第四周 流沙河中辨倍数——乘除法中的错中求解-【小学奥数72变】2026-2027学年小学数学四年级奥数训练（竞赛版）

第四周 流沙河中辨倍数 乘除法中的错中求解 取经情境图 因数看错，如何求正确积？ 多多误将一个因数增加 7,积增加91；思思误将另 一个因数减少5，积减少 60,求正确的积。 2a 解决错中求解问题， 错中求解问题，不难。 带你们过河！ 用积的变化量除以因数变 化量，找不变因数。 除数写错，被除数咋求？ 被除数变了，余数不 变，商昨算9 欧欧把被除数115错写 成151，商多4，余数相同 正确的商。 小玲把除数65写 求正确的商。 成56，商13余52，求 用被除数变化量除以商变化 用错误除数、商和余数先算被除数。 量，先找到除数。 闯关前思考 悟空对因数错误的乘法题，要通过积的变化量找不变因数；八戒误写除数， 需用错误的商和余数求被除数；沙僧纠正被除数错误，要把握被除数变化量与 商变化量的关系。乘除法错中求解的关键是抓住“不变量”，不同类型的错算 如何推导？本周我们一起来探究。 小学奥数72变四年级 竞赛版 第46变g 悟空辨因数 因数错误 ①考点人门2分钟 入门须知： 因数错误是乘法“错中求解”的核心类型。在 乘法算式中，一个因数增加或减少几，积就增加或 两个因数都错了，咋找正确的？ 减少另一个因数的几倍。 定海神针： 不变因数=积的变化量÷看错因数的变化量 正确积=正确因数×正确因数。 因数1+7→积+91 问路取经： 因数2-5→积-60 为啥能通过“积的变化量”求不变因数？比 如一个因数增加7，积增加91，这增加的91其实 就是“不变因数×7”的结果，所以不变因数就是 2八为÷0的=4超 81=L÷16=乙图 91÷7=13。同理，因数减少5、积减少60，不变 因数就是60÷5=12。只要先找到两个不变因数， 分别找不变因数，相乘就是正确积。 相乘就是正确的积。 图解母题 3分钟 →增加的因数 算式类型← 例 读题审题（融合创新讨论大会）多多和思思做一道乘法题：多多误将二】 个因数增加7，计算的积增加了91， 思思误将虏二个因数减少5，积减少了 积的变化量 减少的因数和积的变化量 :60:。正确的积应是多少？ 求正确的积 第四周 流沙河中辨倍数 图示解析 因数1 因数2= 增加7↓ 不变↓ ↓增加91 7×因数2=91 多多： (因数1+7) 因数2=积+91 因数1×因数2+7×因数2=积+91 因数2=13 因数1 十 因数2=积 不变 减少5↓ ↓减少60 因数1×5=60 思思： 因数1 十 (因数2一5)=积一60 因数1×因数2一因数1×5=积-60 因数1=12 易错点：混淆“积的变化量”与“因数的变化量”的对应关系。 规范解答 解题思路 91÷7=13 ①求第一个不变因数：一个因数增加7， 60÷5=12 积增加91，不变因数为91÷7=13。 12×13=156 ②求第二个不变因数：另一个因数减少5， 答：正确的积应是156。 积减少60，第二个不变因数为60÷5 =12。 ③求正确的积：将两个正确因数相乘， 12×13=156。 通关模型鱼46变因数错误 通用解法：先根据“积的变化量÷因数的变化量”分别求出两个正确的因数，再将两个 正确因数相乘，得到正确的积。 三步解题： 1.找不变因数：用“积的变化量÷因数的变化量”求出第一个正确因数。 2.求另一个因数：用同样的方法，根据另一次因数错误导致的积变化，求出第二个正确 因数。 3.算正确积：将两个正确因数相乘，得到最终正确的积。 33 小学奥数72变四年级 竞赛版 变式巧练 10分钟 1.(希望杯)齐齐做一道乘法计算时，把一个因数减少了3，积就减少60，把另 一个因数增加5，积就增加115。齐齐做的这道乘法算式是什么？积是什么？ 画图思考： 规范解答： 2.(国赛少)然然计算三位数乘两位数时，把两位数十位上的3错写成2，结果得 5590,实际应为7740。这两个因数分别是多少？ 画图思考： 规范解答： 3.(奥林匹克)小葵和小琴同时做一道乘法算式题。小葵将一个因数的个位数4 错写成1，得出的乘积是525，小琴将这个因数的个位数错写成8，得出的乘 积是700，正确的乘积应该是多少？ 画图思考： 规范解答： 第四周 流沙河中辨倍数 磨47变。八戒误除数 除数错误 考点人门2分钟 入门须知： 除数错误是除法“错中求解”的常见类型，解 题核心是利用“被除数不变”的规律一除数看错， √被除数=除数×商+余数 计算过程没有出错时，根据错误的除数、商和余 (780) 65 (?) 数求出正确的被除数，再用正确的被除数除以正 ×被除数=除数×商+余数 (780)561352 确的除数，就能得到正确的商和余数。 被除数=除数×商+余数。 怎样求被除数？ 定海神针： 被除数=除数×商（无余数的除法） 被除数=除数×商十余数（有余数的除法) 正确商=被除数÷正确除数 问路取经： 除数看错了，为什么先求被除数就好办？因为 被除数是“被平均分的总数”，不管除数怎样看错， 这个总数始终不变。比如把除数65写成56，算得 商13余52，那总数（被除数）就是“56×13十52”，算出来是780。知道了总数，再 用它除以正确的除数5，正确的商就出来了。先抓牢“被除数不变”这个关键点，再难 的题也能解开。 图解母题 3分钟 算式类型← 除数变化情况← 例 读题审题 (希望数学少年俱乐部初赛)小玲在计算除法时，把除数65 写成了56，结果得到的商是13，余数是52：。正确的商应该是多少？ 错误的商和余数 求正确的商 6 小学奥数72变四年级 竞赛版 图示解析 被除数=除数×商+余数 (780) 65(?) X被除数=除数×商十余数 (780) 56 13 52 易错点：计算被除数时遗漏余数。 解题思路 ①求正确的被除数：因为被除数是不变的，根据“被除数=错误除数X错误 商+错误余数”，算出被除数为56×13十52=780。 ②计算正确的商：用求出的被除数780除以正确的除数65。 ③得出结果：780÷65=12，即为正确的商。 规范解答 56×13+52=780 780÷65=12 答：正确的商应该是12。 通关模型鱼47变除数错误 通用解法：先根据错误的除数、商和余数求出不变的被除数，再用被除数除以正确的除数， 得到正确的商和余数。 三步解题： 1.算被除数：利用“被除数=错误除数X错误商十错误余数”，求出正确的被除数。 2.计算正确商：用被除数除以正确的除数。 3.得出结果：正确计算，得出结果。 36 第四周流沙河中辨倍数 变式巧练 10分钟 1.（晓猴大圣杯)小强在计算除法时，把除数76写成67，结果得到的商是15还余 5。正确的商应该是多少？ 画图思考： 规范解答： 2.(迎春杯)小刚在计算除法时，把除数74写成47，结果得到商5，余数8，正 确的商是多少？余数是多少？ 画图思考： 规范解答： 3.(希望杯)用1722除以一个两位数，小明在计算的时候错把这个两位数的十位 数字和个位数字写反了，得到的错误结果是42，正确的结果应该是多少？ 画图思考： 规范解答： 37 小学奥数72变四年级 竞赛版 第48变0氵 沙僧纠被除数 被除数错误 ①考点人门2分钟 入门须知： 被除数错误的类型，核心规律是“除数和余数 不变时，被除数的变化量=除数×商的变化量”。 当被除数看错导致商变化但余数不变时，可通过 √被除数÷除数=商…余数 “被除数变化量÷商变化量”求出除数，再推导 115 正确的商和余数。 怎样求商？ ×被除数÷除数=商…余数 151 定海神针： 除数=被除数变化量÷商的变化量（余数不 变时) 正确商=正确被除数÷除数 问路取经： 先求出除数。 为什么根据“被除数变化量”能求除数？比如 被除数从115写成151，增加了36，商多了4，这增加的36其实就是“除数×4”的结果， 所以除数=36÷4=9。只要先找到除数，再用正确被除数除以除数，就能得到正确结果。 图解母题 3分钟 算式类型← 例 读题审题 (世奥赛) 欧欧在计算有余数的除法时，把被除数115错写 成了151，这样得到的商比正确的商多了4：，而余数恰好相同：，正确的商是： 乙被除数变化情况 ,被除数多了4个除数的和 多少？ 求正确的商 38 第四周 流沙河中辨倍数 图示解析 /被除数÷除数=商…余数 115 增加(151-115) 增加4 相同 X被除数÷除数=商…余数 151 易错点：忽略“余数不变”的前提。 解题思路 1.算被除数变化量：151一115=36。 2.求除数：因余数不变，除数=36÷4=9。 3.求正确商和余数：115÷9=12…7。 规范解答 151-115=36 36÷4=9 115÷9=12…7 答：正确的商是12，余数是7。 通关模型鱼48变被除数错误 通用解法：利用“余数不变时，被除数变化量与商变化量的比值”求除数，再用正确被 除数算结果，核心是抓住“除数和余数不变”的规律。 三步解题： 1.算变化量：计算错误与正确被除数的差值（取正数)，确定被除数变化量，明确商的 变化量（增加或减少的数值)。 2.求除数：用“被除数变化量÷商变化量”求出除数，若有余数需验证除数是否正确。 3.得结果：用正确被除数除以除数，计算正确的商和余数，确保余数小于除数。 39 小学奥数72变四年级 竞赛版 变式巧练 10分钟 1.(希望杯)小明在做一道数学题时，把被除数169写成了196，结果商比正确的 商多3，但余数没有改变。正确的商应该是多少？ 画图思考： 规范解答： 2.(希望杯)小亮在计算除法时，把被除数2002错写成2020，结果得到的商是 106,余数是6。正确的商应该是多少？ 画图思考： 规范解答： 3.(世奥赛)小白在计算有余数的除法时，把被除数137错看成了173，结果商比 正确的结果大了4，但余数恰好相同。正确的除法算式应该是什么样的？ 画图思考： 规范解答：第四周流沙河中辨倍数 乘除法中的错中求解 第46变 1.60÷3=20115÷5=2323×20=460 2.7740-5590=2150 2150÷(30-20)=215 7740÷215=36 3.(700一525)÷(8-1)=25 525÷25=2125×24=600 第47变 1.67×15+5=10101010÷76=13…22 2.47×5+8=243243÷74=3…21 3.1722÷42=411722÷14=123 第48变 1.196-169=2727÷3=9 169÷9=18…7 2.（2020-6)÷106=19 2002÷19=105…7 3.173-137=3636÷4=9 137÷9=15…2 第五周火焰山旁求极值 一极值问题 第49变 1.拆分数字和19：19=9+9+1 按高位最小排列：1（百位）、9（十位）、9（个 位)→199 2.40=9+9+9+9+4 满足条件的最小五位数是49999。 3.297÷9=33这个数最小是33个9组成的数。 第50变 1.28=9+8+7+4 按高位从小到大排列：4789 2.32=0+1+2+3+4+5+8+9 符合条件的最大数是98543210。 3.被12整除→被3、4整除，高位取1、0 末两位选3、2(32÷4=8)，数字和1十0+ 3+2=6（6÷3=2)得数：1032 第51变 1.1+5=6(人)92×6=552（分） 552-71=481(分)100+99=199（分) 481一199=282（分） 282=95+94+93 2.95×7-92×3-98×2-100=93（分) 122 3.92×6=552（分) 552-99-79=374(分) 374-98=276（分) 276=93+92+91 第六周雷音寺前转二进制 一二进制问题 第52变 1. 110(2)=1×22+1×2+0×2° =1×4+1×2+0×1 =4+2+0 =6(10) 2. 110110(2)=1×2+1×24+0×23+ 1×22+1×21+0×2° =1×32+1×16+0×8+1×4+1×2 +0×1 =32+16+0+4+2+0 =54(10) 3. 1100011(2)=1×26+1×25+0×24+ 0×23+0×22+1×2+1×2° =1×64+1×32+0×16+0×8+0×4 +1×2+1×1 =64+32+0+0+0+2+1 =99(10) 第53变 1.18(10)=10010(2) 2.35(10)=100011(2) 3.59(10)=111011(2) 第54变 1.（1)10001(2)+1011(2)=11100(2) （2)101(2)-11(2)=10(2) 2. （1)1100(2)+11111(2)=101011(2) (2)11011(2)-10001(2)=1010(2) 3.10110(2)+10011(2)-10100(2)=10101(2) 第七周宝象国里定新规 一定义新运算 第55变 1.3△5=3+2×5=3+10=13 2.2①3=6×2-3=9 9⊙4=9-2×4=1 3.x※5=50解得x=8 第56变 1.2△3=(2+3)×3=5×3=15 15△5=(15+5)×5=20×5=100