第八周 子母河畔来逆推——还原问题-【小学奥数72变】2026-2027学年小学数学四年级奥数训练（竞赛版）

第八周 子母河畔来逆推 一还原问题 取经情境图 倒推的时候要注意什么？ 知道结果，咋找 原来的数呀？ 一个数加18用4除，减15后用 10乘，得100，求这个数。 不难，倒着算就行。 改变运算符号。 王叔叔取款，第一次取一半多500，第 甲、乙、丙有36颗糖，甲借丙3 二次取余下一半多200元，剩1800元，原来 颗、给乙4颗，乙给丙5颗，三人相等， 有多少元？ 原来各有多少颗？ 半多几的题好复杂！ 可以用画线段图来解决。 多个人的还原问题 画表格倒推试试看。 怎么解决？ 闯关前思考 悟空用符号倒推还原问题，须厘清运算符号的反向变化规则；八戒画线段图 还原“一半多几”的问题，要倒推补全数量；沙僧列表格还原多个人的数量变化， 不能混淆“给出去”和“收到”的反向操作。还原问题的核心是“逆向思维”， 不同呈现形式的还原题如何选择合适的方法？本周我们一起来探究。 77 小学奥数72变四年级 竞赛版 磨58变01 悟空把符号倒推 符号还原 考点人门2分钟 入门须知： 还原问题也称逆运算问题，是指已知某个数经 过加、减、乘、除等运算后所得的结果，返求原数。 解答这类问题，通常利用加与减、乘与除互为逆运 图形思想： ？+18☐4☐-15☐×10100 算的原理，根据题目叙述的顺序，从结果出发由后 还原思想 向前逆推运算。 828-1004×L2515±1019100 用符号倒推法倒推时，从结果入手，加号变减号， 减号变加号，乘号变除号，除号变乘号。 除了改变符号，还要注意什么？ 定海神针： 解决符号还原类问题时，先锁定每一步正向运 算对应的“逆运算”；接着跳出原运算的先后顺序， 从最终结果开始，把这些逆运算按“从后往前”的 倒推的顺序也要反过来。 顺序依次应用于结果之上，就能推出最初的数。 问路取经： 还原问题为什么要“倒着算”？因为题目给的是“最终结果”，要找“原来的数” 就得把原来的运算“撤销”。比如一个数加17、除以4、减15、乘10得100，倒推时就 把运算反过来：乘10撤销是除以10(100÷10=10)，减15撤销是加15（10+15= 25),除以4撤销是乘4(25×4=100)，加17撤销是减17(100一17=83)。记住“加 变减、减变加，乘变除、除变乘”，倒着来就行。 图解母题 3分钟 运算的情况← 例 读题审题 (育苗杯)一个数加上18用4除，再减去15后用10乘，恰 巧退100。这个数是多少？求这个数 →结果是100 72 第八周子母河畔来逆推 图示解析 图形思想： +18 +18☐4☐15☐x1010 还原思想： 4× 15+ 82 10÷ 100 易错点：逆向运算顺序错误。 解题思路 ①确定逆向运算顺序：从结果100出发，按“×10的逆运算÷10→一15 的逆运算+15→÷4的逆运算×4→十18的逆运算一18”推导。 ②逐步计算：100÷10=10（撤销“×10”），10+15=25（撤销“-15”）， 25×4=100(撤销“÷4”)100-18=82（撤销“+18”）。 ③得出原数：82。 规范解答 100÷10=1010+15=25 25×4=100100-18=82 答：这个数是82。 通关模型急58变/符号还原 通用解法：首先根据这个数的变化过程画出流程图，然后从结果入手倒推，倒推的时候 加号变减号，减号变加号，乘号变除号，除号变乘号，计算出结果。 三步解题： 1.列正向序：写出题目中从原数到结果的正向运算顺序。 2.定逆向序：确定逆向运算顺序及对应逆运算符号。 3推原数：从结果开始，按逆向序逐步计算，最终得到原数。 73 小学奥数72变四年级竞赛版 变式巧练 10分钟 1.(春蕾杯)一个数加7，乘以5，再减去9，得51，求这个数。 画图思考： 规范解答： 2.(明心奥赛)一个数加上37，乘以37，减去37，再除以37，结果等于37，这 个数是多少？ 画图思考： 规范解答： 3.(世少赛)小红、小丽、小敏三个人各有年历卡片若干张。如果小红给小丽13 张，小丽给小敏23张，小敏给小红3张，那么她们每人各有40张。原来三 个人各有年历卡片多少张？ 画图思考： 规范解答： 74 第八周子母河畔来逆推 第59变0八戒画线段还原 线段图还原 考点入门2分钟 入门须知： 如果题目中出现“一半多几”或“一半少几”这 类还原问题时，一般使用画线段图倒推的方法。 “一半多几”要先加再乘吗？ 定海神针： 用线段图表示数量关系一从最终剩余量出发， 500元200元 第一次取出 根据“取一半多几”“取一半少几”的条件，通过线 第二次取出1800元 400k2200i2od80 段图直观呈现“余下部分”与“整体”的关系，逆向 推导每一步的总数量，最终推出原数。 问路取经： “一半多几”“一半少几”的还原问题，为什么 对，多取的要补回来， 用线段图更清楚？因为线段图能直观看出“一半”到 再算整体。 底是多少。比如“取一半多500，剩1800”，线段图 里“剩的1800”加上“多取的500”，才是“一半”，再乘2就是原来的数。要是光靠 脑子想，很容易把“一半”和“多取的部分”弄混，画线段图能帮你厘清关系，少出错。 图解母题 3分钟 第一次取出的存款情况 例 读题审题 (迎春杯)王叔叔用自动取款机取款，第一次取出：存款额 :的二半还多500元，第二次取出余下的二半还多200元，这时银行卡里剩下 i800元， 第二次取出的存款情况 王叔叔银行卡里原来有多少元？ 剩下的钱数 求原来的数量 75 小学奥数72变四年级 竞赛版 图示解析 500元 200元 第一次取出 第二次取出 1800元 ÷2 500 ÷2 200 9000 4500 4000 2000 1800 ×2 +500 ×2 +200 易错点：混淆“一半”与“多取部分”的关系。 解题思路 ①推第一步后余下的钱：第二次取余下的一半多200元，剩1800元，“余 下的一半”为1800+200=2000元，所以第一步后余下2000×2=4000元。 ②推原存款：第一次取原存款的一半多500元，剩4000元，“原存款的一半” 为4000十500=4500元，所以原存款为4500×2=9000元。 ③验证：9000-(9000÷2+500)=4000元，4000-（4000÷2+200) =1800元，符合题意。 规范解答 第一步后余下的钱：(1800+200)×2=4000（元） 原存款：(4000+500)×2=9000（元） 答：王叔叔银行卡里原来有9000元。 通关模型鱼59变/线段图还原 通用解法：①从最终剩余量开始画线段图，标注剩余数量；②根据“取一半多几”或“取 一半少几”，逐步画出上一步的总数量；③重复操作，直到推出原数。 三步解题： 1.标剩余：画出最终剩余量的线段，标注具体数值。 2.推上步：根据“一半多几”或“一半少几”，补全“一半”线段，计算上一步总数量。 3.推原数：重复第二步，逐步逆向计算，直到推出原数。 6 第八周子母河畔来逆推 变式巧练 10分钟 1.(春蕾杯)一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半 少10米，第三次用去15米，最后还剩7米。这捆电线原来有多少米？ 画图思考： 规范解答： 2.(创新杯)有一篮苹果，第一次取走的比总数的一半少一个；第二次取走余下 的一半多一个；第三次取走一半，结果还剩下3个，那么这篮苹果原有多少个？ 画图思考： 规范解答： 3.(巨人杯)水果批发站有一些梨，第一天卖出一半，第二天运进450筐，第三 天又卖出现有梨的一半还多50筐，还剩600筐。这个批发站原有梨多少筐？ 画图思考： 规范解答： 小学奥数72变四年级 竞赛版 第 60变。沙僧列表格还原 表格还原 考点人门2分钟 入门须知： 表格还原是还原问题的清晰类型，核心是“用表 格记录数量变化”一以“最终相等数量”为起点， Z 丙 在表格中按“给出→减去、收到→加上”的逆向逻辑， +12 12 12 12 12+517 12-5-7 记录每个人每一步的数量变化，逐步推导出原有数量。 12+4=16 17-4=13 7 16-3=13 13 743=10 表格能清晰呈现每一步的增减关系，避免混淆。 定海神针： 先算出最后所有人的均等数量，将其作为表格的 起始记录行；再把每一次物品转移做反向处理，把每 一步的数量变化填进表格，顺着表格从最终行往前推， 列表格能避免步骤混乱吗？ 就能逐步还原出每个人最初的物品数量。 对，每一步的变化都要清晰记录。 问路取经： 多个人之间的还原问题，表格如何帮上忙？表格能“按步骤记录每个人的数量变化”， 从“最终相等的数量”倒推，每一步都清楚谁给了谁。比如甲、乙、丙最后各12颗糖， 倒推“乙给丙前”：丙12一5=7，乙12十5=17；再倒推“甲给乙前”：乙17一4 =13,甲12+4=16；最后倒推“甲借丙前”：甲16一3=13，丙7十3=10。步 骤分明，就不会乱。 图解母题 3分钟 总糖数← 例 读题审题 (国少赛)甲、乙、丙二共有36颗糖果。甲向丙借了3颗， 审给之4颗乙给了丙5颗：这样甲乙丙正好相等：。求他们原来各有多 →借糖情况 原来各自拥有糖的数量← 少颗糖。 78 第八周子母河畔来逆推 图示解析 甲 乙 丙 12 12 12 12 12+5=17 12-5=7 12+4=16 17-4=13 7 16-3=13 13 7+3=10 易错点：逆向时混淆“加”“减” 解题思路 ①求出最后三人糖果相等时的数量：36÷3=12（颗） ②倒推甲、乙原来的糖果数：12+4一3=13（颗），12+5一4=13（颗) ③倒推丙原有糖果数：12一5+3=10（颗） 规范解答 36÷3=12（颗) 12+4-3=13(颗) 12+5-4=13(颗) 12一5+3=10（颗) 答：甲原来有13颗，乙原来有13颗，丙原来有10颗。 通关模型鱼60变表格还原 通用解法：以“表格记录增减关系”为核心，先确定最终相等数量，再按逆顺序撤销每 一步转移，“给出去的加回，收到的减去”，逐步推导原有数量。 三步解题： 1.定最终量：根据总数和人数，计算最终每人相等的数量，作为推导起点。 2.建表逆向推：制作表格，按逆顺序，每一步对涉及的对象进行“加回”或“减去”操作， 填写表格。 3.推原数：推出原有数量。 79 小学奥数72变四年级 竞赛版 变式巧练 10分钟 1.(世奥赛)甲、乙、丙、丁四个小朋友一共有彩色卡片100张。甲给乙13张， 乙给丙18张，丙给丁6张，丁给甲两张后四人的彩色卡片数相等。他们原来 各有彩色卡片多少张？ 画图思考： 规范解答： 2.(春蕾杯)妈妈把26个橘子分给姐妹两人。妈妈先给妹妹一些橘子，剩下的给 姐姐；妹妹觉得拿多了，就给了一半给姐姐。这时，姐姐觉得妹妹给多了， 将手中一半的橘子又给妹妹。最后妹妹又给了姐姐5个橘子。这时，姐姐手 上的橘子比妹妹多两个。妈妈最初给妹妹多少个橘子？ 画图思考： 规范解答： 3.(迎春杯)甲、乙、丙三人各有铜钱若干枚。开始甲把自己的铜钱拿出一部分 给了乙、丙，使乙丙的铜钱数各增加了一倍；后来乙也照此分配，使甲、丙 的铜钱数各增加了一倍；最后丙也照此分配，使甲、乙的铜钱数各增加了一倍。 这时三个人的铜钱数都是8枚。原来甲、乙、丙三人各有多少枚铜钱？ 画图思考： 规范解答： 802.18◇192=18×26+192÷16=480 12◇480=12×26+480÷16=342 3.3⊕4=3×4+3+4=19 19☒5=6×19×5=570 (3①4)☒5=570 第57变 1.11012=11×2+12×4=70 2.5×5+12×12=169 3.N+(N+1)++(N+8)=81 解得N=5 第八周子母河畔来逆推 一还原问题 第58变 1.(51+9)÷5-7=5 2.（37×37+37)÷37-37=1 3.小红原有数量：40一3+13=50（张） 小丽原有数量：40+23一13=50（张） 小敏原有数量：40+3一23=20（张） 第59变 1.[(7+15-10)×2+3]×2=54(米) 2.3×2=6(个)(6+1)×2=14（个） (14-1)×2=26(个) 3.（600+50)×2=1300(筐) 1300-450=850(筐)850×2=1700（筐） 第60变 1.100÷4=25（张) 甲原有：25一2+13=36（张) 乙原有：25+18-13=30（张) 丙原有：25+6-18=13（张） 丁原有：25+2-6=21（张) 2.最终：姐姐（26十2)÷2=14（个) 妹妹26一14=12（个） 妹妹给姐姐5个前：姐姐14一5=9（个)， 妹妹12+5=17（个) 姐姐给妹妹一半前：姐姐9×2=18（个）， 妹妹17一9=8（个) 妹妹给姐姐一半前（最初给妹妹)： 8×2=16(个) 3 及 乙 丙 86 8 8 8÷2=4 8÷2=4 8×2=16 4÷2=2 4+2+8=14 16÷2=8 续表 甲 ) 丙 2+4+7=13 14÷2=7 8÷2=4 第九周 花果山前找对应 一对应法解题 第61变 1.一杯水：80克；一个空玻璃瓶：200克 2.每千克茶叶：110元；每千克糖：18元 3.日记本：15元；便利贴：4元； 笔记本：12元 第62变 1.一本作文本：1.2元；一本算术本：1元 2.A是81：B是73 3.小水泵每小时抽水12立方米；大水泵每小时 抽水30立方米 第63变 1.每袋大米重100千克 2.每支圆珠笔1.4元 3.鞋是25元；裤子是23元；大衣是140元 第十周天庭工坊巧优化 一优化问题 第64变 1.3×2÷2×3=9(秒) 2.5×2÷2×3=15（分钟) 3.2+2+1=5（分钟) 第65变 1.1+5=6（分钟) 2.2+2+2+12=18(分钟) 3.12+60+12=84（分钟) 第66变 1.因为8>6>5>3>2，所以然然的“2” 只能为输局，可以与齐齐的“8”比大小；然 然可以用“6”与齐齐的“5”或“3”比大小， 可以胜一局，但若盖住的牌最小，则“6”对“5”； 盖住的牌只要大于3即可，所以然然盖住的 扑克牌上的数字最小为4才有可能获胜。 2.四（2)班按吴明、张新、李立的顺序出场， 最有可能赢得比赛。 3.35÷（1+3)=8（轮)…3（根） 先抽的人第一次抽3根，之后每次抽的数 量与对方抽的数量之和保持为4，即可确保 获胜。 123