第十一周 盘丝洞中共笼居——鸡兔同笼问题-【小学奥数72变】2026-2027学年小学数学四年级奥数训练（竞赛版）

第十一周 盘丝洞中共笼居 一鸡兔同笼问题 取经情境图 鸡晚有100只，脚有260只，鸡兔各多少只？ 知道头和脚，怎么算只数？ 鸡和兔混在一起，咋数清楚呀9 可假设全是鸡。 用假设法就能解。 鸡、鸭、兔共有31只，脚有70 鸡兔数量相同，脚共有72只，鸡兔各有多少只？ 只。鸭是鸡的2倍，求名有多少只？、 有倍数关系的鸡兔同笼问题如何算？ 三个对象的鸡兔同笼 问题怎样解？ 先分组再计算。 转化成两个对象再计算。 闯关前思考 悟空解基础鸡兔同笼，要会灵活运用假设法；八戒计算有倍数关系的鸡兔 同笼，需分组简化；沙僧面对三个对象的鸡兔同笼，能合并同类转化为两个对象。 鸡兔同笼问题的核心是“假设法”和“转化法”，不同类型的鸡兔同笼题该如 何拆解？本周我们一起来探究。 101 小学奥数72变四年级 竞赛版 磨67变 、悟空解基础笼 简单的鸡兔同笼问题 考点入门2分钟 入门须知： 鸡免同笼问题是道中国古代数学名题，最早记载于 约1500年前的《孙子算经》。其核心是：已知笼中鸡 和兔的总头数与总脚数，求鸡和兔各有多少只。通过 假设全是鸡，然后怎么办？ 头数和脚数的关系，运用假设法即可求解。 找出鸡和兔的脚数差。 定海神针 假设全是鸡：兔数=（总脚数一2×总头数)÷2 鸡的数量=总头数一免的数量 假设全是兔：鸡数=（4×总头数一总脚数)÷2 兔的数量=总头数一鸡的数量 安2PP空 问路取经： 100只鸡共200只脚 “假设全是鸡”或“假设全是兔”，到底怎么用？ 每只鸡比免少2只脚一60只里有 30个2，就有30只兔。 比如鸡兔共100只，脚260只，假设全是鸡，脚只有 200只，比实际少60只。为什么少？因为把兔当成鸡，每只兔少算了2只脚(4一2=2)， 60只脚就是30只兔少算的，所以兔30只，鸡70只。反过来假设全是兔，脚400只，多 140只，每只鸡多算2只脚，鸡70只，兔30只，结果一样。假设法就是“先假设一种， 再用脚差补回来”。 图解母题 3分钟 鸡、免的头脚总数量一 例■ 读题审题 （春营杯)鸡与兔共有10.只，共有脚260京，鸡与兔各有 多少只？ 求两个对象的数量 702 第十一周盘丝洞中共笼居 图示解析 用“●”表示头，用“」”表示脚，用“」”表示鸡免相差的脚 nn nnn 100只鸡共200只脚 易错点：混淆“多算”和“少算”的差值。 解题思路 ①假设全是鸡，计算假设的总脚数：2×100=200（只)。 ②求实际与假设的脚数差：260一200=60（只）。 ③每只免比鸡多2只脚，用差值除以2得免的数量：60÷2=30（只）， 再求鸡的数量。 规范解答 (260-2×100)÷(4-2)=30(只) 100-30=70(只) 答：鸡有70只，兔有30只。 通关模型鱼67变简单的鸡兔同笼问题 通用解法：用假设法将两种动物转化为一种，通过脚数差值求出其中一种动物的数量， 再求另一种。 三步解法： 1.做假设：假设全是鸡或全是兔，计算假设的总脚数。 2.算差值：求出实际总脚数与假设总脚数的差。 3.求数量：用差值除以每只动物的脚数差，得到其中一种动物的数量，再求另一种。 103 小学奥数72变四年级 竞赛版 变式巧练 10分钟 1.(希望数学少年俱乐部初赛)鸡和兔共有45只，100只脚。那么鸡、兔各有多少只？ 画图思考： 规范解答： 2.（希望杯)在一次义卖活动中，王刚卖柠檬水和热巧克力共400杯，得款546元。 如果柠檬水1元/杯，热巧克力2元/杯，那么王刚在这次义卖活动中卖出了 多少杯柠檬水？ 画图思考： 规范解答： 3.（希望杯)幼儿园吃水果的时间到了。大班每人分了2根香蕉和5个橘子，小 班每人分了2根香蕉和3个橘子，两个班一共分了80根香蕉和158个橘子。 两班各有多少人？ 画图思考： 规范解答： 104 第十一周 盘丝洞中共笼居 第 68变0 八戒算倍数笼 有倍数关系的鸡兔同范 考点入门2分钟 入门须知： 有倍数关系的鸡兔同笼问题，核心是“利用倍 数关系合并动物”—鸡和兔的数量存在倍数关系， 数量成倍数都能这样分组吗？ 可将一组动物视为一个整体，先求组数，再求各自 数量。 定海神针： 总脚数÷每组脚数=组数 组有6只脚 鸡间网 兔aa 问路取经： 共72只脚 鸡兔数量相同时，为什么要分组算？因为数量 对，按倍数分组可以简化计算。 相同，1只鸡和1只免能分成1组，每组有2十4 6只脚。比如脚共72只，72÷6=12组，每组1 鸡1兔，所以鸡兔各12只。要是鸡的数量是兔的2倍，就2只鸡和1只免分1组，每组 2×2十4=8只脚，再用总脚数除以每组脚数得组数，最后算数量。分组能把两个量变 成一个量，简化计算。 图解母题 3分钟 鸡、免的数量相同及鸡、兔的脚数之和← 例 读题审题 (世少赛)鸡兔同笼，鸡和兔的数量相同，它们共有72只脚。 鸡、兔各有多少 求两个数量 105 小学奥数72变四年级 竞赛版 图示解析 用“●”表示头，用“」”表示脚 6只脚 易错，点：误将每组脚数算成2十2 或4十4，导致组数计算错误。 共72只脚 解题思路 规范解答 ①确定组数：鸡和免数量相同，每 2+4=6(只) 组含1鸡1兔，每组6只脚。 72÷6=12（组) ②计算组数：72÷6=12（组）。 答：鸡和兔各有12只。 ③鸡和免的数量=组数=12（只）。 通关模型鱼68变有倍数关系的鸡兔同笼 通用解法：倍数鸡免同笼，按数量倍数分组，靠总脚数求出组数，进而算出鸡免数量。 三步解法： 1.定分组：根据倍数关系确定每组动物的构成（如1鸡1免）。 2.算组脚：计算每组的总脚数。 3.求数量：总脚数÷每组脚数=组数，再根据组数求鸡和免的数量。 106 第十一周 盘丝洞中共笼居 变式巧练 10分钟 1.(希望数学少年俱乐部初赛)鸡和羊关在一起，鸡和羊的数量相同，它们的脚数 之和是54只。鸡、羊各有多少只？ 画图思考： 规范解答： 2.(希望数学少年俱乐部初赛)饲养场的鸡与兔共有210只，已知鸡的脚数是兔的 脚数的2倍，那么鸡有多少只？ 画图思考： 规范解答： 3.（春蕾杯)鸡兔同笼，共有28个头，兔的总脚数比鸡的总脚数的3倍多12只， 那么笼中共有多少只兔子？ 画图思考： 规范解答： 小学奥数72变四年级 竞赛版 第 69变，沙僧破三物笼 三 个对象的鸡免同笼问题 ①考点人门2分钟 入门须知： 三个对象的鸡免同笼问题，是指在传统的“鸡 免同笼”问题基础上，将对象从两种扩展为三种， 对，鸡和鸭都是2只脚 通过已知的总数量和某种特征的总和，求解三种对 先合并再计算。 象各自数量的问题。 定海神针： 三个对象的鸡兔同笼问题，核心是“转化为两 个对象”一找到其中两个对象的共同特征，将它 们合并为一个“虚拟对象”。 问路取经： 鸭的数量是鸡的2倍 三个对象的鸡兔同笼问题是如何变成两个对象 鸡+鸭=3倍鸡 的？关键是找两个对象的“共同特征”，比如鸡和 鸭都是2只脚，把它们合并成“家禽”，就变成“家 合并的关键是属性相同吗？ 禽”和“兔”两个对象。合并同类项，复杂问题就 变简单啦！ 图解母题 3分钟 三种动物的头、脚的总数 例 读题审题 (高思杯)鸡、鸭、兔一共有31只，总共有70条腿：。其中 鸭的数量是鸡的2倍：。那么，鸡有多少只？鸭有多少只？兔有多少只？ →动物的倍数关系 →求三个量 108 第十一周 盘丝洞中共笼居 图示解析 鸡和鸭都有 三个对象转化 运用假设法 通过鸭的数量 2只脚，看成 成一组和另一 解答，求出 是鸡的2倍，求 一组。 个对象。 免的只数。 出各自只数。 易错点：合并时忽略倍数关系。 解题思路 ①组合鸡和鸭：鸭的数量是鸡的2倍，1只鸡和2只鸭看成一组。 ②求兔的数量：假设这31只全是鸡和鸭的组合，那么总腿数应该是31×2= 62（条)。多的腿数是70一62=8（条)，每只兔多2条腿，所以兔的 数量是8÷(4-2)=4（只）。 ③求鸡和鸭的数量：鸡和鸭的总数是31一4=27（只）。因为鸭是鸡的2倍， 把鸡看成1份，鸭看成2份，一共1十2=3份。所以鸡的数量是27÷ 3=9(只)，鸭的数量是9×2=18（只）。 规范解答 31×2=62（条) (70-62)÷(4-2)=4(只) 31-4=27(只)27÷3=9（只）9×2=18（只） 答：鸡有9只，鸭有18只，兔有4只。 通关模型角69变三个对象的鸡兔同笼问题 通用解法：先合并两个具有相同属性的对象，将问题转化为经典鸡免同笼模型，求出合 并后的数量与第三个对象数量后，再根据倍数关系拆分合并的对象。 三步解法： 1.合并同类：将两个属性相同的对象按倍数关系合并。 2.求另一个量：运用假设法求出另一个量。 3.拆分还原：根据倍数关系求出两个合并对象的数量。 109 小学奥数72变四年级 竞赛版 变式巧练 10分钟 1.(国际青少年数学竞赛)鸡、鸭、兔一共有20只，总共有50条腿。其中鸡的数 量是鸭的2倍。那么，鸡有多少只？鸭有多少只？兔有多少只？ 画图思考： 规范解答： 2.(世少赛)动物园售出3元、5元和7元的门票共400张，一共价值1920元， 其中7元和5元的张数相等。三种价格的门票各售出多少张？ 画图思考： 规范解答： 3.(“海峡两岸数学”邀请赛)某商店的儿童玩具分大、中、小号三种，大号每件10 元，中号每件6元，小号每件2元。李老师用360元买了64件玩具，其中中 号花的钱与小号花的钱一样多，大号玩具买了多少件？ 画图思考： 规范解答： 110第十一周 盘丝洞中共笼居 —鸡兔同笼问题 第67变 1.兔的数量： (100-45×2)÷(4-2)=5(只) 鸡的数量：45一5=40（只） 2.（2×400-546)÷（2-1)=254（杯) 3.两班总人数：80÷2=40（人) 大班人数： (158-40×3)÷(5-3)=19(人) 小班人数：40一19=21（人) 第68变 1.54÷（2+4)=9（组) 鸡：9×1=9（只） 羊：9×1=9（只） 2.210÷（4+1)=42（组) 42×4=168（只) 3.总脚数：28×4=112（只） 鸡：（112-12)÷(3×2+4)=10（只） 兔：28-10=18（只） 第69变 1.20×2=40（条) (50-40)÷(4-2)=5(只) 20-5=15(只)15÷3=5（只） 5×2=10(只) 2.400×3=1200(元) 1920-1200=720(元)5+7=12（元） 3×2=6(元)12-6=6（元） 720÷6=120(组)400-120×2=160（张） 3.中号玩具：(10×64-360)÷[(10-6) +(10-2)×3]=10(件) 小号玩具：10×3=30（件) 大号玩具：64一10一30=24（件） 第十二周 凌霄殿上摆幻方 一四阶幻方 第70变 1. 230288 2. 216155 24121418 13 7810 16202210 9 11126 266432 144317 124 3. 519188 16101113 1214159 177620 第71变 1. 49 516 2. 216133 147112 115810 156103 79126 112813 144115 3. 163213 510118 96712 415141 第72变 114712 2. 163213 15496 510118 105163 96712 811213 415141 3. 717184 1210915 8141311 195616