第五周 火焰山旁求极值——极值问题-【小学奥数72变】2026-2027学年小学数学四年级奥数训练（竞赛版）

第五周 取经情境图 极值问题有窍门，优 先用大数省数位。 极植问题 三关 各个数位上的数字和为40， 各位数字不重复，这个数最小 先选大数凑和省数位。 闯关前思考 悟空寻数字可重复的 值，平衡“数位最少”和 他量极端化”推导目标量 值如何求解？本周我们一 火焰山旁求极值 极值问题 一个自然数，各个数位上的数字 和是180，要使这个数最小，这个数 是几位数？ 数字和固定，如何让数最小？ 极值问题怎么破？ 多用数字9省数位。 求最低分至少多少， 咋安排其他分数？ 家金 分至少多少？ 不重复还得 小，咋选数 字呀9 其他分数尽可能高。 最小数，多用9减少数位；八戒筛选数字不重复的极 “高位最小”；沙僧计算平均数相关的极值，通过“其 极值问题的核心是抓住特定的条件，不同类型的极 起来探究。 41 小学奥数72变四年级 竞赛版 第49变0 悟空寻最小数 数字可重复的极值 考点入门2分钟 入门须知： 数字可重复的极值问题。核心是平衡“数位数量” 与“高位大小”：①数字可以重复，数字和一定，无 为啥都用9呀9 最大数，数位越少，数字9越多，数就越小；②数字 一个自然数，各个数 可以重复，若数位一定，高位上数字越小，数就越小。 位上的数字和是180，要 使这个数最小，这个数是 几位数？ 定海神针： 若数字和为S,要使数最小：①用S÷9,商为n, 余数为r;②若r=0,数为n个9(n位数)；③若 r≠0，数为“r”后面跟n个9（n十1位数)。 180÷9=20 99999999999999999999 问路取经： 数字和一定时，为什么用越多9，数越小？数的大 9是最大个位数，用得越多 数位越少，数就越小。 小先看数位一数位越少，数越小。9是最大的个位数， 用9越多，单个数字占的“分量”就越大，需要的数位就越少。比如数字和180，用20 个9(20位数)，比用其他数字组成的数数位少，数自然就小。记住“优先用9，减少数 位”，就能快速找到最小数。 图解母题 3分钟 算式类型← 例山 读题审题 (学而思杯)一个自然数，各个数位上的数字之和是180，要 使这个数最小，这个数应当是几位数？ 要求组成的数最小 求组成数的位数 42 第五周火焰山旁求极值 图示解析 数位上的数字 这个数最小，数 越大 位最少 优先使用最大 180里有几个9 180÷9=20,组 个位数9 就是几位数 成的是20位数 易错，点：未优先用9导致数位增多。 解题思路 ①确定单个数位最大数字：9（因9是最大个位数，能减少数位）。 ②计算所需9的个数：180÷9=20（无余数），即需要20个9。 ③确定位数：20个9组成的数是20位数，且为最小数。 规范解答 180÷9=20(个) 20个9组成的数是20位数，且是满足条件的最小数。 答：这个数应当是20位数。 通关模型鱼49变数字可重复的极值 通用解法：以“数位最少”为核心，优先用最大个位数9，通过数字和与9的除法关系确 定位数和数字组成，确保数最小。 三步解题： 1.算9的个数：用数字和S除以9，得到商n和余数r。 2.定位数：若r=0,位数为n;若r≠0，位数为n十1。 3.最小数：r≠0时，最高位为r,其余为9；r=0时，全为9。 43 小学奥数72变四年级竞赛版 变式巧练 10分钟 1.（希望杯)一个自然数，各个数位上的数字之和是19，这个数最小是多少？ 画图思考： 规范解答： 2.(中环杯)一个自然数，各数位上的数字之和是40，满足条件的最小五位数是 多少？ 画图思考： 规范解答： 3.(中环杯)一个自然数A,各个数位上的数字之和是297，这个数最小是多少？ 画图思考： 规范解答： 44 第五周火焰山旁求极值 第 50变。八戒筛不重复数 数字不重复的极值 考点入门2分钟 入门须知： 数字不重复的极值问题，要使数最小，需同 时满足“数位最少”和“高位数字最小”。①数 为啥先选大数再排序？ 位最少：优先选大数字，减少数位数量。从最大 的个位数9开始选，依次选8、7…，直到数字 和接近目标。②高位最小：数字选好后，将选出 的数字按从小到大排列（最高位非0），得到最小 68∠991 数（最高位非0)。 定海神针： 从9开始向下选不重复数字，累加和至接近目 先凑够和，再排顺序！ 标S,若差为0，直接排序；若差为d(d≠0且 未选过)，加入山；若d已选，调整最后一个数字，替换为更小且未选的数字，补全差值。 问路取经： 数字不重复且和一定时，为什么先选大数字再排序？因为要让数最小，得先保证“数 位最少”（大数字能减少数位），再保证“高位最小”（排序让小数字在高位)。比如 数字和40，先选9、8、7、6、5、4（和39），差1加1，数字组1、4、5、6、7、8、9(7 位数，数位最少)；再按从小到大排，1456789就是最小数。要是先选小数字，数位会变 多，数就大了。 图解母题 3分钟 数字之和← 例■ 读题审题 (希望杯)一个自然数，各数位上的数字之和是40， 而且洛 位数字都不相同：。这个自然数最小是多少？ 组成的位数 求组成的数最小、 45 小学奥数2变四年级竞赛版 图示解析 各数位上的数字之和是40 各位数字都不相同 优先选大数， 从大数字向下选 将数字从小 减少数位数量 不重复数字凑和 到大排列 易错，点：选数字时遗漏小数字。 解题思路 ①选大数字凑和：从9开始选不重复数字，9+8+7+6+5十4=39 与40差1,1未选过，加入1。 ②确定数字组：1、4、5、6、7、8、9（共7个数字，数位最少）。 ③排最小数：按从小到大排列，得1456789。 规范解答 从大数字开始选： 9+8+7+6+5+4=39 差：40-39=1（1未重复，加入)》 数字组：1、4、5、6、7、8、9 按升序排列：1456789 答：这个自然数最小是1456789。 通关模型鱼50变数字不重复的极值 通用解法：以“数位最少”为核心，从大数字向下选不重复数字凑和，再将数字从小到 大排列（最高位非0），组成最小数。 三步解题： 1.凑数字组：从9开始选不重复数字，累加至接近目标和，补全差值。 2.查数位：确认数字组的数位数量，若有更少数位的组合，优先选择。 3.排顺序：将数字按从小到大排列，组成最小数。 46 第五周火焰山旁求极值 变式巧练 10分钟 1.(国际青少年数学竞赛)一个自然数，各数位上的数字之和是28，而且各位数字 都不相同。符合条件的最小数是多少？ 画图思考： 规范解答： 2.(海峡两岸数学邀请赛)一个自然数，各数位上的数字之和是32，而且各位数字 都不相同。符合条件的最大数是多少？ 画图思考： 规范解答： 3.(世少赛)一个四位数能被12整除且每个数位上的数字各不相同，这个数最小 是多少？ 画图思考： 规范解答： 47 小学奥数72变 四年级 竞赛版 角51变0氵 沙僧算平均极值 平均数与极值 考点入门2分钟 入门须知： 平均数与极值问题，核心是通过平均数求出总 数，再根据“极值要求（如“至少”“最多”）推 咋确保最低分最低9 导目标量的极值。 (1)如果几个数的和一定，要使其中一个数 最大，其他几个数必须最小。 (2)如果几个数的和一定，要使其中一个数 最小，其他几个数必须最大。 号 定海神针： 总数=平均数×份数 除了最低分，其他都从 极值推导：目标量极值=总要求量一其他量的极端值 最高分往下排。 问路取经： 为什么求极值要先算平均数？因为平均数是“所有数的中间水平”，要让一个数最大， 其他数就得比平均数小（尽可能小）；要让一个数最小，其他数就得比平均数大（尽可能 大)。先算平均数找到中间值，再推导极值。 图解母题 3分钟 人数← 例 读题审题 (希望杯)小明和4个朋友参加数学比赛，他们的分数不一 样，但均为整数，且没人得满分，已知他们的平均分为95分，最低分至少是： 得分情况及5人的平均分 多少分？ 求最低分 48 第五周火焰山旁求极值 图示解析 小明和4个朋友共5人 平均分为95分 根据极值，从高 求目标量 总分为：95×5=475（分） 到低取分值 的极值 易错点：对“分数尽可能高”的理解偏差。 解题思路 ①计算总分：先根据平均分求出5人的总分。 ②确定其他分数的最大值：要使最低分尽可能小，需让其他4人的分数尽 可能高（因为分数不同且没人得满分，所以最高可分别取99、98、97、 96分)。 ③计算最低分：用总分减去其他4人的最高分数和，得到最低分的最小值。 规范解答1十4=5（人) 95×5=475(分) 99+98+97+96=390(分) 475-390=85（分) 答：最低分至少是85分。 通关模型角5)变平均数与极值 通用解法：先通过平均数求总数，再根据极值要求建立数学关系，求解目标量。 三步解题： 1.求总数：根据已知平均数和份数，计算相关量的总数。 2.建关系：根据极值要求（如“不低于”“至少”)，建立关系。 3.求极值：求目标量的极值。 49 小学奥数2变四年级竞赛版 变式巧练 10分钟 1.（融合创新讨论大会)小明和5个朋友参加数学比赛，他们的分数不一样，但均 为整数，且有人得满分，已知他们的平均分为92分，其中一人考了71分。 得分排在第三名的同学至少得多少分？ 画图思考： 规范解答： 2.(希望杯)明明在四年级下学期一共进行了七次数学测验（满分100分），七 次测验平均分为95分，前三次数学测验的平均分为92分，后两次测验的平 均分为98分。中间两次测验中最低分至少是多少分？ 画图思考： 规范解答： 3.(数学创新讨论大会)六位同学数学竞赛的平均成绩是92分，他们的成绩是互不 相同的整数，其中最高分是99分，最低分是79分，若按分数从高到低排列， 第三位同学至少可得多少分？ 画图思考： 规范解答：第四周流沙河中辨倍数 乘除法中的错中求解 第46变 1.60÷3=20115÷5=2323×20=460 2.7740-5590=2150 2150÷(30-20)=215 7740÷215=36 3.(700一525)÷(8-1)=25 525÷25=2125×24=600 第47变 1.67×15+5=10101010÷76=13…22 2.47×5+8=243243÷74=3…21 3.1722÷42=411722÷14=123 第48变 1.196-169=2727÷3=9 169÷9=18…7 2.（2020-6)÷106=19 2002÷19=105…7 3.173-137=3636÷4=9 137÷9=15…2 第五周火焰山旁求极值 一极值问题 第49变 1.拆分数字和19：19=9+9+1 按高位最小排列：1（百位）、9（十位）、9（个 位)→199 2.40=9+9+9+9+4 满足条件的最小五位数是49999。 3.297÷9=33这个数最小是33个9组成的数。 第50变 1.28=9+8+7+4 按高位从小到大排列：4789 2.32=0+1+2+3+4+5+8+9 符合条件的最大数是98543210。 3.被12整除→被3、4整除，高位取1、0 末两位选3、2(32÷4=8)，数字和1十0+ 3+2=6（6÷3=2)得数：1032 第51变 1.1+5=6(人)92×6=552（分） 552-71=481(分)100+99=199（分) 481一199=282（分） 282=95+94+93 2.95×7-92×3-98×2-100=93（分) 122 3.92×6=552（分) 552-99-79=374(分) 374-98=276（分) 276=93+92+91 第六周雷音寺前转二进制 一二进制问题 第52变 1. 110(2)=1×22+1×2+0×2° =1×4+1×2+0×1 =4+2+0 =6(10) 2. 110110(2)=1×2+1×24+0×23+ 1×22+1×21+0×2° =1×32+1×16+0×8+1×4+1×2 +0×1 =32+16+0+4+2+0 =54(10) 3. 1100011(2)=1×26+1×25+0×24+ 0×23+0×22+1×2+1×2° =1×64+1×32+0×16+0×8+0×4 +1×2+1×1 =64+32+0+0+0+2+1 =99(10) 第53变 1.18(10)=10010(2) 2.35(10)=100011(2) 3.59(10)=111011(2) 第54变 1.（1)10001(2)+1011(2)=11100(2) （2)101(2)-11(2)=10(2) 2. （1)1100(2)+11111(2)=101011(2) (2)11011(2)-10001(2)=1010(2) 3.10110(2)+10011(2)-10100(2)=10101(2) 第七周宝象国里定新规 一定义新运算 第55变 1.3△5=3+2×5=3+10=13 2.2①3=6×2-3=9 9⊙4=9-2×4=1 3.x※5=50解得x=8 第56变 1.2△3=(2+3)×3=5×3=15 15△5=(15+5)×5=20×5=100