2.4.2 圆的一般方程课件-2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦圆的一般方程，涵盖概念、方程与图形关系、轨迹方程求法等核心内容。通过复习圆的标准方程导入，课前自学铺垫定义与条件，课时学案以例题和探究衔接知识，形成递进式学习支架。 其亮点在于以数学抽象、数学运算、逻辑推理为核心素养，题型设计注重方法对比，如确定圆的条件用配方法与公式法，轨迹问题结合代入法与定义法。自助餐拓展阿波罗尼斯圆，助力学生提升思维能力，教师可依托系统资源高效教学。

课前自学 内容导航 课时学案 课后巩固 自助餐 Content Navigation 01 02 03 04 2.4.2　圆的一般方程 素养目标 1.理解圆的一般方程及其特点．(数学抽象)2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化．(数学运算)3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程．(逻辑推理) 课前自学 4 要点1　圆的一般方程的概念 当___________________________时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． 其中圆心为____________，圆的半径为r＝___________________． D2＋E2－4F＞0 第页 要点2　方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以____________为圆心，______________为半径的圆 第页 要点3　轨迹和轨迹方程的定义 平面上一动点M，按照一定规则运动，形成的曲线叫做动点M的轨迹．在平面直角坐标系中，这个轨迹可用一个方程表示，这个方程就是轨迹方程． 第页 要点4　坐标法求轨迹方程的步骤 坐标法求动点的轨迹方程，就是根据题意建立动点的坐标(x，y)所满足的关系式，并把此关系式化为最简形式的方程．如果题目中没有平面直角坐标系，需要先建立适当的平面直角坐标系． 求轨迹方程的一般步骤： 第页 1．二元二次方程Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是什么？ 答：①x2，y2的系数相同，且不等于0，即A＝B≠0； ②不含xy这样的二次项，即C＝0； ③D2＋E2－4AF>0. 第页 2．如何判断点M(x0，y0)和圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的位置关系？ 返 回 课时学案 11 例 1 题型一　 确定圆的条件 第页 12 (2)x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)； 【解析】　方法一： (2)(x＋a)2＋y2＝a2(a≠0)表示圆， 圆心为(－a，0)，半径r＝|a|. 第页 (3)x2＋y2＋2ay－1＝0； 第页 (4)x2＋y2＋20x＋162＝0. 【解析】　方法一：(4)(x＋10)2＋y2＝102－162<0，不表示任何图形． 方法二：(4)∵D2＋E2－4F＝202＋02－4×162 ＝202－4×162＝42×(25－64)<0， ∴方程不表示任何图形． 第页 探究1 (1)求圆心和半径的方法有配方法和公式法． (2)这两种方法相比较，配方法相对便捷，应熟练掌握配方法；公式法分两步完成，若漏掉第一步就很容易出错． 第页 思考题1　判断下列方程各表示什么图形． (1)x2＋y2－2x－2y＋4＝0； 【解析】　(1)配方得(x－1)2＋(y－1)2＝－2，方程无解，因此不表示任何图形． (2)x2＋y2－2x＋4y－4＝0； 【解析】　(2)配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝9，表示以(1，－2)为圆心，3为半径的圆． 第页 (3)x2＋y2＋2ax－b2＝0； (4)x2－y2＝0. 【解析】　(4)x2－y2＝(x－y)(x＋y)＝0，即x－y＝0或x＋y＝0，故表示两条直线． 第页 例 2　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆． (1)求实数m的取值范围； 第页 (2)写出圆心坐标和半径． 第页 探究2 第页 √ 第页 例 3　已知△ABC的三个顶点A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)，求其外接圆方程，并指出圆心和半径． 题型二　 求圆的一般方程 第页 23 第页 探究3 用待定系数法求圆的方程 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的情况下，一般设出圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般设出圆的一般方程，再利用待定系数法求出D，E，F. 第页 第页 第页 例 4　已知O为坐标原点，P在圆C：(x－2)2＋y2＝1上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程． 题型三　 与圆有关的轨迹问题 【思路分析】　点P运动引起M运动，而点P在已知圆上运动，点P的坐标满足方程(x－2)2＋y2＝1，建立点M与点P坐标之间的关系，就可以得到点M的坐标满足的条件，从而求出点M的轨迹方程，或利用圆的定义求出点M的轨迹方程． 第页 28 第页 第页 探究4 求动点的轨迹方程的常用方法 (1)直接法：它是求曲线方程最重要最直接的方法．可分为以下五个步骤： ①建立适当的直角坐标系，设M(x，y)是所求曲线(轨迹)上的任意一点； ②找出(写出)动点M所满足的条件； ③用坐标表示此条件，得到方程f(x，y)＝0； ④化简所列出的方程； ⑤验证以方程的解为坐标的点都在曲线上． 第页 (2)代入法(又叫相关点法)：它用于处理一个主动点与一个被动点之间的问题，只需找出这两点坐标之间的关系(用被动点坐标表示主动点坐标)，然后代入主动点满足的轨迹方程，便可得到被动点所满足的方程，也即得到了所要求的轨迹方程． (3)定义法：先由已知及曲线定义得到所求轨迹为何种曲线，进而可求得其轨迹方程． 第页 思考题4　点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； 【解析】　(1)设线段AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式，得点P的坐标为(2x－2，2y)，x≠2. ∵点P在圆x2＋y2＝4上， ∴(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠2)． 第页 (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程． 【解析】　(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，连接BN. 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 设O为坐标原点，连接ON，OP(图略)，则ON⊥PQ， ∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， ∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4， 故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 返 回 课后巩固 35 1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径r分别为(　　) A．(4，－6)，r＝16　　　　 B．(2，－3)，r＝4 C．(－2，3)，r＝4 D．(2，－3)，r＝16 √ 第页 √ 第页 3．【多选题】对于圆x2＋y2－4x－1＝0，下列说法正确的是(　　) A．关于点(2，0)对称 B．关于直线y＝0对称 C．关于直线x＋3y－2＝0对称 D．关于直线x－y＋2＝0对称 √ √ √ 第页 4．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以C(2，－4)为圆心，半径等于4的圆，则D＝________，E＝________，F＝________． －4 8 4 第页 5．已知△ABC的顶点A(0，0)，B(4，0)，且AC边上的中线BD的长为3，则顶点C的轨迹方程是________________________． (x－8)2＋y2＝36(y≠0) 返 回 自助餐 41 第页 第页 例 平面内与两定点距离的比为常数k(k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆． 44 第页 第页 第页 思考题　已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足条件|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(　　) A．π　　　　　　　　　 B．4π C．8π D．9π √ 【解析】　设P点的坐标为(x，y)，则(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，即(x－2)2＋y2＝4，所以点P的轨迹是以(2，0)为圆心，2为半径的圆，所以点P的轨迹所包围的图形的面积等于4π，故选B. 返 回 请做：课时作业（二十五） 师备用资料 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))) eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))) eq \f(\r(D2＋E2－4F),2) 答：点M在圆外⇔xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0； 点M在圆上⇔xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F＝0； 点M在圆内⇔xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F<0. 　判断下列方程是否表示圆，若是，求出圆心和半径． (1)x2＋y2－x＋eq \f(1,4)＝0； 【解析】　方法一：(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \s\up18(2)＋y2＝0表示点，点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)). 方法二：(1)∵D2＋E2－4F＝(－1)2＋02－4×eq \f(1,4)＝0， ∴方程表示点，点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)). 方法二：(2)∵D2＋E2－4F＝4a2＋0－0＝4a2>0(a≠0)， ∴方程表示圆． 又－eq \f(D,2)＝－a，－eq \f(E,2)＝0，eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F)＝eq \f(1,2) eq \r(4a2)＝|a|， ∴圆心为(－a，0)，半径r＝|a|. 【解析】　方法一：(3)x2＋(y＋a)2＝1＋a2表示圆， 圆心为(0，－a)，半径r＝eq \r(1＋a2). 方法二：(3)∵D2＋E2－4F＝02＋(2a)2＋4＝4(1＋a2)>0， ∴方程表示圆． 又∵－eq \f(D,2)＝0，－eq \f(E,2)＝－a，eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F)＝eq \r(1＋a2)， ∴圆心为(0，－a)，半径r＝eq \r(1＋a2). 【解析】　(3)配方得(x＋a)2＋y2＝a2＋b2， 当a＝b＝0时，表示原点(0，0)； 当a，b不同时为0时，表示以(－a，0)为圆心，eq \r(a2＋b2)为半径的圆． 【解析】　方法一：(1)由表示圆的条件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 解得m<eq \f(1,5)，即实数m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,5))). 方法二：(1)方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0可化为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m. 由题意知1－5m>0，即m<eq \f(1,5).所以实数m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,5))). 【解析】　方法一：(2)因为－eq \f(D,2)＝－m，－eq \f(E,2)＝1，eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F)＝eq \f(1,2) eq \r(（2m）2＋（－2）2－4（m2＋5m）)＝eq \r(1－5m)， 故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝eq \r(1－5m). 方法二：(2)由(1)得圆心坐标为(－m，1)，半径r＝eq \r(1－5m). 二元二次方程M：Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＝C≠0，,B＝0，,D2＋E2－4AF>0))是方程M表示圆的充要条件． 【解析】　此方程表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，即(4m)2＋(－2)2－20m>0.解得m<eq \f(1,4)或m>1. 思考题2　方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是(　　) A.eq \f(1,4)<m<1　　　　　 B．m>1 C．m<eq \f(1,4) D．m<eq \f(1,4)或m>1 【解析】　设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)． 因为A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解．把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D，E，F的三元一次方程组，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F＝0，,D＋E＋F＋2＝0，,4D＋2E＋F＋20＝0，))解此方程组，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－8，,E＝6，,F＝0.)) 所以所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0. 则半径r＝eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F)＝5，由－eq \f(D,2)＝4，－eq \f(E,2)＝－3，得圆心坐标为(4，－3)． (或将x2＋y2－8x＋6y＝0左边配方化为圆的标准方程(x－4)2＋(y＋3)2＝25，从而求出圆的半径r＝5，圆心坐标为(4，－3)) 【解析】　圆心Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))， ∵圆心在直线x＋y－1＝0上， ∴－eq \f(D,2)－eq \f(E,2)－1＝0， 即D＋E＝－2①. 思考题3　已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为eq \r(2)，求圆的一般方程． 又∵半径r＝eq \f(\r(D2＋E2－12),2)＝eq \r(2)， ∴D2＋E2＝20②. 由①②可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝－4))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝2.)) 又∵圆心在第二象限， ∴－eq \f(D,2)<0，－eq \f(E,2)>0，即D>0，E<0，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝－4.)) 故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. 【解析】　方法一(代入法)：设点M坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)， 由中点坐标公式，可得x＝eq \f(x0＋0,2)，y＝eq \f(y0＋0,2). 于是x0＝2x，y0＝2y.① ∵点P在圆(x－2)2＋y2＝1上运动，∴点P的坐标满足方程(x－2)2＋y2＝1，即(x0－2)2＋yeq \o\al(2,0)＝1.② 把①代入②，得(2x－2)2＋(2y)2＝1，整理，得(x－1)2＋y2＝eq \f(1,4). ∴点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝eq \f(1,4). 方法二(定义法)：①当P在x轴上时，易知P的坐标为(1，0)或(3，0)，此时M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0)). ②当P不在x轴上时，如图，取OC的中点O1，连接PC，MO1. ∵M为OP的中点，∴MO1是△OPC的中位线． ∴|MO1|＝eq \f(1,2)|PC|＝eq \f(1,2).因为O1是定点，其坐标为(1，0)， 根据圆的定义，可知点M在以O1(1，0)为圆心，eq \f(1,2)为半径的圆上． 综上，M的轨迹方程是(x－1)2＋y2＝eq \f(1,4). 2．若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4))) 解析　设C(x，y)(y≠0)，则Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，\f(y,2))). ∵B(4，0)，且AC边上的中线BD长为3， ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－4)) eq \s\up18(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2))) eq \s\up18(2)＝9，即(x－8)2＋y2＝36(y≠0)． 阿波罗尼斯圆及其应用 阿波罗尼斯圆的定义：在平面上给定相异两点A，B，当点P在同一平面上且满足eq \f(|PA|,|PB|)＝λ(λ≠1)时，点P的轨迹是个圆，这个圆称之为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆． 设定线段AB的长为2a，以eq \o(AB,\s\up18(→))的方向为x轴的正方向，线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则A(－a，0)，B(a，0)，设P(x，y)，由eq \f(|PA|,|PB|)＝λ(λ≠1)， 得到eq \f(\r(（x＋a）2＋y2),\r(（x－a）2＋y2))＝λ， 化简得(1－λ2)x2＋(1－λ2)y2＋2a(1＋λ2)x＋a2(1－λ2)＝0. 即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(λ2＋1,λ2－1)a)) eq \s\up18(2)＋y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,λ2－1)·2a)) eq \s\up18(2)，表示的是以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ2＋1,λ2－1)·a，0))为圆心，半径为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(λ,λ2－1)·2a))的圆． (1)若定点为A(－1，0)，B(1，0)，写出k＝eq \f(1,2)的一个阿波罗尼斯圆的标准方程________________________________； eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5,3))) eq \s\up18(2)＋y2＝eq \f(16,9) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,3)))\s\up18(2)＋y2＝\f(16,9))) 【解析】　(1)设圆上一点P(x，y)， ①eq \f(|PA|,|PB|)＝eq \f(1,2)，即有|PB|2＝4|PA|2， ∴(x－1)2＋y2＝4[(x＋1)2＋y2]， 整理得3x2＋3y2＋10x＋3＝0， ②eq \f(|PB|,|PA|)＝eq \f(1,2)，即有|PA|2＝4|PB|2. ∴(x＋1)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]， 整理得3x2＋3y2－10x＋3＝0， 故其标准方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5,3))) eq \s\up18(2)＋y2＝eq \f(16,9)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,3))) eq \s\up18(2)＋y2＝eq \f(16,9)，即为点P的轨迹方程． eq \r(2) (2)在△ABC中，|AB|＝2，|AC|＝k|BC|(k＞1)，则当△ABC面积的最大值为2eq \r(2)时，k＝____________． 【解析】　(2)如图建立直角坐标系，不妨设A(1，0)，B(－1，0)，C(x，y)， 由|AC|＝k|BC|，可得(x－1)2＋y2＝k2[(x＋1)2＋y2]， 整理可得(k2－1)x2＋(k2－1)y2＋2(k2＋1)x＋k2－1＝0， 即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(k2＋1,k2－1))) eq \s\up18(2)＋y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k2＋1,k2－1))) eq \s\up18(2)－1，则点C的轨迹为圆(除去与x轴的交点)，设半径为r，故圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(k2＋1,k2－1)，0))，r2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k2＋1,k2－1))) eq \s\up18(2)－1. 由图可知当点C到AB(x轴)距离最大时，△ABC的面积最大，即当点C到AB的距离d等于r时，△ABC面积最大，∴△ABC面积的最大值是eq \f(1,2)×2r＝2eq \r(2)，解得r＝2eq \r(2)，故有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k2＋1,k2－1))) eq \s\up18(2)－1＝(2eq \r(2))2，又k>1，解得k＝eq \r(2). $