真命题进行判断，进而可得为假命题的条件. 【详解】若命题p为真命题，则，即在上恒成立， 而在上单调递减，所以，得. 所以命题p为假命题，则. 若命题q为真命题，则在上能成立， 而在上单调递减，所以，即. 所以命题q为假命题，则. 所以命题p，q均为假命题，则. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）已知二次函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若对，不等式恒成立，求不等式的解集. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意知和是方程的两个根，结合韦达定理可求出的值； （2）由题设条件得出，求出的值，再利用分式不等式的解法可得出所求不等式的解集. 【详解】（1）由题意可知，和是方程的两个根，则，解得. （2）由题意可知：，解得， 则不等式即为，所以， 即，解得或， 即不等式的解集为或. 16．（本题15分）（1）已知 ，求证：； （2）已知，求证： ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）对平方比较即可； （2）作差得，再根据，得到，即可证明． 【详解】（1），且，所以且，即； （2）， 因为，所以，，即， 所以，即． 17．（本题15分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 【答案】(1)， (2)当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元 【分析】（1）根据题目中的等量关系列出函数关系式； （2）对函数关系式变形，利用基本不等式求解最值. 【详解】（1）由题意，列出函数关系式可得， ， 又因为， 所以； （2）由（1）知. 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元. 18．（本题17分）已知函数. (1)求的开口方向和对称轴； (2)若对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围； 【答案】(1)开口向上，对称轴为 (2)或 【分析】（1）根据二次函数图象的性质求解即可； （2）由已知可得恒成立，结合二次函数的性质可得，解不等式即可． 【详解】（1），对称轴为， 的开口向上，对称轴为； （2）由恒成立， 可得恒成立， ∴，即， 解得或， 实数a的取值范围为或． 19．（本题17分）（1）若方程的两根分别为，求的值. （2）教材中有对一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）的证明：韦达定理 若一元二次方程的两个根为，则 证明：因为一元二次方程的两个根为､，所以二次三项式可以因式分解为 由于 从而等式恒成立. 根据多项式相等的概念可知，该等式两边的对应项系数应相等. 因此 类比以上思路，推导一元三次方程的根与系数关系； （3）根据你的发现，解决以下问题：已知关于的方程有三个实数根､满足，求实数的值. 【答案】（1）； （2）. （3） 【分析】（1）根据韦达定理求值. （2）结合已知的思路，探索一元三次方程根与系数的关系. （3）利用（2）的结论，可求的值. 【详解】（1）由题意， 所以. （2）设有三个不相等的实数根， 则可分解因式为， 展开得， 所以有恒成立， 所以等式两边对应系数相等， 所以有. （3）由（2）可知，， 易知， 因为， 所以有，解得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $