高中数学单元测试——第3章不等式（较难版01）

**基本信息** 高中数学第3章不等式较难版单元卷，通过解不等式、最值求解及实际应用问题，考查运算能力、推理意识与模型观念，适配单元复习提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|不等式性质、解集|基础巩固，梯度入门| |多选题|3/18|方程根与系数关系|辨析性强，考查推理| |填空题|3/15|实际销售模型、最值|情境真实，应用意识| |解答题|5/67|二次函数不等式、利润优化、韦达定理|综合应用，分层提升|

高中数学单元测试 —— 第3章 不等式（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列四个式子中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）下列式子的值比的值大的是（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）不等式的解集是（   ） A． B．或 C． D． 4．（本题5分）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 6．（本题5分）已知，则的最大值为（   ） A． B．15 C． D．13 7．（本题5分）已知，则的最大值为（   ） A．     B． C．2 D．3 8．（本题5分）已知，为正实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）已知，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知关于的方程，则下列结论中错误的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 11．（本题6分）已知，且，则下列结论正确的有（    ） A．ab的最小值是 B．的最小值为8 C．的最小值为2 D．此方程有且仅有3组整数解 三、填空题 12．（本题5分）某杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就相应减少2000本.设提价后该杂志的单价为x元，则用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为__________. 13．（本题5分）已知正实数a，b满足，则的最小值为___________. 14．（本题5分）已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是_____. 四、解答题 15．（本题13分）已知二次函数. (1)当且时，解关于的不等式； (2)若的解集是，求，的值. 16．（本题15分）已知实数，，满足. (1)若，求证：； (2)若，，，求的最小值. 17．（本题15分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 18．（本题17分）已知函数. (1)求的开口方向和对称轴； (2)若对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围； 19．（本题17分）法国数学家佛郎索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根、有如下关系：，．”韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数和满足如下关系：，，那么这两个数和是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程，例如：，，那么m和n是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题： (1)已知m、n是两个不相等的实数，且满足，，求的值； (2)已知实数x、y满足，，求的值； (3)已知，是关于x的一元二次方程的两个实根，且，求使的值为整数的所有k的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第3章 不等式（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列四个式子中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取特殊值即可排除ACD，根据不等式的基本性质可判断B. 【详解】取，排除ACD，因为，所以，B正确. 故选：B 2．（本题5分）下列式子的值比的值大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用作差法比较大小后可得正确的选项. 【详解】因为， 所以， 同理可得均小于． 故选：D. 3．（本题5分）不等式的解集是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，将不等式化为，结合一元二次不等式的解法，即可得解. 【详解】将原不等式化为，解得或， 所以不等式的解集为或. 故选： 4．（本题5分）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，化简不等式为，结合分式不等式的解法，即可求解. 【详解】由不等式，可得， 即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B. 5．（本题5分）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由不等式的性质化简，然后由相应二次方程根的大小得出不等式的解． 【详解】因为，， 所以， 又不等式对应方程的根为：，且， 所以不等式的解为或， 故选：C． 6．（本题5分）已知，则的最大值为（   ） A． B．15 C． D．13 【答案】A 【分析】由题意设，从而求出，从而可得 【详解】由题意设， 则，解得， 因为，， 所以，则的最大值为，故A正确． 故选：A． 7．（本题5分）已知，则的最大值为（   ） A．     B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据基本不等式计算求解最值. 【详解】由得，， ， 当且仅当时，即或（舍去）时，等号成立； 的最大值为， 故选:A. 8．（本题5分）已知，为正实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得，则，再根据恒成立问题转化为最值即可． 【详解】即， （当且仅当时取等号）， 又不等式恒成立， 所以． 故选：C． 二、多选题 9．（本题6分）已知，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项判断得解. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B错误； 对于C，由，得，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：AC 10．（本题6分）已知关于的方程，则下列结论中错误的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 【答案】ABD 【分析】利用二次方程根的分布求出实数的取值范围，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，当时，方程为，， 即方程无实数解，A错； 对于B选项，若方程有两个正根，则，解得， 即方程有两个正根的充要条件是，B错； 对于C选项，若方程无实数根，则，解得， 故方程无实数根的一个充分不必要条件是，C对； 对于D选项，若方程有一个正根一个负根，设这两根分别为、，则，解得， 故方程有一个正根一个负根的充要条件是，D错. 故选：ABD. 11．（本题6分）已知，且，则下列结论正确的有（    ） A．ab的最小值是 B．的最小值为8 C．的最小值为2 D．此方程有且仅有3组整数解 【答案】BCD 【分析】对于ABC，由，得，再结合基本不等式逐个判断即可.对于D，结合，,分析整数解即可. 【详解】由，得，又， 所以，即，由得，由,故. 对于A由，令，得，解得， 即，当且仅当时，取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时，等号成立，故B正确， 对于C，， 当且仅当时，取等号，故C正确； 对于D，由，,，故当时，；当时，；当时，，不满足整数解； 当时，；当时，，故不满足整数解； 综上，此方程有且仅有3组整数解，分别为，；，；，.故D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．（本题5分）某杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就相应减少2000本.设提价后该杂志的单价为x元，则用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为__________. 【答案】 【分析】根据已知条件列出不等式. 【详解】若提价后该杂志的单价为x元，则销售量为万本， 则提价后销售的总收入为万元， 所以不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以用不等式表示为： . 故答案为： 13．（本题5分）已知正实数a，b满足，则的最小值为___________. 【答案】21 【分析】根据题意利用乘“1”法结合基本不等式可得，即可得结果. 【详解】因为正实数a，b满足， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 即，可得， 所以的最小值为21. 故答案为：21 14．（本题5分）已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是_____. 【答案】 【分析】根据不等式分类讨论分析可知，为方程的根，代入化简可得，进而代入消去，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以当时，；当时. 要使关于的不等式在时恒成立，需两因式同号在时恒成立. 则当时，；当时，； 所以当时，， 所以，即， 所以，当且仅当，即时取等号， 即的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）已知二次函数. (1)当且时，解关于的不等式； (2)若的解集是，求，的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）将代入，解一元二次不等式即可得解； （2）由题意得是方程的两根，利用根与系数的关系可求得的值. 【详解】（1）当且时， 则不等式，即为 即，解得， 则的解集为. （2）因为的解集是， 所以是方程，即的两根， 则，解得，经检验满足题意. 16．（本题15分）已知实数，，满足. (1)若，求证：； (2)若，，，求的最小值. 【答案】(1) 由，且，得，， 故，所以，所以，即. (2) 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）由条件得且，代入，利用基本不等式求解. 【详解】（1） （2）由且，，，得，且， 略 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 17．（本题15分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 【答案】(1)， (2)当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元 【分析】（1）根据题目中的等量关系列出函数关系式； （2）对函数关系式变形，利用基本不等式求解最值. 【详解】（1）由题意，列出函数关系式可得， ， 又因为， 所以； （2）由（1）知. 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元. 18．（本题17分）已知函数. (1)求的开口方向和对称轴； (2)若对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围； 【答案】(1)开口向上，对称轴为 (2)或 【分析】（1）根据二次函数图象的性质求解即可； （2）由已知可得恒成立，结合二次函数的性质可得，解不等式即可． 【详解】（1），对称轴为， 的开口向上，对称轴为； （2）由恒成立， 可得恒成立， ∴，即， 解得或， 实数a的取值范围为或． 19．（本题17分）法国数学家佛郎索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根、有如下关系：，．”韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数和满足如下关系：，，那么这两个数和是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程，例如：，，那么m和n是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题： (1)已知m、n是两个不相等的实数，且满足，，求的值； (2)已知实数x、y满足，，求的值； (3)已知，是关于x的一元二次方程的两个实根，且，求使的值为整数的所有k的值． 【答案】(1) (2)22或37． (3)，，． 【分析】（1）由题意，可把看作的根，利用韦达定理求解即可； （2）由韦达定理的逆定理，可将，看作方程的两个实数根，求解后即可得解； （3）由韦达定理求出，，代入化简求出得解. 【详解】（1）由已知，，， 可将m，n看作方程的两个不相等的实数根， 由韦达定理可得，，， 所以． （2）由，， 可将，看作方程的两个实数根， 则有，或，， ①当，时，； ②当，时，， 所以的值为22或37． （3）由韦达定理，可得，，， 且，解得， 故， 因，又，故必为的因数， 则的值可能为，，，1，2，4， 则实数k的值可能为，，，0，1，3， 又，故k的所有取值为，，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $