第3章 不等式 章末检测-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学不等式单元复习检测，覆盖一元二次不等式、基本不等式等核心知识，通过基础题与综合应用题梯度设计，培养抽象能力、推理能力及模型意识，适配单元复习巩固与素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|一元二次不等式解法（题1）、基本不等式求最值（题3）|基础巩固，考查抽象能力| |多项选择|3/18|不等式性质（题9）、函数与不等式综合（题10）|能力辨析，培养推理意识| |填空|3/15|不等式解集（题12）、实际销售利润（题14）|情境应用，体现模型意识| |解答题|5/77|不等式与函数综合（题17）、养殖投资利润（题19）|综合提升，发展应用能力|

章末检测（三）　不等式 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.不等式4＋3x－x2＜0的解集为（　　） A.{x｜－1＜x＜4} B.{x｜x＜－1或x＞4} C.{x｜x＜－4或x＞1} D.{x｜－4＜x＜1} 2.已知－1≤a≤3，2≤b≤4，则2a－b的取值范围是（　　） A.－6≤2a－b≤4 B.0≤2a－b≤10 C.－4≤2a－b≤2 D.－5≤2a－b≤1 3.若x＞1，则4x＋的最小值为（　　） A.4 B.6 C.8 D.9 4.已知2a＋1＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解集是（　　） A.{x｜x＜5a，或x＞－a} B.{x｜x＞5a，或x＜－a} C.{x｜－a＜x＜5a} D.{x｜5a＜x＜－a} 5.“a＞0，b＞0”是“ab＜”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.设a，b是两个实数，且a≠b，有如下三个式子：①a5＋b5＞a3b2＋a2b3，②a2＋b2≥2（a－b－1），③＋＞2.其中恒成立的有（　　） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 7.若ax2－（a＋2）x＋2＜3－2x恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，－4） B.（－4，0] C.[0，4） D.（4，＋∞） 8.已知x＞0，y＞0，且＋＝，则x＋y的最小值为（　　） A.8 B.7 C.6 D.5 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.若正实数x，y满足x＞y，则下列结论中正确的有（　　） A.xy＜y2 B.x2＞y2 C.＞1 D.＞ 10.已知实数x，y满足x2＋y2＝1，则（1－xy）（1＋xy）有（　　） A.最小值 B.最小值 C.最小值1 D.最大值1 11.已知关于x的不等式x2＋bx＋c＞0的解集为{x｜x＜－2或x＞3}，则下列说法正确的是（　　） A.b＝－1 B.不等式bx＋c＞0的解集是{x｜x＜－6} C.b＋c＝5 D.不等式cx2－bx＋1＜0的解集是{x｜x＜－或x＞} 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.若关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－1，2），则关于x的不等式＋c＞bx的解集为　　　　. 13.设a＞0，b＞0，记A＝，G＝，H＝分别为a，b的算术平均数、几何平均数、调和平均数，古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过a≠b时A，G，H的大小关系，则A，G，H中最大的为　　　　，最小的为　　　　. 14.某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格（每件x元）在50＜x≤80时，每天售出的件数P＝，则销售价格每件应定为　　　　元时取得最大利润，最大利润是　　　　　元. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求： （1）xy的最小值； （2）x＋y的最小值. 16.（本小题满分15分）已知不等式x2－5ax＋b＞0的解集为{x｜x＞4或x＜1}. （1）求实数a，b的值； （2）若正实数x，y满足x＋y＝2，求t＝＋的最小值. 17.（本小题满分15分）设命题p：方程x2＋（2m－4）x＋m＝0有两个不相等的实数根；命题q：对所有的2≤x≤3，不等式x2－4x＋13≥m2恒成立. （1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p，q一真一假，求实数m的取值范围. 18.（本小题满分17分）已知二次函数y＝x2－2tx＋t2－1（t∈R）. （1）若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式x2－2tx＋t2－1≥0； （2）若关于x的方程x2－2tx＋t2－1＝0的两个实数根均大于－2且小于4，求实数t的取值范围. 19.（本小题满分17分）某水产养殖户投资243万元建一个龙虾养殖基地，已知x年内付出的各种维护费用之和y满足二次函数y＝ax2＋c，且第一年付出的各种维护费用为3万元，第二年付出的各种维护费用为9万元，龙虾养殖基地每年收入90万元. （1）扣除投资和各种维护费用，求该龙虾养殖基地从第几年开始获取纯利润； （2）若干年后该水产养殖户为了投资其他项目，对该龙虾养殖基地有两种处理方案： ①年平均利润最大时，以138万元出售该龙虾养殖基地； ②纯利润总和最大时，以30万元出售该龙虾养殖基地. 问该水产养殖户会选择哪种方案？ 章末检测（三）　不等式 1.B　不等式4＋3x－x2＜0可化为x2－3x－4＞0，即（x＋1）·（x－4）＞0，解得x＜－1或x＞4.故所求不等式的解集为{x｜x＜－1或x＞4}.故选B. 2.A　因为－1≤a≤3，2≤b≤4，可得－2≤2a≤6，－4≤－b≤－2，所以－2－4≤2a－b≤6－2，即－6≤2a－b≤4. 3.C　∵x＞1，∴x－1＞0，4x＋＝4（x－1）＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当4（x－1）＝，即x＝时等号成立.故选C. 4.A　方程x2－4ax－5a2＝0的两根为－a，5a.因为2a＋1＜0，所以a＜－，所以－a＞5a.结合二次函数y＝x2－4ax－5a2的图象，得原不等式的解集为{x｜x＜5a，或x＞－a}，故选A. 5.D　当a＞0，b＞0时，≥，即ab≤，当a＝b时，ab＜不成立，故充分性不成立；当ab＜时，a，b可以异号，故a＞0，b＞0不一定成立，故必要性不成立.综上，知“a＞0，b＞0”是“ab＜”的既不充分也不必要条件，故选D. 6.B　①a5＋b5－（a3b2＋a2b3）＝a3（a2－b2）＋b3（b2－a2）＝（a2－b2）（a3－b3）＝（a－b）2（a＋b）（a2＋ab＋b2）＞0不恒成立；②a2＋b2－2（a－b－1）＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝（a－1）2＋（b＋1）2≥0恒成立；③＋＞2不恒成立.故选B. 7.B　由题意得ax2－（a＋2）x＋2＜3－2x恒成立，即ax2－ax－1＜0恒成立，当a＝0时，－1＜0恒成立，符合题意；当a≠0时，则解得即－4＜a＜0，综上，实数a的取值范围为（－4，0]. 8.D　由题意得，x＋y＝（x＋3）＋y－3＝2（＋）[（x＋3）＋y]－3＝2＋＋＋2－3＝＋＋1≥2＋1＝5，当且仅当＝且＋＝，即x＝1，y＝4时，等号成立，∴x＋y的最小值为5.故选D. 9.BC　∵x，y为正实数且x＞y，∴xy＞y2，故A错；∵x，y为正实数且x＞y，∴x2＞y2，故B正确；∵x，y为正实数且x＞y，∴·x＞·y，即＞1，故C正确；∵x，y为正实数且x＞y，∴x＞x－y＞0，∴＞，即＜，故D错误. 10.BD　∵x2y2≤（）2＝，当且仅当x2＝y2＝时，等号成立，∴0≤x2y2≤，∴≤1－x2y2≤1，即≤（1－xy）（1＋xy）≤1. 11.ABD　∵关于x的不等式x2＋bx＋c＞0的解集为{x｜x＜－2或x＞3}，∴－2和3是方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根，∴根据根与系数的关系得，－b＝－2＋3，即b＝－1，故A中说法正确；又－2×3＝－6＝c，∴不等式bx＋c＞0可化为－x－6＞0，∴x＜－6，故B中说法正确；∴b＋c＝－7，故C中说法不正确；不等式cx2－bx＋1＜0为－6x2＋x＋1＜0，即6x2－x－1＞0，即（3x＋1）·（2x－1）＞0，解得x＞或x＜－，故D中说法正确.故选A、B、D. 12.（－∞，0）　解析：由题意，关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－1，2），即－1，2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根且a＜0，∴解得则关于x的不等式＋c＞bx，可化为－2a＞－ax，即x＋＜2，即＜0，解得x＜0. 13.A　H　解析：因为a＞0，b＞0，a≠b，所以A－G＝－＝＝＞0，G－H＝－＝＝＞0，所以A＞G，G＞H，所以A＞G＞H，所以A，G，H中最大的为A，最小的为H. 14.60　2 500　解析：设每天获得利润为y元，则y＝（x－50）·P＝，设x－50＝t，则0＜t≤30，所以y＝＝＝≤＝2 500，当且仅当t＝10，即x＝60时，ymax＝2 500. 15.解：（1）由2x＋8y－xy＝0，x＞0，y＞0， 得＋＝1. ∴1＝＋≥2＝，则xy≥64， 当且仅当即时，等号成立， 此时（xy）min＝64. （2）由2x＋8y－xy＝0，x＞0，y＞0， 得＋＝1. 则x＋y＝（x＋y）＝10＋＋≥10＋2＝18， 当且仅当即时，等号成立， 此时（x＋y）min＝18. 16.解：（1）由题意可得解得 ∴实数a，b的值分别为1，4. （2）由（1）知t＝＋， ∵x＞0，y＞0，∴t＝＋＝（＋）（x＋y）＝（5＋＋）≥（5＋2）＝， 当且仅当＝，且x＋y＝2，即x＝，y＝时，等号成立.∴t的最小值为. 17.解：（1）若命题p为真命题，即方程x2＋（2m－4）x＋m＝0有两个不相等的实数根， 则有Δ＝（2m－4）2－4m＝4m2－20m＋16＞0， 解得m＜1或m＞4. ∴实数m的取值范围为{m｜m＜1或m＞4}. （2）若命题q为真命题，则对所有的2≤x≤3，不等式x2－4x＋13≥m2恒成立. 设y＝x2－4x＋13，则只需2≤x≤3时，m2≤ymin即可. ∵y＝x2－4x＋13＝（x－2）2＋9，2≤x≤3， ∴ymin＝9，∴m2≤9，解得－3≤m≤3. ∴当命题q为真命题时，实数m的取值范围为{m｜－3≤m≤3}. ∵命题p，q一真一假， ∴若命题p为真命题，命题q为假命题，则有解得m＜－3或m＞4； 若命题p为假命题，命题q为真命题，则有解得1≤m≤3. 综上所述，当命题p，q一真一假时，实数m的取值范围为{m｜m＜－3或1≤m≤3或m＞4}. 18.解：（1）∵二次函数y＝x2－2tx＋t2－1有两个互为相反数的零点， ∴方程x2－2tx＋t2－1＝0有两个互为相反数的实数根，设为x1，x2，∴x1＋x2＝0. 由根与系数的关系可得，x1＋x2＝2t＝0，解得t＝0. ∵x2－2tx＋t2－1≥0， ∴x2－1≥0，解得x≥1或x≤－1. ∴该不等式的解集为{x｜x≥1或x≤－1}. （2）∵Δ＝（－2t）2－4（t2－1）＝4t2－4t2＋4＝4＞0， ∴∀t∈R，该方程总有两个不相等的实数根. ∵方程的两个实数根均大于－2且小于4， ∴解得－1＜t＜3. ∴实数t的取值范围是{t｜－1＜t＜3}. 19.解：（1）由已知得，当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝12，即解得所以y＝3x2. 又投资243万元，x年共收入90x万元， 设x年共获得的纯利润为P万元，则P＝90x－3x2－243（x∈N*）. 令P＞0，即90x－3x2－243＞0，即x2－30x＋81＜0，解得3＜x＜27（x∈N*）， 所以从第4年开始获取纯利润. （2）方案①：年平均利润t＝＝90－3≤90－3×2＝36，当且仅当x＝9时，取等号， 所以当x＝9时，t取最大值36，此时以138万元出售该基地共获得利润36×9＋138＝462（万元）. 方案②：纯利润总和P＝90x－3x2－243＝－3（x－15）2＋432（x∈N*）， 当x＝15时，纯利润总和最大，为432万元， 此时以30万元出售该基地共获得利润432＋30＝462（万元）. 两种方案盈利相同，但方案①时间较短，所以选择方案①. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $