高中数学单元测试——第2章常用逻辑用语（适中版01）

**基本信息** 本单元卷聚焦常用逻辑用语，以文化素材（如荀子名言）和集合、方程等综合情境设计试题，覆盖量词命题、充分必要条件等核心知识，适配单元复习，助力逻辑推理与数学表达素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|存在量词命题、命题否定、充分必要条件|第6题结合荀子名言考查必要条件，体现文化传承| |多选题|3题18分|充要条件判断、集合关系|第10题以集合运算为载体考查充要条件，强化数学思维| |填空题|3题15分|条件判断、参数范围|第14题结合方程解的问题考查必要不充分条件，注重应用| |解答题|5题67分|命题否定、集合与逻辑综合|19题证明充分不必要条件，突出数学语言表达与逻辑推理|

高中数学单元测试 —— 第2章 常用逻辑用语（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列命题中的存在量词命题是（   ） A．所有能被3整除的整数都是奇数 B．每一个四边形的四个顶点在同一个圆上 C．有的三角形是等边三角形 D．任意两个等边三角形都相似 2．（本题5分）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（本题5分）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（本题5分）已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 5．（本题5分）下列命题中的真命题是（    ） A．互余的两个角不相等 B．相等的两个角是同位角 C．若，则 D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角 6．（本题5分）荀子曰：“故不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“积跬步”是“至千里”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（本题5分）已知命题：“关于的方程有实根”.若为假命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“、为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件 C．“且”是“”的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 10．（本题6分）设全集为U，在下列选项中，是的充要条件的是（    ） A． B． C． D． 11．（本题6分）对任意集合，记，并称为集合的相异集，则（   ） A． B．若，则 C．命题“若，则”为假命题 D．若，则是成立的充分必要条件 三、填空题 12．（本题5分）“是无理数”是“a是无理数”的_________条件． 13．（本题5分）命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为________. 14．（本题5分）“方程至多有一个实数解”的一个必要不充分条件是“”，则的取值范围是______. 四、解答题 15．（本题13分）写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假. (1)：对于任意的，； (2)：至少有一个实数，使. 16．（本题15分）（1）已知，若是的充分条件，求实数的取值范围. （2）已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围： 17．（本题15分）若集合 (1)若，写出的子集； (2)设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 18．（本题17分）设全集，集合，集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (3)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围. 19．（本题17分）设集合． (1)证明：“”是“”的充分不必要条件； (2)写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第2章 常用逻辑用语（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列命题中的存在量词命题是（   ） A．所有能被3整除的整数都是奇数 B．每一个四边形的四个顶点在同一个圆上 C．有的三角形是等边三角形 D．任意两个等边三角形都相似 【答案】C 【分析】根据存在量词命题的定义求解即可. 【详解】对于A，含有量词所有，为全称量词命题，故A错误； 对于B，含有量词每一个，为全称量词命题，故B错误； 对于C，含有量词有的，为存在量词命题，故C正确； 对于D，含有量词任意，为全称量词命题，故D错误. 故选：C. 2．（本题5分）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求的否定是“，”. 3．（本题5分）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义直接判断. 【详解】依题意，集合真包含于集合， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4．（本题5分）已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件和必要条件来判断. 【详解】当时，即，所以充分性成立；当时，即可得到，所以必要性成立. 故选：C 5．（本题5分）下列命题中的真命题是（    ） A．互余的两个角不相等 B．相等的两个角是同位角 C．若，则 D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角 【答案】C 【分析】由两角互余的概念可判断A；可举对顶角相等判断B；运用平方差公式，可判断C；运用三角形外角的性质可判断D. 【详解】对于A，互余的两个角可能相等，比如都为，故A错误； 对于B，相等的两个角可以是对顶角，故B错误； 对于C，若，则，即或，则，故C正确； 对于D，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，故D错误； 故选：C 6．（本题5分）荀子曰：“故不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“积跬步”是“至千里”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件定义判断即可. 【详解】荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步， 故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件. 故选：B. 7．（本题5分）已知命题：“关于的方程有实根”.若为假命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求命题为真命题时的范围，进而得命题为假命题时的取值范围，又为假命题的充分不必要条件为即可求解. 【详解】由方程有实根，所以，即，又命题为假命题， 所以，又为假命题的充分不必要条件为， 所以， 所以， 故选：C. 8．（本题5分）已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题命题“，”为真命题，进而分和两种情况讨论求解即可. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以，命题“，”为真命题； 因为集合，集合， 所以，当时，即时，成立， 当时， 由“，”得，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A 二、多选题 9．（本题6分）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“、为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件 C．“且”是“”的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】BD 【分析】根据不等式的性质判断ACD的真假；举反例即可判断B的真假． 【详解】对A：由可得，所以成立，所以“”是“”的充分条件； 由可得或，所以“”是“”的不必要条件． 综上可得：“”是“”的充分不必要条件，故A错误； 对B：，但为有理数， 若为无理数，但为有理数，为无理数， 故“、为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件；B正确， 对C：由“且”可得“”， 但“”时，如，，此时“且”不成立，故C错误； 对D：因为：推不出，但， 所以“”是“”的必要不充分条件，所以D正确． 故选：BD． 10．（本题6分）设全集为U，在下列选项中，是的充要条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用维恩图解决集合运算问题. 【详解】 由维恩图可知，A不是的充要条件，B，C，D都是的充要条件， 故选：BCD． 11．（本题6分）对任意集合，记，并称为集合的相异集，则（   ） A． B．若，则 C．命题“若，则”为假命题 D．若，则是成立的充分必要条件 【答案】AD 【分析】根据集合的新定义结合并集及子集定义分别计算判断各个选项即可. 【详解】对A，，A正确； 对B，若，当时，，，且，当时，假设， 则，故，B错误； 对C，若，则，C错误； 对D，由得，反之也成立，D正确． 故选：AD． 三、填空题 12．（本题5分）“是无理数”是“a是无理数”的_________条件． 【答案】充要 【分析】根据无理数的定义和性质进行判断 【详解】是无理数，而5是有理数，故是无理数，充分性成立， 若是无理数，而5是有理数，则是无理数，必要性成立. 故答案为：充要 13．（本题5分）命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为________. 【答案】 【分析】即无解，据此可得答案 【详解】因，，则在R上无解， 则. 故答案为： 14．（本题5分）“方程至多有一个实数解”的一个必要不充分条件是“”，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据一元二次方程的性质，求得，结合题意，列出不等式，即可求解. 【详解】由方程至多有一个实数解，则满足，解得， 因为方程至多有一个实数解的一个必要不充分条件是“， 所以，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假. (1)：对于任意的，； (2)：至少有一个实数，使. 【答案】(1)答案见解析. (2)答案见解析. 【分析】根据含有量词的命题的否定结论即可得到结论． 【详解】（1）命题的否定为“存在，使得”， 因为， 所以恒成立，该命题为假命题. （2）命题的否定为“不存在，使得”， 解，可得，所以该命题为假命题. 16．（本题15分）（1）已知，若是的充分条件，求实数的取值范围. （2）已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围： 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可； （2）依题意可得，可判断，从而得到，解得即可. 【详解】（1）因为是的充分条件，所以， 所以，解得，故的取值范围是； （2）因为是的必要不充分条件，所以且不能推出，则， 因为，所以，故， 所以，解得， 当时，符合题意，故的取值范围是． 17．（本题15分）若集合 (1)若，写出的子集； (2)设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再根据并集的定义求得，进而写出子集； （2）由题意可得，进而分，两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，， ， ， 其子集为：. （2）由题意，是的充分条件，则，， 当时，此时，解之得：，符合题意； 当时，则或或， 若为单元素集，则， 解得，此时，符合题意； 若，则有，无解. 综上所述，实数的取值范围为． 18．（本题17分）设全集，集合，集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (3)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）当，求得，结合集合并集的运算，即可求解； （2）根据题意，转化为，列出不等式组，即可求解数的取值范围； （3）根据题意，转化为，分和，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：当，可得， 因为，所以或. （2）解：由“”是“”的充分不必要条件，可得， 因为集合，集合， 则满足且等号不能同时成立，解得， 所以实数的取值范围为. （3）解：由集合，集合， 因为命题“，则”是真命题，则， 当时，则，解得，此时满足； 当时，则满足 ，此时不等式组的解集为空集， 综上可得，实数的取值范围为. 19．（本题17分）设集合． (1)证明：“”是“”的充分不必要条件； (2)写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)k为偶数；证明见解析 【详解】证明：（1）设集合中的元素，所以．因为，所以，所以，则成立，故“”是“”的充分条件． 若，则，可取，设．因为，所以与有相同的奇偶性．因为2为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，而2不是4的倍数，所以假设不成立，所以，故“，”是“”的不必要条件． 综上所述，“”是“”的充分不必要条件． （2）“偶数属于M”的一个充要条件是k为偶数． 充分性：因为k为偶数，所以设，所以，而，所以满足集合，所以偶数属于M． 必要性：因为偶数属于M，所以．因为，所以与有相同的奇偶性．因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即k必为2的倍数，所以k为偶数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $