第十二周 凌霄殿上摆幻方——四阶幻方-【小学奥数72变】2026-2027学年小学数学四年级奥数训练（竞赛版）

第十二周 凌霄殿上摆幻方 一四阶幻方 取经情境图 这方格咋摆数字能使每行每列和都一样呀？ 先顺序填，再交换。 用1-16制成四阶幻方 31/16/ > 如何制作四阶幻方？ 这是四阶幻方，按规律摆就行。 空缺的数字昨补？ 幻方里藏着啥规律呀？ 栓不完要的四方。、 探究四阶幻方的规律。 对称数字和为17幻和为34 幻和34 对称和17 15 用幻和先算，再用规律验证。 对称数字和为17，幻和为34。 闯关前思考 悟空制作四阶幻方，要会通过对称交换法排列数字：八戒探究幻方规律，需 找到对称数字和、2×2方格和的关联；沙僧补全不完整幻方，能利用幻和快速 推导空缺数字。四阶幻方的核心是掌握制作方法和内在规律，如何快速制作幻方、 补全空缺数字？本周我们一起来探究。 71 小学奥数72变四年级 竞赛版 第70变0 悟空制幻方 四阶幻方的制作方法 考点入门2分钟 入门须知： 幻方的阶数是指幻方的行或列的数目。四阶幻 方是将1~16这16个自然数填入4×4的方格中， 使每行、每列及两条对角线上的4个数之和相等。 对称位置交换，确保每 制作四阶幻方的方法很多种，其中最简单的方法是 行每列和相等。 对称交换法。 定海神针： 幻和=(1+2+…+16)÷4=34 幻和34 问路取经： 为什么先顺序填1~16，再交换对角数字，就 能成四阶幻方？因为四阶幻方的幻和是34（1十2 +…+16=136,136÷4=34),顺序填时，对 交换的数字有啥要求？ 角线上的数字和刚好是34，但其他行、列和不够。 交换对称数字，能让每行、每列的数字和都变成 34。这就是四阶幻方的经典填法。 图解母题 3分钟 填入四阶幻方的数← 例1 读题审题 (学而思杯)用1至16这16个数制成一个四阶幻方，填入 填写四阶幻方← 下面表格中。 712 第十二周凌霄殿上摆幻方 图示解析 1 23 4 5 6 8 9101112 13141516 互换对角线上的数 或 互换非对角线上的数 16 2313 1 15144 5 11 108 12 6 9 9 7 612 8 10115 414151 133216 易错，点：交换时找错对称位置， 导致幻和不相等。 规范解答 解题思路 15144 ①将数按从小到大的顺序填入方格中， 67 9 确保数字不重复、不遗漏。 8 10115 ②选定交换的方法，如换非对角线上 133216 的数，对角线上的数（1、4、6、7、 10、11、13、16)不动。 ③剩下的数上下、左右交换位置。 通关模型鱼70变四阶幻方的制作方法 通用解法：先按顺序填数，再交换对称位置的数，可互换对角线上的数，也可互换非对 角线上的数。 三步解法： 1.顺序填数：将1~16依次填入4×4方格，形成基础表格。 2.对称交换：交换对角线上或非对角线上的数。 3.验证调整：检查幻和，若有异常，检查对称位置数字。 113 小学奥数72变四年级竞赛版 ￥ 变式巧练 10分钟 1.(国少赛)用2,4,6,8，…，32制成一个四阶幻方， 填入右边表格中。 画图思考/规范解答： 2.(高斯杯)用2~17这16个数制成一个四阶幻方，填入右 边表格中。 画图思考/规范解答： 3.(明心挑战赛)把5~20这16个数制成一个四阶幻方，填 入右边表格中。 画图思考/规范解答： 114 第十二周凌霄殿上摆幻方 第71变0八戒探幻律 四阶幻方中的数学规律 考点入门2分钟 入门须知： 四阶幻方是4×4的数字方格阵，核心要求是 每行、每列及两条对角线上的4个数字之和相等（这 个和称为“幻和”，1~16组成的四阶幻方幻和 数学规律运处真大。 固定为34)。它不仅满足基础幻方要求，还藏着“对 称和为17”“2×2方格和为34”等巧妙规律，掌握 幻和34 这些规律，既能快速补全空缺数字，又能验证幻方 是否正确。 定海神针： 幻和=每行（列)数字之和 幻和=对角线数字之和 幻和=各区数字之和 对！运用规律，能快速补全幻方。 问路取经： 四阶幻方的规律为什么能帮我们解题？因为1~16中，刚好能分成8对和为17的数 （1+16、2十15、3+14…8十9)，四阶幻方的数字排列就是巧妙利用了这些数对。 对称位置放置数对，就有了“对称和17”；2×2方格刚好包含两组数对，自然和为34。 记住这些规律，不管是补幻方还是查对错，都能事半功倍。 图解母题 3分钟 四阶幻方← 填入四阶幻方的数← 例 读题审题（国少赛）请在4×4方格阵的每个格子中不重复地填上1~16： 这16个数，使得每行、每列、每条对角线的和都相等： →每行、每列、每条对角线上的4个数的和相等 15 小学奥数72变四年级 竞赛版 图示解析 易错点：混淆对称位置。 解题思路 ①先确定数对：列出1~16中所有和为17的数对(1与16、2与15、3与 14、4与13、5与12、6与11、7与10、8与9)。 ②布局数对：将数对按对称原则填入方格，确保每行、每列、每条对角线 上都能包含4个数字（即两组数对)。 ③验证调整：填入后检查每行、每列、对角线和是否为34，用2×2方格和 为34的规律二次验证。 规范解答 15144 67 9 8 10115 133216 通关模型角71变四阶幻方中的数学规律 通用解法：利用四阶幻方的核心规律（对称和为17、2×2方格和为34)，结合幻和 34,快速补全幻方。 三步解法： 1找对称：确定空缺数字的对称位置，根据“对称和为17”，用17减去对称位置的已知 数字，初步推导空缺数。 2.算幻和：结合所在行或列的已知数字，用幻和34减去已知数字之和，精确计算空缺 数字。 3.验规律：用“2×2方格和为34”或“同一行/列对角和为17”的规律验证结果，确保无 错误。 16 第十二周 凌霄殿上摆幻方 变式巧练 10分钟 1.(世奥赛)补全右边由1至16构建的不完整四阶幻方，使 4 5 16 每行、每列、每条对角线上的4个数的和都相等。 7 画图思考/规范解答 10 3 12 2.(走美杯)将自然数1到16排成4×4的方阵，每行每列以 2 3 及对角线上数的和相等。将其补充完整。 画图思考/规范解答： 11 10 9 12 4 1 3.(走美杯)将自然数1到16排成4×4的方阵，每行每列以 16 2 及对角线上数的和相等。将其补充完整。 10 11 画图思考/规范解答： 9 12 15 小学奥数72变四年级 竞赛版 72变氵 沙僧补幻方 巧解四阶幻方题 考点入门2分钟 入门须知： 巧解四阶幻方题的核心是“灵活运用幻方规 律”。对于不完整的四阶幻方，可根据已知数字求 出幻和，用“对称数字和”、“行/列和为幻和” 先算哪一行或列更方便？ 等规律，逐步推导空缺数字，确保数字不重复、不 遗漏。 幻和34 定海神针： 利用“幻和”“对称和”“行/列缺数计算”三 大核心规律，按步骤推导，快速补全四阶幻方。 问路取经： 补不完整的四阶幻方，为什么先找“行和”“列 先算已知数字多的行或列， 更容易得出空缺数。 和”或“对称数字”？因为若是使用1到16的连 续整数构造四阶幻方，每行、每列和都是34，只要知道一行里3个数字，用34减这3个 数字，就能算出空缺的；要是知道对称位置的一个数字，用17减它，就能算出另一个对 称数字。比如一行有16、8、7，空缺的就34一16一8一7=3；对称位置有4，另一个 就是17一4=13。若使用其他数集构造四阶幻方，可根据连续整数求出幻和，再推导。 用这些规律，很快就能补全幻方。 图解母题 3分钟 例 读题审题 (巨人杯)在空白处填上适当的数字， 12 14 使每行每列及对角线的和都相等：。 213 16 10 5 →每行、每列、每条对角线上的4个数的和相等 154 18 第十二周 凌霄殿上摆幻方 图示解析 12 14 12 14 14 213 2 13 2 13 13 16 105 16 3 105 16 3 10 5 16 3N10 154 15 4 15 4 154 易错，点：计算幻和时出错， 导致空缺数字推导错误。 解题思路 ①算幻和，找基准：已知四阶幻方幻和为34，利用幻和进行推导。 ②用对称，推数字：若是使用1到16的连续整数构造四阶幻方，可根据“对 称数字和为17”推导出第一行数字为7。 ③验行/列，保正确：将结果进行验证。 规范解答 .6 310 5 9 6154 通关模型角72变巧解四阶幻方题 通用解法：先明确四阶幻方的和相等，从已知数多的行列入手算出空缺数；再依据“对称 数的规律”推导对称位置的数，同步验证行列和是否相等，补全幻方。 三步解法： 1.算幻和，找基准：明确四阶幻方幻和相等，优先找已知数字的行、列或对角线，计算 出第一个空缺数字。 2.用对称，推数字：根据“对称数字和的规律”，推导与已知数字对称的空缺数字，同 时检查数字是否重复。 3.验行/列，保正确：每填一个数字后，验证所在行、列的和是否为34，确保无错误。 小学奥数72变四年级 竞赛版 变式巧练 10分钟 1.(明心挑战赛)在右边的空格中填入自然数，使之成为一个 14 7 12 四阶幻方。 4 画图思考/规范解答： 6 16 11 2.(睿达杯)补全右边由1至16构建的不完整四阶幻方，使 16 3 13 每行、每列、每条对角线上的4个数的和都相等。 5 8 画图思考/规范解答： 6 7 4 3.（“数学大王”初赛)补全右边由4至19构建的不完整四阶 4 幻方，使每行、每列、每条对角线上的4个数的和都相等。 9 画图思考/规范解答： 8 13 11 6 120第十一周 盘丝洞中共笼居 —鸡兔同笼问题 第67变 1.兔的数量： (100-45×2)÷(4-2)=5(只) 鸡的数量：45一5=40（只） 2.（2×400-546)÷（2-1)=254（杯) 3.两班总人数：80÷2=40（人) 大班人数： (158-40×3)÷(5-3)=19(人) 小班人数：40一19=21（人) 第68变 1.54÷（2+4)=9（组) 鸡：9×1=9（只） 羊：9×1=9（只） 2.210÷（4+1)=42（组) 42×4=168（只) 3.总脚数：28×4=112（只） 鸡：（112-12)÷(3×2+4)=10（只） 兔：28-10=18（只） 第69变 1.20×2=40（条) (50-40)÷(4-2)=5(只) 20-5=15(只)15÷3=5（只） 5×2=10(只) 2.400×3=1200(元) 1920-1200=720(元)5+7=12（元） 3×2=6(元)12-6=6（元） 720÷6=120(组)400-120×2=160（张） 3.中号玩具：(10×64-360)÷[(10-6) +(10-2)×3]=10(件) 小号玩具：10×3=30（件) 大号玩具：64一10一30=24（件） 第十二周 凌霄殿上摆幻方 一四阶幻方 第70变 1. 230288 2. 216155 24121418 13 7810 16202210 9 11126 266432 144317 124 3. 519188 16101113 1214159 177620 第71变 1. 49 516 2. 216133 147112 115810 156103 79126 112813 144115 3. 163213 510118 96712 415141 第72变 114712 2. 163213 15496 510118 105163 96712 811213 415141 3. 717184 1210915 8141311 195616