2.4.2 圆的一般方程（教学课件） 数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦圆的一般方程，涵盖方程特点、与标准方程互化、求方程及轨迹问题。通过公园环形步道设计、奶茶店配送范围等生活情境导入，引导学生从实际问题抽象出数学模型，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，如环形步道方案分析；通过配方探究方程条件发展数学思维，如对三个二元二次方程的推理；题型训练强化数学语言表达，如待定系数法求圆方程。对学生提升抽象与应用能力，对教师提供完整教学流程与多样化例题，助力高效教学。

第二章 直线与圆的方程 2.4.2 圆的一般方程 ·选择性必修第一册· 学习目标 理解圆的一般方程及其特点. 掌握圆的一般方程和标准方程的互化.（重点） 会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题.（难点） 会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题.（难点） 目录 CATALOG 01.圆的一般方程及其特点 03.应用新知 02.圆的一般方程和标准方程的互化 04.题型强化训练 05.真题感知 06.小结及随堂练习 2.4.2 圆的一般方程 01 圆的一般方程及其特点 导入新知1：公园环形健身步道情境 引入情境：城市中心公园修建环形塑胶健身步道，设计师在图纸上用坐标系标注步道，存在三种设计结果： 方案1：闭合环形跑道，游客可完整绕行； 方案2：仅存在一个中心点，无法形成跑道； 方案3：无符合条件的点位，步道无法修建。 提问1：仅给出二元二次方程x²+y²+2x+2y+8=0，能否修建环形步道？为什么？ 提问2：若配方后等式右侧等于0，图纸对应什么图形？右侧为正数时又对应什么图形？ 追问：生活中还有哪些圆形设施需要统一方程换算？小区圆形喷泉、摩天轮底座、圆形篮球场，如何通过方程快速判断设施是否存在、圆心位置、半径大小？ 导入新知2：奶茶店外卖配送范围情境 引入情境：连锁奶茶店划定圆形外卖配送圈，以门店为圆心。运营人员需要批量录入多家门店配送边界，统一采用x²+y²+Dx+Ey+F=0格式记录，测试三组数据效果： ① 完整圆形配送圈，周边小区均可下单； ② 半径为0，仅门店单点，无法配送； ③ 无有效配送区域，不开放外卖。 提问1：拿到方程x²+y²-2x+2y=a，如何快速判断门店是否存在圆形配送范围？需要满足什么条件？ 提问2：已知三个小区边界坐标，如何快速求出配送圈对应的系数D、E、F，写出完整边界方程？ 追问：生活中还有哪些圆形范围场景适合用圆一般方程批量计算？雷达探测范围、快递派送半径、监控覆盖区域。 探究新知 探究 要求 是否所有的二元二次方程表示的都是圆呢？ 观察以下三个二元二次方程： (1) x2＋y2＋2x＋2y＋8＝0； (2) x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0； (3) x2＋y2＋2x＋2y＝0. 将它们按圆的标准方程的形式进行配方，分析它们分别表示什么图形？ (1)配方得(x＋1)2＋(y＋1)2＝－6， (2)配方得(x＋1)2＋(y＋1)2＝0， (3)配方得(x＋1)2＋(y＋1)2＝2， 不表示任何图形． 表示点(－1，－1)． 表示圆． 探究新知 探究 如果下面这个二元二次方程要表示圆，系数D、E、F需要满足什么条件呢？ 提示： 将以上方程按圆的标准方程的形式进行配方 思考： 分析方程②，方程①表示的一定是圆吗？ 若要表示圆，需要满足什么条件呢？ 不一定 探究新知 结论 此时： 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 圆的一般方程与标准方程之间的互化 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 圆的一般方程与标准方程之间的互化 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 圆的一般方程与标准方程之间的互化 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 将圆的方程转化为标准方程，得出圆心和半径. 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由标准方程确定圆心和半径、求点到直线的距离 02 圆的一般方程和标准方程的互化 2.4.2 圆的一般方程 探究新知 思考 探究新知 思考： 提示： 圆的标准方程明确给出了圆心坐标和半径 重“形” 圆的一般方程则明确表明其形式是一种特殊的二元二次方程,方程的代数特征非常明显 重“数” 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由标准方程确定圆心和半径、求点到直线的距离 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 点与圆的位置关系求参数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求圆的一般方程 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求圆的一般方程 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 点与圆的位置关系求参数 03 应用新知 2.4.2 圆的一般方程 应用新知 例4 分析 解 析 应用新知 例4 解 析 思考： 与P83页例2的方法比较，你有什么体会？ 都是用待定系数法求圆的方程，只是设的方程形式不同，待定的系数不同 应用新知 归纳总结 待定系数法求圆的方程的步骤： 第 1 步 设：根据题意，设圆的标准方程或一般方程； 第 3 步 解：解方程组得到a，b，r或D，E，F的值； 第 4 步 代：代入圆的标准方程或一般方程，即可得解； 第 2 步 列：根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； 应用新知 跟踪练习 解析 应用新知 例5 分析 知识小贴士： 动点的运动轨迹是指动点的坐标满足的关系式．轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形．在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）． 应用新知 例5 解 析 ①设坐标 ②找关系 ③代方程 ④标准化 应用新知 归纳总结 第 1 步 设坐标：设所求动点坐标为，另一动点为； 第 3 步 代方程：将第二步中的两个等式关系代入另一动点的轨迹方程； 第 4 步 标准化：将所得新的方程进行整理成标准化方程； 相关点法求动点的轨迹方程： 特征：双动点问题，已知一个动点的轨迹方程，求另一个动点的轨迹方程，比如该题点A与点M均为动点，点M随着点A的运动而运动 第 2 步 找关系：根据已知条件找到的等式关系； 04 题型强化训练 2.4.2 圆的一般方程 重要题型专练 题型一 根据圆的一般方程，求圆心坐标和半径 例题 解析 总结 方法一：先将一般方程按照圆的标准方程的形式配方好，然后写出圆心坐标和半径即可 方法二：记住圆心坐标公式和半径公式，代入计算而得. 重要题型专练 题型二 根据圆的一般方程求参数（值）范围 例题 解析 总结 重要题型专练 题型三 直接法求动点的轨迹方程：有明显等式关系 例题 解析 思考 为何要 x≠±2 ？ 当x=2时，直线PB的斜率不存在，不合题意 当x=-2时，直线PA的斜率不存在，不合题意 应用新知 归纳总结 第 1 步 设坐标：设所求动点坐标为； 第 2 步 符号化：将已知条件中的等式关系符号化：即用含与式子 表示等式； 第 3 步 标准化：将第二步中的两个等式关系代入另一动点的轨迹方程； 第 4 步 剔点：剔除不满足题意的点，比如斜率不存在，不能构成三角形等； 直接法求动点的轨迹方程： 特征：题干中有明显的等式关系 重要题型专练 题型四 相关点法求动点的轨迹方程：双动点轨迹问题 例题 解析 应用新知 归纳总结 第 1 步 设坐标：设所求动点坐标为，另一动点为； 第 3 步 代方程：将第二步中的两个等式关系代入另一动点的轨迹方程； 第 4 步 标准化：将所得新的方程进行整理成标准化方程； 相关点法求动点的轨迹方程： 特征：双动点问题，已知一个动点的轨迹方程，求另一个动点的轨迹方程，比如该题点A与点M均为动点，点M随着点A的运动而运动 第 2 步 找关系：根据已知条件找到的等式关系； 05 真题感知 2.4.2 圆的一般方程 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 06 小结及随堂练习 2.4.2 圆的一般方程 课堂小结 作业 作业1：完成教材：第88页 练习1,2,3,4. 作业2：配套辅导资料对应的《圆的一般方程》。  2.4.2 圆的一般方程 课后作业答案 练习（第88页） 课后作业答案 练习（第88页） 课后作业答案 练习（第88页） 课后作业答案 练习（第88页） 课后作业答案 习题2.4（第88页） 课后作业答案 习题2.4（第88页） 课后作业答案 习题2.4（第88页） 课后作业答案 习题2.4（第88页） 课后作业答案 习题2.4（第88页） 课后作业答案 习题2.4（第88页） 课后作业答案 习题2.4（第88页） 课后作业答案 习题2.4（第88页） 课后作业答案 习题2.4（第88页） 课后作业答案 习题2.4（第88页） 课后作业答案 习题2.4（第88页） 课后作业答案 习题2.4（第88页） 课后作业答案 习题2.4（第88页） 7.等腰三角形的顶点 A 的坐标是(4,2),底边一个端点 B 的坐标是(3,5),求另一个端点 C 的轨迹方程,并说明它是什么图形. A B C 根据题意,等腰三角形 ABC 的另一个端点 C 在以 A(4,2)为圆心,经过B(3,5)的圆上,且除去点 B 以及 B关于A的对称点B’ 课后作业答案 习题2.4（第88页） 课后作业答案 习题2.4（第88页） 阿氏圆是阿波罗尼斯圆的简称，已知平面上两点A、B，则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆。这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。 课后作业答案 习题2.4（第88页） 课后作业答案 习题2.4（第88页） 课后作业答案 习题2.4（第88页） 本课结束 感谢您的聆听 ·选择性必修第一册· 1.（25-26高二下·四川成都·期中）圆 的半径为（   ） A． B． C． D． 【详解】原方程为，分组配方得， 整理为圆的标准方程， 对比圆的标准方程 （为半径），可得半径 .故选：B. 2.（25-26高三上·安徽亳州·期末）圆 的半径为（ ） A．1 B．2 C． D．4 【详解】将圆的一般方程转换为标准方程，得， 则圆的半径为2. 故选：B. 3.（2026高三·全国·专题练习）圆 的半径为（ ） A．1 B．2 C． D．4 【详解】将圆的一般方程转换为标准方程， 得，则圆的半径为2. 故选：B. 4.（25-26高二上·北京朝阳·期末）设圆 的圆心为M，半径为r，则（   ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【详解】将转化为， 可得圆心，半径， 故选：. 5.（25-26高二下·广东深圳·期中）已知圆 ，则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】法一：将圆的一般方程化为标准方程， 由此可知圆的半径，所以该圆的面积. 法二：由圆的一般方程知， 所以圆的半径，所以该圆的面积.故选：C. 6.（2026·山西忻州·模拟预测）圆 的圆心到直线 的距离为（  ） A． B．2 C． D．3 【详解】将圆，化为，可得圆心为， 圆心到直线的距离为．故选：C. 7.（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若点 在圆 外，则实数 的取值范围为（    ） A． B．（－10，6） C． D． 【详解】点在圆外，即点到圆心的距离大于半径. 将圆方程化为标准形式得，圆心为，点 P 到圆心距离为 4，故有，解得; 故选：B 8.（24-25高二上·河南洛阳·期中）已知 ， ， ，则 的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】A选项，，向量和为零向量，A选项错误. B选项，，B选项正确. C选项，单位向量的长度为1，C选项正确. D选项，零向量的方向任意，D选项正确. 故选：A 9.（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）已知 、 ，则以 为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】已知、，则中点坐标为即. ，所以以为直径的圆的圆心为，半径为.所以圆的标准方程为，展开可得，整理得. 故选：B. 10.（25-26高二上·重庆·期中）若点 在圆 外，则 的取值范围（   ） A． B． C． D． 【详解】将圆化为标准方程得， 因为点在圆外，所以，解得， 所以的取值范围. 故选：D. 求下列圆的圆心坐标和半径 .  因为 ，配方得： ， 所以，圆心坐标为： ，半径为2. 因为 ，所以 ， 所以，圆心坐标为： ，半径为 . 若方程 表示圆，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． . 因为方程 表示圆，所以 ，即 ，解得 ；故选：D 利用圆的条件 ，建立不等式，解不等式即可得解 已知 ，若动点P满足直线 与直线 的斜率 之积为 ，求动点P的轨迹方程. 设 ，因为 ，所以 ， 又因为直线 与直线 的斜率之积为 ，所以 ， 整理得 . 1.（2024·吉林长春·三模）经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】设经过，，三个点的圆的方程为， 由题意可得，解得，且满足， 所以经过，，三个点的圆的方程为，即为.故选：C. 2.（25-26高二上·山西·阶段检测）若方程表示圆心在直线上的圆，则该圆的半径为（   ） A． B．3 C．2 D． 由题意，得圆的方程为，所以圆心坐标为，半径为．因为圆心在直线上，所以，解得，所以半径.故选：A. 3.（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知方程表示圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 方程，即， 因为方程表示圆，所以，解得，即实数m的取值范围是.故选：B. 4.（25-26高二上·广西河池·阶段检测）方程表示一个圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 由， 得， 解得.即m的取值范围是. 故选：D. $