高中数学单元测试——第2章常用逻辑用语（适中版02）

**基本信息** 高中数学常用逻辑用语单元复习卷，以文化情境（如荀子名言）与现实问题（如电路设计）为载体，覆盖量词命题、充分必要条件等核心知识，适配单元巩固与逻辑推理能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|存在量词命题（第1题）、命题否定（第2题）|基础概念辨析，落实数学语言表达| |多选题|3题18分|电路充要条件判断（第10题）|结合现实情境，发展数学眼光观察能力| |填空题|3题15分|等边三角形条件判断（第12题）|聚焦概念关联，强化数学思维严谨性| |解答题|5题77分|集合与充分必要条件综合（第16题）|分层设计问题，培养逻辑推理与综合应用能力|

高中数学单元测试 —— 第2章 常用逻辑用语（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列命题中的存在量词命题是（   ） A．所有能被3整除的整数都是奇数 B．每一个四边形的四个顶点在同一个圆上 C．有的三角形是等边三角形 D．任意两个等边三角形都相似 【答案】C 【分析】根据存在量词命题的定义求解即可. 【详解】对于A，含有量词所有，为全称量词命题，故A错误； 对于B，含有量词每一个，为全称量词命题，故B错误； 对于C，含有量词有的，为存在量词命题，故C正确； 对于D，含有量词任意，为全称量词命题，故D错误. 故选：C. 2．（本题5分）命题：“”的否定是（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】命题“”的否定为“”. 3．（本题5分）已知，是实数，则“，”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析命题间的推出关系. 【详解】因为“且”能推出“”，但是“” 不能推出“且”， 所以“” 是“”的充分不必要条件. 故选：B 4．（本题5分）已知，则“”是“”的（     ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可. 【详解】由不等式的性质可知由， 由， 故选：A 5．（本题5分）下列命题为真命题的是（    ） A．若a，b都是有理数，则是有理数 B．若a，b都是无理数，则是无理数 C．若，则 D．若是小数}，则 【答案】A 【详解】A正确；B中可取互为相反数的两个无理数，易知B错误；C，D显然错误． 6．（本题5分）荀子曰：“故不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“积跬步”是“至千里”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件定义判断即可. 【详解】荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步， 故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件. 故选：B. 7．（本题5分）已知命题：“关于的方程有实根”.若为假命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求命题为真命题时的范围，进而得命题为假命题时的取值范围，又为假命题的充分不必要条件为即可求解. 【详解】由方程有实根，所以，即，又命题为假命题， 所以，又为假命题的充分不必要条件为， 所以， 所以， 故选：C. 8．（本题5分）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得“，”为真命题，即方程无解，分和讨论求解. 【详解】由题，可得“，”为真命题，即方程无解. 当时，方程无解； 当时，得，解得； 综上，实数的取值范围为. 故选：C. 二、多选题 9．（本题6分）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充要条件 【答案】BD 【分析】根据充分条件、必要条件与充要条件的定义逐项判断，即可得出结果. 【详解】选项A，当时，，但是，故必要性不成立，所以A错误； 选项B，当时，一定成立，故充分性成立，当时，，故必要性不成立，所以B正确； 选项C，当时，，所以充分性不成立，所以C错误； 选项D，当时，， 即，所以，充分性成立， 当时，，必要性成立，所以D正确． 故选：BD. 10．（本题6分）（多选）如图所示的电路中，“开关闭合”是“灯泡亮”的充要条件的电路图是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据充要条件的定义判断. 【详解】对于A，开关与另一个开关是并联电路，灯泡亮，不一定闭合，判断A错误； 对于B，开关与灯泡是串联电路，当灯泡亮，一定闭合，当开关闭合，灯泡亮，故B正确； 对于C，开关与灯泡以及另一个开关三者串联，当开关闭合时，灯泡不一定亮，故C错误； 对于D，开关与灯泡是串联，当开关闭合时，灯泡亮，当灯泡亮时，开关闭合，故D正确. 故选：BD. 11．（本题6分）用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，则下面正确结论正确的是（ ）． A．； B．； C．“”是“”的充分不必要条件； D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据集合新定义结合一元二次方程逐个分析即可. 【详解】对于A，当时，，此时，故A正确； 对于B，当时，，此时，故B不正确； 对于C，当时，，则，，则，所以； 当时，因为，所以或3，若，则，解得，若，因为方程的两个根和都不是方程的根，所以需满足，解得，所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，因为，，则或3，由C可知：或，所以，所以，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题 12．（本题5分）“的每个内角都是”是“是等边三角形”的________条件. 【答案】充要 【分析】利用等边三角形的性质可知充分性和必要性都成立，即可得出答案. 【详解】易知，“的每个内角都是”可推出“是等边三角形”，既满足充分性； 若“是等边三角形”，则“的每个内角都是”，即满足必要性； 所以“的每个内角都是”是“是等边三角形”的充要条件. 故答案为：充要 13．（本题5分）已知命题，命题，都有，若命题为真命题，命题为假命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】. 【分析】根据为真命题，得，故，根据，为真命题得，即可求解. 【详解】命题为真命题，则使得，故，故， 若命题为假命题，则，为真命题，故或，解得， 故命题为真命题，命题为假命题，则，解得， 故答案为： 14．（本题5分）已知命题：“方程至少有一个解”，若的一个必要不充分条件为“”，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据方程的根可得命题：，分析可知集合是集合的真子集，结合包含关系列式求解即可. 【详解】对于命题：“方程至少有一个解”， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得且； 综上所述：. 若的一个必要不充分条件为“”， 可知集合是集合的真子集， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）判断下列命题真假；并写出下列命题的否定. (1)：所有的正方形都是矩形； (2)：至少有一个实数，使. (3)：，； 【答案】(1)根据正方形和矩形定义知所有的正方形都是矩形，则该命题为真命题； ：存在一个正方形不是矩形. (2)当时，，则该命题为真命题； ：对任意实数，使得. (3)因为， 则不存在，使得，即该命题为假命题； ：，. 【分析】（1）根据正方形性质即可判断真假，根据全称命题和特称命题之间关系即可得到其否定； （2）举出即可判断真假，根据全称命题和特称命题之间关系即可得到其否定； （3）配方即可判断真假，根据全称命题和特称命题之间关系即可得到其否定. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 16．（本题15分）已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）因为“”是“”的必要不充分条件，可得A是B的真子集，则满足，解得，所以实数a的取值范围为． （2）因为“”是“”的充分不必要条件，可得B是A的真子集．①当，即时，此时，符合题意；②当，即时，则满足，即，解得．综上可得，实数a的取值范围为． 17．（本题15分）若集合 (1)若，写出的子集的个数； (2)设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)8个 (2) 【分析】（1）先求出集合，再根据并集的定义求得，进而写出子集个数； （2）由题意可得，进而分，两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，， ， ，其子集个数为个; （2）由题意，是的充分条件，则， 当时，此时，解得：，符合题意； 当时，则： 若为单元素集，则，解得 此时，符合题意； 若为双元素集，则 则有，无解. 综上所述，实数的取值范围为． 18．（本题17分）设全集，集合，集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (3)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）当，求得，结合集合并集的运算，即可求解； （2）根据题意，转化为，列出不等式组，即可求解数的取值范围； （3）根据题意，转化为，分和，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：当，可得， 因为，所以或. （2）解：由“”是“”的充分不必要条件，可得， 因为集合，集合， 则满足且等号不能同时成立，解得， 所以实数的取值范围为. （3）解：由集合，集合， 因为命题“，则”是真命题，则， 当时，则，解得，此时满足； 当时，则满足 ，此时不等式组的解集为空集， 综上可得，实数的取值范围为. 19．（本题17分）设集合A由全体二元有序实数组组成，在A上定义一个运算，记为，对于A中的任意两个元素，，规定：. (1)计算：； (2)请用数学符号语言表述运算满足交换律，并给出证明； (3)若“A中的元素”是“，都有成立”的充要条件，试求出元素I. 【答案】(1)； (2)交换律：，证明见解析； (3). 【分析】（1）利用给定定义直接计算作答. （2），再利用所给定义计算证明作答. （3）结合（2）及给定条件，求出元素I，再验证即可作答. 【详解】（1）. （2）交换律：，证明如下： 依题意，设，，则， ， 所以. （3）若A中的元素，，都有成立，则由（2）知只需成立，设， 即，则， 当时，显然有成立，即元素为A中任意元素， 当时，则，解得， 因此当，都有成立时，得， 反之，当时，，设，， 所以“A中的元素”是“，都有成立”的充要条件， 元素. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第2章 常用逻辑用语（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列命题中的存在量词命题是（   ） A．所有能被3整除的整数都是奇数 B．每一个四边形的四个顶点在同一个圆上 C．有的三角形是等边三角形 D．任意两个等边三角形都相似 2．（本题5分）命题：“”的否定是（        ） A． B． C． D． 3．（本题5分）已知，是实数，则“，”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．（本题5分）已知，则“”是“”的（     ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．（本题5分）下列命题为真命题的是（    ） A．若a，b都是有理数，则是有理数 B．若a，b都是无理数，则是无理数 C．若，则 D．若是小数}，则 6．（本题5分）荀子曰：“故不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“积跬步”是“至千里”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（本题5分）已知命题：“关于的方程有实根”.若为假命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充要条件 10．（本题6分）（多选）如图所示的电路中，“开关闭合”是“灯泡亮”的充要条件的电路图是（ ） A． B． C． D． 11．（本题6分）用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，则下面正确结论正确的是（ ）． A．； B．； C．“”是“”的充分不必要条件； D．若，则 三、填空题 12．（本题5分）“的每个内角都是”是“是等边三角形”的________条件. 13．（本题5分）已知命题，命题，都有，若命题为真命题，命题为假命题，则实数的取值范围是__________. 14．（本题5分）已知命题：“方程至少有一个解”，若的一个必要不充分条件为“”，则实数的取值范围是__________. 四、解答题 15．（本题13分）判断下列命题真假；并写出下列命题的否定. (1)：所有的正方形都是矩形； (2)：至少有一个实数，使. (3)：，； 16．（本题15分）已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 17．（本题15分）若集合 (1)若，写出的子集的个数； (2)设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 18．（本题17分）设全集，集合，集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (3)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围. 19．（本题17分）设集合A由全体二元有序实数组组成，在A上定义一个运算，记为，对于A中的任意两个元素，，规定：. (1)计算：； (2)请用数学符号语言表述运算满足交换律，并给出证明； (3)若“A中的元素”是“，都有成立”的充要条件，试求出元素I. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $