高中数学单元测试——第2章常用逻辑用语（较难版01）

**基本信息** 高中数学常用逻辑用语单元复习卷（较难版），通过基础概念与综合应用梯度设计，融合数学史（高斯函数）与新定义情境，提升逻辑推理与抽象思维能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|量词命题（题1）、命题否定（题2）、充分必要条件（题3-4）|基础题巩固核心概念，如存在量词命题判断| |多选题|3题18分|条件判断（题9-10）、新定义（题11整数“类”）|结合新情境考查逻辑辨析，体现数学思维严谨性| |填空题|3题15分|条件关系（题12）、集合与逻辑（题13-14）|聚焦知识内在联系，如方程解与命题真假的关联| |解答题|5题67分|命题否定（题15）、集合与逻辑综合（题16-19）|梯度设计，从简单否定到充要条件证明，培养数学语言表达能力|

高中数学单元测试 —— 第2章 常用逻辑用语（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列命题中是存在量词命题的是（   ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．对任意一个无理数x，也是无理数 D．有一个偶数是素数 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的概念即可判断. 【详解】对于A中含有“所有的”，该命题是全称量词命题； 对于B中含有“”，该命题是全称量词命题； 对于C中含有“任意一个”，该命题是全称量词命题； 对于D中含有“有一个”，该命题是存在量词命题； 故选：D. 2．（本题5分）命题：，，则是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可得到答案. 【详解】是“，”. 故选：A. 3．（本题5分）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义直接判断. 【详解】依题意，集合真包含于集合， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4．（本题5分）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义直接判断即可得解. 【详解】由，得，则， 由，得，则，因此， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 5．（本题5分）已知集合，，则下列命题中是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】求出集合、，由集合的包含关系可判断AC选项的正误，利用集合间的运算可判断BD选项的正误. 【详解】因为，，则AC选项错误； ，或，故B对，D错. 故选：B. 6．（本题5分）对于任意的，表示不超过x的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称其为“取整函数”．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】举出反例得到充分性不成立，由，得到，故必要性成立，得到答案. 【详解】A选项，充分性，，不妨令，满足， 但此时，，充分性不成立， 必要性，画出的图象，如下： 因为，所以，故，必要性成立， 故是的必要不充分条件. 故选：B 7．（本题5分）设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程得A，再分析的根，得出B是A的子集时对应的，再由充分不必要条件的概念，真子集的概念得解. 【详解】， 若，则，BA， 若，则，BA， 若，则，BA， ∴BA的一个充分不必要条件是. 故选：B 8．（本题5分）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得“，”为真命题，即方程无解，分和讨论求解. 【详解】由题，可得“，”为真命题，即方程无解. 当时，方程无解； 当时，得，解得； 综上，实数的取值范围为. 故选：C. 二、多选题 9．（本题6分）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充要条件 【答案】BD 【分析】根据充分条件、必要条件与充要条件的定义逐项判断，即可得出结果. 【详解】选项A，当时，，但是，故必要性不成立，所以A错误； 选项B，当时，一定成立，故充分性成立，当时，，故必要性不成立，所以B正确； 选项C，当时，，所以充分性不成立，所以C错误； 选项D，当时，， 即，所以，充分性成立， 当时，，必要性成立，所以D正确． 故选：BD. 10．（本题6分）（多选）下列选项中，p是q的充要条件的为（　　） A． B．p：，q： C．p：，q： D．p：，q： 【答案】BD 【分析】根据不等式的性质，结合充要条件的判断，即可由选项逐一求解. 【详解】对于A选项，p⇒q，但不一定得到，故p不是q的充要条件； 对于B选项，p⇒q，且q⇒p，即p⇔q，故p是q的充要条件； 对于C选项，不能得到，但一定，故p不是q的充要条件； 对于D选项，p⇒q，且q⇒p，故p是q的充要条件． 故选：BD. 11．（本题6分）在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，给出如下四个结论，正确的是（    ） A． B． C． D．“整数属于同一‘类’”的充要条件是“” 【答案】ACD 【分析】对于A求2026除以5的余数即可判断，对于B由即可判断，对于C整数集中的数被5除的余数为0，1，2，3，4，即可判断，对于D若两个数属于同一“类”，则对应的余数相同，则，当时，得，即进而求解. 【详解】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为，所以，故B错误； 对于C：因为整数集中的数被5除的余数为0，1，2，3，4，所以，故C正确； 对于D：若两个数属于同一“类”，则对应的余数相同，其差能被5整除，故； 当时，，所以，所以， 即整数属于同一“类”，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题 12．（本题5分）“是无理数”是“a是无理数”的_________条件． 【答案】充要 【分析】根据无理数的定义和性质进行判断 【详解】是无理数，而5是有理数，故是无理数，充分性成立， 若是无理数，而5是有理数，则是无理数，必要性成立. 故答案为：充要 13．（本题5分）已知集合，集合且，命题，，若命题是真命题，则实数的取值范围是_________ 【答案】或 【分析】由命题是真命题得到，再结合得到实数满足的条件，解不等式得到结果. 【详解】由，可得，解得：， 由命题，是真命题，所以， 故有或，解得或. 综上，的取值范围是或. 故答案为：或. 14．（本题5分）已知命题：“方程至少有一个解”，若的一个必要不充分条件为“”，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据方程的根可得命题：，分析可知集合是集合的真子集，结合包含关系列式求解即可. 【详解】对于命题：“方程至少有一个解”， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得且； 综上所述：. 若的一个必要不充分条件为“”， 可知集合是集合的真子集， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）写出这些命题的否定，并判断其否定命题的真假： (1)与3的和不等于0； (2)三角形的三个内角都为； (3)存在一个实数，使. 【答案】(1)，假命题 (2)存在一个三角形的三个内角不都为，真命题 (3)，，假命题 【分析】（1）（2）由全称命题的否定为特称命题即可写出其否定，并直接判断真假； （3）由特称命题的否定为全称命题即可写出其否定，并直接判断真假. 【详解】（1），假命题. （2）存在一个三角形的三个内角不都为，真命题. （3），，假命题. 16．（本题15分）已知集合，是否存在实数，使得是成立的______？ (1)把充分不必要条件补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由； (2)把必要不充分条件补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得集合是集合的真子集，进而可得，求解即可； （2）集合是集合的真子集，分和两种情况求解即可. 【详解】（1）因为是成立的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集， 又，， 所以，解得， 所以的取值范围为. （2）因为是成立的必要不充分条件条件，所以集合是集合的真子集， 若时，，解得， 若时，可得，解得， 综上所述：的取值范围为. 17．（本题15分）若集合 (1)若，写出的子集； (2)设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再根据并集的定义求得，进而写出子集； （2）由题意可得，进而分，两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，， ， ， 其子集为：. （2）由题意，是的充分条件，则，， 当时，此时，解之得：，符合题意； 当时，则或或， 若为单元素集，则， 解得，此时，符合题意； 若，则有，无解. 综上所述，实数的取值范围为． 18．（本题17分）设全集，集合，集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (3)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）当，求得，结合集合并集的运算，即可求解； （2）根据题意，转化为，列出不等式组，即可求解数的取值范围； （3）根据题意，转化为，分和，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：当，可得， 因为，所以或. （2）解：由“”是“”的充分不必要条件，可得， 因为集合，集合， 则满足且等号不能同时成立，解得， 所以实数的取值范围为. （3）解：由集合，集合， 因为命题“，则”是真命题，则， 当时，则，解得，此时满足； 当时，则满足 ，此时不等式组的解集为空集， 综上可得，实数的取值范围为. 19．（本题17分）已知集合，． (1)若“，”为假命题，求的取值范围； (2)求证：至少有2个子集的充要条件是，或． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由已知，先求解出集合，然后根据，将集合分为和两种情况讨论，分别列式求解即可； （2）由已知，先有或，证明至少有2个子集，即证明充分性，然后再根据至少有2个子集，求解参数的范围与或比较即可证明其必要性. 【详解】（1）由已知，集合，所以集合． 因为“，”为假命题，所以． 当时，，解得； 当时，要使，则，，且，， 即，解得或或或． 综上，实数m的取值范围为． （2）证明：充分性：若，或，则至少有2个子集． 当，或时，，方程有解， 集合至少有1个元素，至少有2个子集，充分性得证； 必要性：若至少有2个子集，则或． 若至少有2个子集，则至少有1个元素， 方程有解，，解得或， 必要性得证． 综上，至少有2个子集的充要条件是或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第2章 常用逻辑用语（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列命题中是存在量词命题的是（   ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．对任意一个无理数x，也是无理数 D．有一个偶数是素数 2．（本题5分）命题：，，则是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（本题5分）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（本题5分）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（本题5分）已知集合，，则下列命题中是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（本题5分）对于任意的，表示不超过x的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称其为“取整函数”．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（本题5分）设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充要条件 10．（本题6分）（多选）下列选项中，p是q的充要条件的为（　　） A． B．p：，q： C．p：，q： D．p：，q： 11．（本题6分）在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，给出如下四个结论，正确的是（    ） A． B． C． D．“整数属于同一‘类’”的充要条件是“” 三、填空题 12．（本题5分）“是无理数”是“a是无理数”的_________条件． 13．（本题5分）已知集合，集合且，命题，，若命题是真命题，则实数的取值范围是_________ 14．（本题5分）已知命题：“方程至少有一个解”，若的一个必要不充分条件为“”，则实数的取值范围是__________. 四、解答题 15．（本题13分）写出这些命题的否定，并判断其否定命题的真假： (1)与3的和不等于0； (2)三角形的三个内角都为； (3)存在一个实数，使. 16．（本题15分）已知集合，是否存在实数，使得是成立的______？ (1)把充分不必要条件补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由； (2)把必要不充分条件补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由． 17．（本题15分）若集合 (1)若，写出的子集； (2)设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 18．（本题17分）设全集，集合，集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (3)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围. 19．（本题17分）已知集合，． (1)若“，”为假命题，求的取值范围； (2)求证：至少有2个子集的充要条件是，或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $