2.3 直线的交点坐标与距离公式-【重难点手册】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步练习册（人教A版）

“61++1,即6= 1 1 1 +1 471 图1 图2 可以看出当a增大时，b也增大.当a+∞时，b→2，即b< 2;当a→0时，直线y=ax十b接近于y=b;当y=b时，如 8器--分16号， 图2，SABc C02-12 2,6= 6>19棕上可如，1号<名J 2.(1)由题意知，直线11过的定点是A(0,0), 直线L2的方程可化为x+3一m(y+1)=0, 令r+3=0, x=一3， 得 y+1=0,y=-1, 所以l2过的定点是B(-3,一1). 当m=0时，l1:y=0,l2：x=一3，所以l1⊥l2 当m≠0时，l1:y=一mx,l2:y= 1 所以两直线的斜率之积为-m·=一1，故、 m 要求PA|·|PB的最大值，需先找PA|,PB满足的关系，怎 么找？已有点A,B的坐标，不妨来香看看△PAB的形状，仔细观 察会发现l1⊥L2,于是如国1，PA⊥PB,放可由勾股定理建立 |PA与PB的关系 所以对任意的m∈R,总有l1⊥L2,故PA|2+|PB2=|AB|2= (-3-0)2+(-1-0)2=10, 所以PA·PB1≤PA十PB-5,取等条件是IPA= 2 |PB=5,故PA|·|PB|的最大值为5. y P 图1 (2)依题意可设1的截距式方程为后+名=1>0，b>0, a 则Aa,0,B0,6),直线1过点M2,1→2+合-1.① 因为MA=(a-2,-1),MB=(-2,b-1),所以|MA· |MB|=-MA·MB=-[(a-2)·(-2)+(-1)·(b 如图2，注意到A,M,B三点共线，且，点M在点A,B之间， 故MA1·lMB引=-MA·M店，而MA·M店可用M,A, B三点的坐标计算，放可借此表示MA|·|MB 1)]=2a+b-5. ② 24 (由①求②的最小值，这是典型的“1”的代换模型，可借此海“积 定”，用基本不等式求②的最小值) 2a+6=a+》1=(2+6)(层+君）-4+会+0+ b a 1+2+≥2√会，西+5=9， a a 代A@得1MA1·MB≥9-5=4，政等条件是会-2。 即a=b,结合①得a=b=3,满足a>0,b>0, 所以当MA·MB最小时，直线1的方程为号+兰=1， 化为一般式方程得x十y一3=0. y A 图2 2.3直线的交点坐标与距离公式 变式孤练 [变式1]15.x+15y十16=0.[因为直线1过已知两直线的交 点，所以直线1的方程可设为2x一3y一3十入(x十y十2)=0 (其中入为常数)，即（十2）x十(a-3)y十2入-3=0. ① 又直线1的斜率为3，测号3，解得1-号将号 3-A 代入①式并整理得15x+5y十16=0，即为所求直线l的 方程.] [变式2](1)设所求直线的方程为2x一y十c二0(c≠3，c≠ -1), 平行直线系方程 3-c 则由题意可得 1-1-c /22+(-1)2 V2+(-,解得c=1, 故直线1的方程为2x一y十1=0. (与两直线Ax十By十C1=0,Ax十By十C2=0平行且距离相等的 直钱为Ax+By十CC=0 2 (2)①当直线的斜率存在时，设直线的斜率为k,由斜截式得 l1的方程为y=kx十1，即kx一y十1=0； 由点斜式可得l2的方程为y=k(x一5)，即kx一y一5k=0. 则直线，与，间的距离d=+5融=5， √1+k2 256+10+1=23适+25，话-号， 故11的方程为12x一5y+5=0,l2的方程为12x一5y 60=0. ②若1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x=0,l2的方程为 x=5,它们之间的距离为5，同样满足条件. 综上所述，满足条件的直线方程有两组， 即l1:12x-5y+5=0,l2:12x-5y-60=0;或l1:x=0, 12:x=5. 方法总结 解决两条平行直线间的距离问题的方法 (1)转化为点到直线的距离，体现了转化与化归的数学 思想 (2)直接使用公式d=1C-C2 ,其中l1:Ax十By+ /A2+B2 C1=0,l2:Ax+By+C2=0,需注意此时直线l1与l2的方 程为一般式且x,y的系数分别对应相同. (3)如果直线方程为l1:y=kx十b1,l2:y=kx十b2,那 么这两条直线间的距离d=b,一b √1+k2 [变式3]3.[（观察发现直线L1,l2中x和y的系数对应相同，且常 数项不同，所以两直线平行，我们不妨先画图，看能否找到PQ何时 最小)如图，P,Q分别在l1,l2上运动，当PQ⊥l1且PQ⊥12 时，|PQ最小，此时|PQ|即为平行线11与12之间的距离 d,所以1PQ1m=d=-5-10=3.] /32+42 p [变式4们B[(由目标式的形式联想到两点之闻的距离公式，于是我们 先把对应的点写出来，再来观察)设P(m,n),A(p,p十1)，B(q,q十 3),则√(m-)+(n--1)2+√(m-q)2+(n-q-3)2 =|PA|十PB|.(故只需求|PA十PB的最小值，怎么求？先 看P,其横坐标和纵坐标n无关，所以点P可任意运动，再看A, B,与P不同，它们的横、纵坐标有关系，故尝试翻译此关系，找到 A,B的运动规律，如何翻译？以A为例.我们可以设A的坐标为 (红，y),结合所给坐标寻找x,y满足的关系)设A(x,y),与 x=p,① A(p,p十1)对比可得 ①代入②，消去p得 y=p+1,② y=x+1,即x一y+1=0,所以A为直线1：x-y十1=0上 的动点，同理，B为直线L2:x一y十3=0上的动点.（不难发现 L1儿2，图形比较特殊，放接下来可尝试画图分析|PA|十|PB何时 最小)如图1，当点P在平面内运动时，有|PA|十PB|≥ |AB|, ③ 直线l1与l2之间的距离d=- 1-3 √12+(-1)2 =√2，由图1可 知，AB|≥d=√2，结合③得|PA+|PB|≥√2，取等条件 是P在线段AB上，且AB⊥l1和l2,如图2，所以 √(m-p)2+(n-p-1)2+√(m-q)2+(n-q-3)的最 小值为√2.] B 图1 图2 基础过关练 1.B 〔2-4 2.A[联立 /x+2y-4=0, 。解得 x=2k十1' 即直线l1 kx-y十2k+1=0 6k+1 y=2k+11 与直线，的交点为（发背赞》.由感意可得 普0 赞o, 解得-一日<及<号，即实数及的取值范制是（言，号）门 3.C[l1:x-2y+m=0(m>0),可化为2x-4y+2m=0. l1∥l2, m=-4,5=12m-（-6)l=12m+6l √22+42 2W5 .2m+6=10.又m>0,.m=2.故m+n=-2.] 34.[设A0,2),B4,0),则线段AB的中点为(2,1D,直 4. A,B两点经折叠可重合意味着A,B两点关于 幕直线对称 线AB的斜率-号号，则线段AB的垂直平分线 方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.又点(7,3)与点(m, n-31 m-7-2 n)重合，则有 即m+2m-13=0, 2x27”3告-3=0 2m-n+5=0, 2 fm= 解得 31 n=5, 5.过点P(3,0)且与y轴平行的直线为x=3,此时它被两条已 知直线所截得的线段不被点P平分，因此x=3不符合题 意.可设所求直线1的方程为y=k(x一3)， 解方程组y=(x-3), 2x-y-2=0, 交点A(货-号)， 解方程组=(x-3), x+y+3=0, 交点B(装) 由题意可得点P是线段AB的中点，结合中点坐标公式可得 (号++》)=3且(“+)=-0， 解得k=8. .所求直线1的方程为y=8(x一3)，即8x一y一24=0. 综合提能练 1.B[将直线l:mx-y-4m-8=0变形为y+8=m(x x-4=0, 4),令 工=4，则直线1恒过点(4，一8).不 解得 y+8=0, y=-8, 妨设为B(4,一8)，所以点A到直线L的最远距离为1AB, 此时直线l⊥AB.又|AB|=√(2-4)2+(-4+8)2=2√5， 若AB不与直线l垂直，则，点A到直线l的距离d< AB,可画图进行理解 所以点A到直线1的距离的最大值是2√5.] 25 2.B[如图，从特殊位置考虑.，点A(一2,0)关于直线BC: x十y=2的对称点为A1(2,4),连接A1F,直线A1F的斜 率A,F=4.点E(-1,0)关于直线AC:y=x十2的对称点 为E1(-2,1),点E1(-2,1)关于直线BC:x十y=2的对称 点为E2(1,4),连接E2F,此时直线E2F的斜率不存在， .kA,F<kD,即km∈(4，十o∞).] E A EOFB 第2题图 第3题图 3.D[由题意可知，z的最小值的几何意义为点M(x,y)到点 A(1,0),B(一1,0)，C(0,2)的距离之和的最小值，此时M 是“费马点”，所以∠AMB=120°，且点M(x,y)在y轴上， 如图放oM1=2=号.1AM1=1BM1=21QM1= √3 2怎，CM=2-停放：的最小值为25×2+2-号 3 3 2+3.] 4.C[(观察发现三条直线x,y的系数对应成比例，所以1与12关 于1对称的情况如国，只能1心2化，且1与2到1的距离相等，故 可用平行线间的距离公式来翻译)由题意，直线1的方程可化为 -2+号 0,所以1与l1,l2之间的距离分别为d1= -8 C 2 ,由l1与12关于1对 √12+(-2)2 ,d2= V12+(-2)9 1 29 称可得d1=d2,所以 ,解得 √12+(-2)2 √12+(-2)2 C=3.] 12 d 5.7x-7y+5=0.[设P(x,y)是∠BAC的角平分线上任意 一点，则点P到AB,AC的距离相等，即4虹一3y+10 √42+32 13z-4y5,所以4红-3y十10=士(3x-4y-5),即x+ V√4+37 y+15=0或7x-7y十5=0.又∠BAC的角平分线的斜率 在是到号之间，所以所求角平分线所在直线的方程为7江一 7y+5=0.] 1 6.(1)l2可化为2x一y-2 =0, 。-（-) ∴l1与l2之间的距离d= 75 √22+(-1)2 10 26 a-(-)川= a>0,.a=3. (2)设点P(xo,yo),若点P满足条件②，则点P在与l1,l2 平行的直线'：2x-y十C=0上， 1 且C-31=1、 52 5 2,-9+9-0或2+号=0 若点P满足条件③，由点到直线的距离公式有 2xy十3_2.lxo十y-1L, 55 √2 即|2x0-yo+3|=|x0十y0-1, .x0-2y0十4=0或3x0十2=0. ,点P在第一象限，3x0十2=0，舍去. 2,一+号-0解特 x0=-3, 1舍去 x0-2y0+4=0, yo=2’ 1 2。-y+0解得32 ,11 x0=9’ 符合题意. x0-2y0十4=0， yo=18' 即点P(合，)同时满足三个条件。 培优突破练 1.AB[若x>1,则ax1+by1十c>ax2+by2十c>0或ax1+ by1+c<ax2+by2十c<0,即点P,Q在直线l的同侧，且直 线L与射线PQ不平行，故A正确.若x=1,则ax1十by1十 c=a.x2十by2十c,即a(x2-x1)+b(y2-y1)=0,若b=0, 则x1=x2,过P,Q两点的直线与直线l的斜率都不存在， 故平行；若b≠0，则=一合，所以k0=1,即过P, x2一x1 Q两点的直线与直线1平行.综上所述，直线1与射线PQ平 laxi+by1+cl 行，放正确因为密格远。 a2+b2 Va2+b2 所以x为P,Q两点到直线1的距离之比，若x=一1，则 x=1,即P,Q两点到直线l的距离相等，且在直线l的两 侧，但1与射线PQ不一定垂直，故C不正确.若点Q在直线 1上，则有ax2十bx2十c=0,结合题设及分母不为0可知，不 存在实数x,使点Q在直线L上，故D不正确.门 1 2.100 [令f(x)=0,整理得(x2-1)·m十2x·n十x-2= 0,则（√m2十n)mim= 与令 1x-2 t=x-2,则t∈[1,2].当x∈[3,4]时，（√m2+n)m= 女牛[品引所u当晴，m十 t ++4 t 的最小值是0]用重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA, 2.3直线的交点 A基础过关练 ●测试时间：20分钟 1.[题型2]已知△ABC的顶点为A(0,4),B(3,一2)， C(5,4),则BC边上的中线长为(). A.4 B.5 C.3√2D.4√2 2.[题型1](2026·吉林吉大附中单元检测)若直 线l1:x十2y-4=0与直线L2:kx-y十2k+1 =0的交点位于第一象限，则实数k的取值范围 是(). A(-言》 a(2》 c(-∞，- 2u(份+∞ n(-o,-2u(-日+) 3.[题型3](2026·浙江杭州学军中学检测)若两 条平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2: 2x十ny一6=0间的距离是√5，则m+n= (). A.0 B.1 C.-2D.-1 4.[题型4]将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2) 与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m,n)重合，则 m十n= 5.[题型1、4](2026·江西南昌二中单元检测)过 点P(3,0)作直线l,使它被两相交直线2x y一2=0和x十y十3=0所截得的线段恰好被 点P平分，求直线l的方程. 14 坐标与距离公式 B综合提能练 。测试时间：30分钟 1.[题型3]点A(2,-4)到直线l:mx-y-4m-8= 0(m为任意实数)的距离的最大值是(). A.5 B.25C.4 D.5 2.[题型1、4](2026·湖北武汉三中月考)如图，已 知点A(-2,0),B(2,0),C(0,2),E(-1,0), F(1,0),一束光线从F点出发，落到BC上的 D点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段 AE上（不含端点），则直线FD的斜率的取值范 围是(). /F B A.（-∞，-2) B.(4,+∞) C.(2,十∞) D.(1,十∞) 3.[题型2、4](2026·河北石家庄二中单元检测) 费马点是平面上到一个三角形的三个顶点的距 离之和最小的点.当三角形三个内角均小于 120时，费马点与三个顶点的连线正好三等分费 马点所在的周角，即该点所对的三角形三边 的张角相等，均为120°.根据以上性质，可得 出x=√(x-1)2+y2+√(x+1)2+y2+ √x2+(y-2)2的最小值为(). A.2 B.√5C.2-√5D.2+√3 4.[题型4](2026·广东深圳期末)若直线l1:x 2y十1=0与直线l2:x-2y十2=0关于直线l: 2x-4y十C=0对称，则C=(). A.1 B.2 C.3 D.4 5.[题型3](2026·淮南五校联考)已知△ABC的 三边所在直线的方程分别是LAB:4x一3y十10= 0,Lc:y=2,lc4:3x-4y=5,则∠BAC的角平 分线所在直线的方程为 6.[题型3](2026·北京人大附中检测)已知三条 直线l1:2x-y十a=0(a>0),l2:-4x十2y十 1=0,l3:x十y一1=0，且11与l2之间的距离是 7w5 10· (1)求a的值. (2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三 个条件？①P是第一象限的点：②P点到11 的距离是P点到L,的距离的？；③P点到1 的距离与P点到13的距离之比是√2：√5.若 能，求出P点的坐标；若不能，请说明理由. 第二章直线和圆的方程 C培优突破练 ●测试时间：20分钟 1.(2024·清华大学强基计划)（多选）已知直线1： ax+by+c=0,P(x1,y1),Q(x2,y2),x= ax十y十C,则下列选项中正确的有(）. ax2+by2+c A.若x>1,则l与射线PQ相交 B.若x=1,则1与射线PQ平行 C.若x=一1，则l与射线PQ垂直 D.若x存在，则Q在l上 2.(经典·全国高中数学联赛甘肃赛区预赛)设 f(x)=mx2+(2m+1)x-m-2(m,n∈R,m≠ 0)在[3,4]上至少有一个零点，则m2+n2的最 小值是 15