第十周 黄风岭重叠迷雾——重叠问题-【小学奥数72变】2026-2027学年小学数学四年级奥数训练（浅奥版）

第七周流沙河上遇船 一相遇问题 第19变 1.20÷（6+4)=2(时) 2.（274-24×1)÷（24+26)=5(时) 3.(102+14×1)÷（15+14)=4(时) 第20变 1.480÷5-50=46(千米) 2.1500÷10-58=92(米/分) 3.(80×3-15×2)÷3=70(千米) 第21变 1.（62+38)×4=400(千米) 2.45-10=35(千米/时) （45+35)×6=480(千米) 3.2×2÷（12-10)=2(时) （12+10)×2=44(千米) 第八周云栈洞追及 追及问题 第22变 1.50÷（50-40)=5(分钟) 2.6×4=24(千米) 24÷（14-6)=3(时) 3.(3+5)×2=16(千米) 16÷(5-3)=8(时) 第23变 1.（160×4-400)÷4=60(米) 2.2400÷60=40(分) 40-10=30(分) 2400÷30=80(米/分) 3.50×2=100(千米) 50×10=500(千米) 100+500=600(千米) 600÷10=60(千米/时) 第24变 1.50×6=300(米) 300÷(80-50)=10(分) 80×10=800(米) 2.（63-54)×4=36(千米) 3.（3-1)×40÷（50-40)×50=400(千米) 第九周五庄观算果林面积 巧求长方形、正方形的面积 第25变 1.24÷2=12(米) 24÷3=8(米) 12×8=96(平方米) 2.10÷2=5(厘米) 18÷3=6(厘米) 6×5=30(平方厘米) 3.18×13=234(平方分米) （18-2)×(13-2)=176(平方分米) 234-176=58(平方分米) 第26变 1.（80-1)×(50-1)=3871(平方米) 2.（18-2)×(12-2)=160(平方米) 3.4+8+4+8=24(厘米) 4+4+4=12(厘米) 24×12=288(平方厘米) 第27变 1.（29-4×1)÷（4+1)=5(厘米) 5+4=9(厘米) 5+1=6(厘米) 9×6=54(平方厘米) 2.(44+2×3)÷(2+3)=10(分米) 10×10=100(平方分米) 3.40×40÷5=320(平方厘米) 第十周黄风岭重叠迷雾 重叠问题 第28变 1.2015-406=1609(人) 2015-460=1555(人) 123 1609+1555-2015=1149(人) 2.45-(35+31-24)=3(人) 3.46-(10+20-2)=18(人) 第29变 1.(42+44+36)-12-8-10+4=96(人) 2.29+28+27-13-12-11+5=53(名) 53-13-12-11+5×2=27(名) 3.（30+34+40)÷2=52(户) 52-30=22(户) 第30变 1.最多：23人至少：33+23-42=14（人） 2.最多：25人至少：28+25-40=13（人） 3.28×2=56(人) 56×2=112(人) 28+56+112=196(人) 196-164×1=32(人) 第十一周高老庄分物盈亏 一盈亏问题 第31变 1.20÷(10-8)=10(只) 8×10=80(条) 2.16÷(5-3)=8(人) 5×8=40(个) 3.（40+10)÷10=5(辆) 40×5=200(人) 第32变 1.(45-7)÷(9-7)=19(人) 9×19-45=126(本) 2.（28-10)÷（11-9)=9(次) 9×9+28=109(颗) 3.26-20=6(名) 30×9+30-26=274(名) （274-6)÷(30-26)=67(个) 26×(67-1)+20=1736(名) 第33变 1.20÷（2×3-5)=20(天) 24 2×20=40(个) 40×3=120(根) 2.11÷（2×3-5)=11(次) 2×11=22(支) 22×3=66(本) 3.（2×3+6)÷（10-3×3)=12(人) 3×12+2=38(棵) 38×3=114(棵) 第十二周天庭排阵 一方阵问题 第34变 1.9×9=81(盆) （9-1)×4=32(盆) 2.（44+4)÷4=12(把) 12×12=144(把) 12÷2=6(层) 3.18×18=324 （18-1)×4=68(名) 第35变 1.（27+1)÷2=14(人) 14×14=196(人) 2.（17-1)÷2=8(人) 8×8=64(人) 3.（32+4)÷2=18(盆) （18+2)÷2=10(盆) 10-2=8(盆) 10×8=80(盆) 第36变 1.11×11=121(个)11-2×4=3（个） 3×3=9(个)121-9=112（个） 2.（76-60)÷8+1=3(层) （76-8)×3=204(盆) 3.144÷3+8=56(人) (56+4)÷4=15(人)第周 黄风岭重叠迷雾 一重叠问题 取经情境图 这重叠之题，当如何解9 算清双量重叠、悟空，这重叠问题总怕 量交错、重叠极值，方 得过岭 算重复，如何破解？ 25名弟子中 会法术甲的有20人 会法术乙的有12人 两项都会的有几人？ 师父，用会法术甲的加会法 术乙的，再减总人数。 重叠核心是总数量减重叠量。 m 唱歌32人，跳舞33人， 咋算总人数呀？ 八戒说得对，抓住人数非负的原则。 朗诵14人，唱歌和跳舞都参 加的有13人，跳舞和朗诵都 参加的有10人，朗诵和唱歌 班级共有40人，下围 都参加的有7人，三项都参加 的有3人。求共有多少人？ 棋的有30人，下象棋的有 5人，两种都下的最多 至少各有几人？ 先算总和，再减两两重叠， 最多，就是求参加人数较少的 最后加三项重叠。 项；至少，就是求重叠部分。 闯关前思考 悟空面对两个量的重叠问题，涉及重复计算，要用总数量减重叠量：沙僧面对三 个量的交错关系，需处理两两重叠和三项重叠的情况；八戒想求重叠的最大值和最小 值，要根据人数非负的原则推导。重叠问题的核心是包含与排除，如何解决双量重叠、 三量重叠及重叠极值问题？本周我们一起来探究！ 91 小学奥数2变四年级浅奥版 第28变0 悟空辨双量重叠 两个量重叠 考点人门2分钟 入门须知： 重叠问题，也叫容斥原理，是指几个量之间的包含 与排除关系。 25名弟子中， 会法术甲的有20人 解决问题的关键是避免重复计算或遗漏。 会法术 7的有12人， 大师兄说得对！ 两项都会的有几人？ 定海神针： 法术甲20人法术乙12人 甲类与乙类元素个数的总和=甲类元素的个数十乙 (?人 类元素的个数一既是甲类又是乙类的元素个数。 25人 问路取经： 如何解两个量的重叠问题？让我们一起来探究吧！ 先算会法术甲与会法术乙 的总和，再减总人数。 图解母题 3分钟 →总人数 例1 读题审题 空军突击队共有25名士兵：，每个人都擅长射击和武术中的 项或者两项。如果王兵中擅长射击的有20人，擅苌武术的有12人，则两项： 分别擅长两项活动的人数 均擅长的士兵有多少人？ 求两项都会的 图示解析 解题思路 射击20人 武术12人 ①明确条件：总人数为25人，擅长射 击的有20人，擅长武术的有12人。 ②套用公式：两项都擅长的人数=擅 25人 长射击人数十擅长武术人数一总 92 第十周黄风岭重叠迷雾 规范解答 人数。 20+12-25=7(人) ③计算结果：代入数值，20十12 答：两项均擅长的士兵有7人。 25=7(人)，得两项都擅长的人数。 擅长打乒乓球、下象 总人数← 棋和两项都会的人数 例2 读题审题 四(1)班第2小组共12人八，其中5人会打乒乓球，8人会 :下象棋，3人既会打乒乓球又会下象棋：，这个小组中厩不会打乓球又不会下 象棋的有多少人？ 求两项都不会的人数 解题思路 图示解析 ①明确已知量。 会打乒乓球5人会下象棋8人 ②先算“至少会一项”的人数：用 “会打乒乓球的人数十会下象棋 的人数一两项都会的人数”，得 12人 到至少会一项的人数。 规范解答 ③再算“两项都不会”的人数：用 总人数一至少会一项的人数。 5+8一3=10（人） 12-10=2(人) 答：这个小组中既不会打乒乓 易错点：忽略重叠部分，导致结果 球又不会下象棋的有2人。 错误。 通关模型鱼28变两个量重叠 通用解法：遇到有两个量重叠的问题，先把这两类的数量加起来，去掉重复计算的部分， 得到至少占一类的数量，再结合总人数推导。 三步解题： 1.判类型：确定是否存在“两项都不擅长”的人，明确已知量。 2.套公式：根据类型选择对应公式，代入已知量计算。 3.算结果：直接计算。 93 小学奥数72变四年级 浅奥版 变式巧练 10分钟 1.某学校举行冬季运动会，有2015人参加，其中不会滑冰的有406人，不会滑 雪的有460人。那么，两种运动都会的有多少人？ 画图思考： 规范解答： 2.四（3)班一共有45名学生，英语好的有35人，语文好的有31人，两门功 课都好的有24人，那么两门功课都不好的学生有多少人？ 画图思考： 规范解答： 3.某班共有46人，在一次竞赛报名中，报语文的有20人，既报语文又报数学 的有2人，两项都没报的有10人。那么报数学的有多少人？ 画图思考： 规范解答： 第十周黄风岭重叠迷雾 第29变。沙僧理三量交错 一三个量重叠 考点入门2分钟 入门须知 当问题涉及三项活动，且部分人同时参与多项 解决问题的关键是 时，重叠关系会更复杂，可能只参与一项，可能参 找对重叠次数。 与两项，也可能三项都参与。解题关键是分层计算， 唱歌32人，跳舞33人， 先算两两重叠的人数，再排除三项重叠被重复计算 朗诵14人，唱歌和跳舞都参 加的有13人，跳舞和明诵都 参加的有10人，朗诵和唱歌 的部分，确保每人只被计算一次。 都参加的有7人，三项都参加 的有3人。求共有多少人？ 定海神针： 唱歌的有32人跳舞的有33人 唱歌和非 用符号表示：总人数=A十B十C一(A∩B十 的有13人 B∩C十A∩C)十三项都参与的人数。 问路取经： 朗的有14人入餐8通 如何解三个量的重叠问题？让我们一起来探 究吧！ 思路真清晰！ ①图解母题 3分钟 》参加单项的人数 例 读题审题 一次演出，四（2) 班全体同学参加了唱歌、跳舞、朗诵三 个节目，参加唱歌的有32人：.参加跳舞的有33人，参加朗诵的有14人，参加： :唱歌和跳舞的有13人，参加跳舞和朗诵的有10人，参加朗诵和唱歌的有7人，： 个节自都参加的有3人。该班共有多少人？ 之参加两项及三项的人数 →求总人数 95 小学奥数72变四年级 浅奥版 图示解析 跳舞的有33人 唱歌的有32人 唱歌和跳舞的 有13人 朗诵和唱歌的 跳舞和朗诵的 有7人 有10人 朗诵的14人 易错，点：减去时多减了三项重叠人数，导致结果偏小。 解题思路 ①明确条件：每人至少参加一项，已知单项人数、两两重叠人数、三项重叠人 数，求总人数。 ②套用公式：选择合适的公式。 ③计算结果：直接代入计算。 规范解答32+33+14一13一10一7+3=52（人） 答：该班共有52人。 通关模型鱼29变三个量重叠 ●-◆=-。。。==。=-=。 通用解法：解三个量重叠的问题，可按三步来：先明确三个量各自的数量，再找两两重 叠以及三个都重叠的情况，最后用“总数量=三个量之和一两两重叠之和十三个都重叠 的数量”计算。 三步解题： 1.列已知：列出单项人数、两两重叠人数、三项重叠人数。 2套公式：根据“是否有三项都不参与的人”选择公式，代入已知量。 3.算结果：直接代入计算。 96 第十周黄风岭重叠迷雾 变式巧练 10分钟 1.某单位组织旅游，要求每人至少选择一个想去的地方。其中想去海南的有42 人，想去桂林的有44人，想去香港的有36人，既想去海南又想去桂林的有12人， 既想去桂林又想去香港的有8人，既想去海南又想去香港的有10人，三个地 方都想去的有4人。这个单位一共有多少人？ 画图思考： 规范解答： 2.少年宫春季书法班、美术班、乐器班招生。书法班招收了29名学员，美术班 招收了28名学员，乐器班招收了27名学员。在这些学员中，既报书法又报 美术的有13名，既报书法又报乐器的有12名，既报美术又报乐器的有11名， 三个班都报的有5名。只报一个班的学员有多少名？ 画图思考： !规范解答： 3.一栋居民楼里的住户每户都订了两份不同的报纸。如果该居民楼的住户只订 了甲、乙、丙三种报纸，其中甲报30份，乙报34份，丙报40份。那么既订 乙报又订丙报的有多少户？ 画图思考： !规范解答： 7 小学奥数2变四年级； 浅奥版 递30变0 八戒算极值重叠 一重叠极值问题 ①考点人门2分钟 入门须知： 在重叠问题中，除了求固定的重叠人数，还会遇 到求重叠人数的最大值或最小值的情况，比如两种比 赛都参加的人最多有多少，最少有多少。这类问题的 八戒不错呀】 关键是抓住人数不能为负数的原则，由此推导重叠人 班级共有40人，下围 摸的有30人，下象棋的有 数的范围。 15人，两种都下的最多 至少各有几人？ 围棋30人 定海神针： 重叠人数最大值=参与人数较少的活动的总人数 重叠人数最小值=A十B一总人数（结果为负则 取0，需满足人数非负) 问路取经： 最多的人数是参加下象棋的人数， 如何解重叠极值问题？让我们一起来探究吧！ 最少的人数有30+15-40=5人。 图解母题 3分钟 班级总人数 例 读题审题 某班有40人 班里开展了两种比赛，分别是围棋比赛和象 棋比赛，其中有30人参加了围棋比赛，15人参加了象棋比赛：。那么，两种比： →参加两种比赛的人数 赛都参加的最多有多少人？至少有多少人？ →求至多、至少人数 98 第十周黄风岭重叠迷雾 图示解析 围棋30人 象棋15人 围 象棋 30 15人 易错点：忽略小数群体全参与大 解题思路 数群体的情况。 ①明确关键数据：确定总人数、参 与围棋比赛的人数、参与象棋比 规范解答 赛的人数，明确需计算重叠人数 参加象棋比赛的15人全部参加 的最大值和最小值。 围棋比赛时，重叠人数最多， ②计算最大值：比较两种比赛的参 所以两种比赛都参加的最多有 与人数，取较小值，即让参与人 15人。 数少的象棋群体全部参与围棋比 参加两种比赛的总人数为30+ 赛，此时重叠人数最多，为15人。 15=45（人)，超过班级总人 ③计算最小值：先算参与两种比赛 数40人，至少重叠人数=45一 的总人数30+15=45（人）， 40=5(人)。 因45>40，故重叠人数最小值 答：两种比赛都参加的最多有 为45-40=5（人)。 15人，至少有5人。 通关模型鱼30变重叠极值问题 通用解法：最多重叠人数取两个活动参与人数的较小值；最少重叠人数看参与人数之和， 超过总人数则用和减总人数，否则为0。 三步解题： 1.明确数据：确定总人数、参加活动甲的人数A、参加活动乙的人数B。 2.计算最大值：比较A和B的大小，重叠人数的最大值为两者中的较小值。 3.计算最小值：先计算A与B的和，若A十B>总人数，则最小值=A十B一总人数； 若A十B≤总人数，则最小值=0，最后验证“只参与单一活动的人数≥0”，确认结 果合理。 99 小学奥数72变四年级浅奥版 变式巧练 10分钟 1.四(3)班有42人，参加航模兴趣组的有33人，参加书法兴趣组的有23人， 既参加航模兴趣组又参加书法兴趣组的至少有多少人？最多有多少人？ 画图思考： 规范解答： 2.有40人参加某次晚会演出，其中28人在晚会上唱歌，25人在晚会上跳舞。 既唱歌又跳舞的人最多有多少人？至少有多少人？ 画图思考： 规范解答： 3.魔法学院有164名学生，选魔咒课的学生有28人，选变身课的学生人数是魔 咒课的2倍，选飞行课的学生人数是变身课的2倍。如果以上三门课中，每 人至少选一门，最多只能选两门，选两门课的学生至少有多少人？ 画图思考： 规范解答： 100