3.2.2 双曲线的简单几何性质-【重难点手册】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第三章圆锥曲线的方程通 3.2.2双曲线的简单几何性质 重点和难点 课标要求 重点：双曲线的几何特征以及它的简单几何性质。 1.理解双曲线的简单几何性质. 难点：双曲线渐近线的发现 2.理解直线与双曲线的位置关系. 必备知识梳理 基础梳理 知识点( 双曲线的简单几何性质·明概念 明概念⊙ 标准方程 3y y? 3 =1(a>0,b>0) 6=1(a>0,b>0) )由之 6知，当1x 无限增大时，|y也随之无限增 大，所以双曲线是不封闭的曲线 y (a,b) (2)双曲线的顶点只有两 P(b,a) -b 个，即实轴的两个端，点，虚轴的 图形 B.O 两个端，点并不在双曲线上，另 外，实轴长不一定大于虚轴长， 这要和椭圆中的长轴长和短轴 长区别开来 范围 x≤-a或x≥a,y∈R y≤-a或y≥a,x∈R (3)e=C a2+62 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 左顶点A1(-a,0) 下顶点A,(0,-a) b 顶点 ( 决定双曲线的 右顶点A2(a,0) 上顶点A2(0,a) 实轴长|A1A2|=2a,实半轴长|OA1|=|OA2|=a 开口大小， 越大，e越大，双曲 轴长 a 虚轴长|B1B2=2b,虚半轴长1OB1|=OB21=b 线的开口越大。 越小，e越小， 渐近线 y=t6 y=± 双曲线的开口就越小】 离心率 e-c= a +】 ∈(1，+∞) 知识点2 直线与双曲线的位置关系◆作此较四 作比较回 1.研究直线与双曲线的位置关系时，一般通过直线方程与双 因为椭圆是封闭性曲线，双 曲线是开放性曲线，所以直线与 [y=kx+m,① 两曲线的位置关系有所不同，下 曲线方程所组成的方程组x2y2 的解的个数进行判断. (a262=1 ② 面从方程组解的个数来比较 y=kx十m, 将①代人②，得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.③ (1)联立 22 消去 61, 当b一ak2=0,即=土时，若m≠0，直线与双曲线的渐 y得Ax2+Bx+C=0. a 119 用重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA 近线平行，直线与双曲线交于一点；若m=0,直线即为双曲线的渐 因为A=b2+a2k2≠0，所 近线，与双曲线没有交点. 以只须根据判别式△与0的大 小关系来判断直线与椭圆是相 当62-a2≠0，即k≠士时， ”1个交点 交、相切还是相离 △=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2). 。2个交点 士0个交点 △>0台直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交； y=kx十m, (2)联立 x2 y2 去 △=0台→直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切； a2-6-1, △<0台直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离. y得A'x2+B'x+C=0. b2-a2k2≠0， 因为A'=b2-a2k2可能为 特别地，当 时，设方程③的两个根为x1,x2, △>0 0,也可能不为0，所以直线与双 a'm2+a2b2 曲线相交有两种情况： 2amk 则x1十x2 b2-a2k12= a2k2-b2. ①当A'=0(m≠0)时，只 有一个交点； 若x1x2>0,则直线与双曲线的两个交点在一支上； A≠0， 若x1x2<0,则直线与双曲线的两个交点分布在两支上. ②当 时，有两个交点。 △>0 重难拓展 敲黑板⊙ 重难点①与双曲线渐近线有关的性质 1.已知双曲线的方程，则渐 1.双曲线的渐近线是描述双曲线无限趋近但永不相交的直 近线的方程确定；反之，已知渐 线，具有独特的几何特性， 近线的方程，双曲线的方程不确 渐近线方程与双曲线方程的关系如下表：◆敲黑板。 定，但可以用统一形式表示. 如：已知渐近线的方程为y 双曲线方程 对应的渐近线方程 x2 y2 a26=1 m工，则双曲线的方程（共渐 b2 =0y=±6 0y=±名 近线的双曲线系)可设为 m Q? 62 y =AQ≠0). m.x2-y2=1(mn>0) ny2=0台y=土 m n x(mn-0) 2.等轴双曲线 Ax2-By2=C(AB>0,C≠0) A (1)实轴与虚轴等长的双曲 Ax2-B)y=0=y=±√Bx(AB>0) 线叫等轴双曲线，其标准方程为 2.与渐近线有关的特征 苦1即-y y2 )特征1：如图1，双曲线1的焦点到渐近线的距离 (2)等轴双曲线曰离心率 e=√2台两渐近线互相垂直. 为b,Rt△OMF2三边分别为a,b,c. 其中初中学习的反比例函 2特征2：如图2过双曲线名上任意一点P作两 数y=是≠0)地是等轴双曲线 x 条渐近线的平行线，分别交两条渐近线于A,B两点，则□AOBP 3.直线与双曲线的交点个 数可结合渐近线，运用数形结合 的面积为定值学 的方法讨论，具体情况如下 120 第三章圆锥曲线的方程通 如图1，P是平面内双曲线 渐近线所夹区域(I)内一点，双 曲线渐近线的斜率分别为k1, 一k1(k1>0).已知过，点P的双 曲线的切线12，l3的斜率分别为 图1 图2 2,k3,过点P的直线l的斜率 3.渐近线对直线与双曲线位置关系的影响 为k,如图2. ①当k>k2或k<k:时，l 通过几何图形也可判定直线与双曲线的位置关系，一般通过 与双曲线无交点； 直线与渐近线的位置关系进行判断（图1、2、3中α为渐近线的倾 ②当k=士k1或k=k2或 斜角，0为直线1的倾斜角). =k3时，l与双曲线有一个交点； 如图1,0=α时，直线1只与双曲线一支相交，交点只有一个； ③当k1<k<k2或kg< 如图2,0>α时，直线l只与双曲线一支相交，交点有两个； <一k1时，1与双曲线的一支 交于不同的两点； 如图3,0<α时，直线1与双曲线两支都相交，交点有两个. ④当一k1<k<k1时，l与 双曲线的两支相交 图 图2 图3 例口巴知双曲线岩 =1(a>0,b>0)的右焦点为F,若 过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交 点，则此双曲线离心率的取值范围是 解析若过，点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交 点，则该直线的斜率小子等于渐近线的斜率的绝对值名，“≥厅， ∴。2-=1+伯)≥4，故比双演线高心率的取值范周是[2，十∞)。 答案[2，十∞). 例巴(2025·浙江名校联考)（多选）已知双曲线C:x2一 3 =1,F1,F2分别为其左、右焦点，O为坐标原点，过F1作直线1 与双曲线两支和两条渐近线交于4个不同点，从左到右依次为A, B,C,D,则下列选项正确的是(). A.|AD|>2 B.AB=CD C.若∠OBF1=90°，则|CB=2 D.若|F2A=|F2D|,则川AD=4 121 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA 解析由过焦点的弦长公式可知AD>2a=2,故A正确. 拓视野⊙ (x=my-2, 若直线y=kx十m(m≠0) 设直线l的方程为x=my-2(m>0),联立 x?-y 得(3m2 1, 与双曲线之y a36产=1(a>0,6>0) 1)y2-12my+9=0,则△=(-12m)2-4×(3m2-1)×9=36m2+36>0, 的两条渐近线分别交于A(x1, y1),B(x2,y2)两点，此时可把 12m 且yA+n一3m'AD中点的纵坐标为 6m 3m2-1 两条渐近线形成的折线组合图 形看成曲线，则直线与曲线位置 (x=my-2, 2--0.得3mr-Dy2-12my-12=0, 关系的判断方法也适用于此 又由 30, 曲线 y=kx十m(m≠0)， a十c一3mnBC中点的纵坐标为m 12m 3m2-1 如：由x2y2 a26=0 :AD与BC的中点都在直线L上，且yB十Yc=yA十yD 消去y得(b2-a2k2)x2 2 2 2a'kmx-a'm2=0. ∴.AD与BC的中点重合，即|AB=CD|,故B正确， b2-a232≠0， 当∠OBF1=90°时，可知F1B|=b,|OB|=a,∴.k1=tan∠BF1O= 当△=(2a2km)2+ 时， |OBL=4=1≠3，故C错误. 4a2m2(b2-a2k2)≠0 BF6 3 |AB|=√1十b2|x1-x2|= 设|DF2|=|AF2=n,由双曲线定义知AF1|=n-2a,|DF1|=n十 √I+k2 ④ b2-a2k2,B·kar 2a,∴.|AD|=DF1|一AF1l=4a=4,故D正确.◆拓视野D 答案ABD a(P为AB的中点，可用点 差法证明)， 重难点2双曲线定义的拓展→敲黑板。 1.双曲线的第二定义 敲黑板) 1.双曲线第二定义与椭圆 p =e,e>1,F年l,其中F为定点，l为定直线，e为 第二定义类似，要求也参照椭圆 (见椭圆第二定义). 离心率，d为点P到直线l的距离（其中F为左焦点时，1为左准 2.对于双曲线的第二定义， 定点F为曲线的焦，点，称对应 线x=一名F为右焦点时，1为右准线x-Q). a 的直线1为准线，且 左焦点 左准线 2.椭圆与双曲线几何性质的统一性 F(-c,0) l:z=-a2 因为椭圆与双曲线的定义中都涉及两定点，且方程中都有几 右准线 右焦点 何意义的参常数α，b,c,所以椭圆与双曲线有许多类似性质， F(c,0) 例③已知F1,F2为椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的 下焦点 下准线 一个公共点，∠F1PF2=60°，则椭圆与双曲线离心率之积的最小 F(0,-c) 值为(). 上淮线 上焦点 F(0,c) l:y=a A2√5 B.1 D.2 122 第三章圆锥曲线的方程通 解析方法一设PF1=m,PF2=n(m>n), 拓视野⊙ 椭圆的长半轴长为a1,离心率为e1,双曲线的实半轴长为a2,离心率为 1.共焦点的双曲线与椭圆 e2,两曲线的半焦距均为c, 离心率之间的关系 由椭圆及双曲线的定义得m十n=2a1,m一n=2a2,于是m=a1十a2, 如图，设∠F1PF2=0,则 ,8 n=al-a2 c0s22 =1(e1,e2分别 在△PFF2中，由余弦定理得 为椭圆与双曲线的离心率) m2+n2-2 nncos60°=4c2台(a1+a2)2+(a1-a2)2-(a1+a2)(a1- a)=4c2,则af+3ag-4c3,所以1+3 4, 由张本不等式得4司十学2 eie→ee 3 2 2.焦点三角形与离心率之 且仅当，5时，号成立 间的关系 所以指圆与双曲线高离心率之积的最小值为 2·◆场视野为 方法三公式法)不坊设椭圆的方程为。什疗1(>6，>0，双曲 线的方程为2y sin(a+B) sin(a+B) 9aig=1(a2>0,b2>0」 e,= sin a+sin B e=1sina-sin间 由题意知a-b=a十b2=c2, 又SaF,R=btan∠FPE b经 2 ∠F1PF2' tan 2 .btan230°=b,即b=3b2, a-c2=3(c2-a),即a+3a号=4c2. 以下同方法一 答案C 培优突破 突破点（① 双曲线的第三定义及垂径定理敲黑板 双曲线的第三定义：{P|kPAk PB=e2一1，e>1,其中kPA,kPB 敲黑板⊙ 1.结论2的证明(“点差法”) 分别表示点P与两定点A,B连线的斜率，为离心率}（此时确定 设A(x1,y1),B(x2,y2） 的双曲线不包含两个顶点，且焦点在x轴上). (x1≠x2,y1≠y2), 结论1如图1，设A,B分别是双曲线1a>0,6>0 盟-1 a2 b2 由 得x 的左、右顶点，P是双曲线上不与A,B重合的任意一点，则4· 1=1， a2 la2 b2 kPB= B2 →广（第三定义的解车积 =y1-y 62 推论1结论1中A,B是双曲线的左、右顶点，可将其推广 y.y十2= 为双曲线上关于原点对称的任意两点，如图2，只要直线PA,PB x1-x2x1十x2a9 123 用重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA 62 的斜率都存在，就仍满足kPA·PB= 即点a·kaw一 . [说明](1)此结论把 结论2如图3，AB是双曲线与1a>0,b>0)的条 kAB、AB中点的坐标和e三者联 不与坐标轴垂直且不过原点的弦，M为AB的中点，则AB·飞oM 系起来，知二求一 (2)有关中点问题和涉及 一。→（中点猎斜年和 62 x1十x2,y1十y2等问题常优先 采用“点差法” 推论2如图4，若把A,B两点换到两条渐近线上，只要AB (3)当双曲线的焦点在y轴 不与坐标轴垂直且不过原点，M为AB的中点，则AB·OM 6 上时，应把结论中的换成 2. a2. 2.推论2的证明 指论9如医4，者一条直线分别与双自线一 设A(x1,y1),B(x2,y2) =1(a>0, (x1≠x2,y1≠y2), b>0)及渐近线从左到右（或从下到上）分别交于C,A,B,D四个 (xi yi a2b21 =0, 点，则AC=BD.当AB垂直于坐标轴时，此结论也成立 由 得x xi y [说明]图2与图3所对应的结论是可以互相转化的.如图5， a26=0, 因为OM∥AB',所以kAB·AB=kAB·kOM= 业=0， b2 .1二y2.y十y2=b2 米派 x1x2x十x2a2' 即kAB·kaM a2. 图4 图5 例目1)已知A,B,P为双尚纹一若-1上不同的三点， 且满足PA+PB=2PO(O为原点)，直线PA,PB的斜率分别记 为圆好十气的最小值为 2已知双曲线名.1(Q>6>0)的一个焦点为F(5 0),过点N(2,0)作直线L与双曲线交于A,B两点，AB的中点为 M(3,6),则双曲线的方程为 解析(1)（由题意知O为AB的中点，所以A,B两点关于O对称，根据双曲线第 124 第三章圆锥曲线的方程排 三定义斜率积为定值可得k1与2的关系式，再结合不等式可以求出最值) PA十PB=2PO,∴.O为AB的中，点，即A,B关于原点O对称」 根据双曲线第三定义斜率积的结论，可知A·阳=，2= a24, 好经≥2-4 当且仅音好-华中 k1=√2，k1=一√2， 或 时取等号， k2=2√2k2=-2√2 十的最小维为 (2)由双曲线中点弦斜率积的结论，可知kAB·kaM= a2- kau-kw一392=6，km- 6 3=2, 2 又e2-a+6=3，a2-高6-8 13 双面线的方粒为号一器一1 329 答案1%.2只-景=1 式0(2025·湖北七市州调研)已知双曲线C:x2-=1 3 的左、右顶点分别为A,B,点P是双曲线C上在第一象限内的 点，直线PA,PB的倾斜角分别为a,B,当2tana十tanB取最小值 时，△PAB的面积为 BAI110101111011111110111101111111011111100010111110110111101 食关键能力提升 11M0B1011111010100110011011010101000111111110110101110110111 题型（①求双曲线的标准方程 a 2 b 3 /a2、32 例⑤求满足下列条件的双曲线的标准方程： 得 9 41 (1)以直线2x士3y=0为渐近线，过点 a262=1, 62=8. (1,2)； 故所求双曲线的标准方程为。之 (2)F1,F2是双曲线的左、右焦点，P是双 28-1. 曲线上一点，且∠F1PF2=60°，S△P℉，E,=12V3, 方法二由题意可设所求双曲线的方程为4x2一 且离心率为2. 9y2=入（入≠0），将点(1,2)的坐标代入方程解得入= 解析(1)方法一[可以通过，点(1,2)与渐近线的位 -32. 置关系来判定双曲线的食，点位置] 故所求双曲线的标准方程为 x2 ,点(1,2)在第一象限且在直线2x一3y=0的上方， 32 81. ∴.双曲线的焦点在y轴上. 9 可设双南线的方程消-若-1o>06公≥0小 (2)方法一 设双曲线的标准方程为之y a262=1 125 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA。 (a>0,b>0),由题意知F1F2=2c,e=C=2,由双 答案C a y2 曲线的定义，得|PF1|-PF2=2a=c. 例口已知双曲线C:3=1(a>0 由余弦定理得(2c)2=|PF1I2+|PF212 b>0)的左顶点为A,若以点A为圆心、以b为 2PFPF2|cos/F PF2=(|PF-PF2)2+ 半径的圆与C的一条渐近线交于M,N两点， 2PFPF2(1-cos/F PF2), 且OM=-3ON,则C的离心率为(). .4c2=c2+|PF1I|PF2. 又SA-PF,60=]25. A.√2 B.√3 e D.2/ 解析双曲线的一条渐近线方程为bx十ay=0, ∴.|PF1I|PF2|=48, ,A(-a,0), .3c2=48,.c2=16, ab ∴.a2=4,b2=12. ∴.，点A到bx十ay=0的距离d= ab √a2+b2c 故所求双曲线的标准方程为二 412-1 如图，过，点A作ADMN于点D,则D为MN 的中点， 方法二由题意可得 e=C=2, ∴.|DN|=√62-ADz= c2 a S△PF,F2=tn30o三12√3，解得4， 62 、 62=12. c2=a2十b2, 故所求双曲线的标准方程为 y2 4121. 题型(2求双曲线的离心率或范围 OM=-30N,..IDNI=2IODI, IOD=DNI 例6已知F,F2分别为双曲线多- 2 b2 在Rt△AOD中，AD|2+|OD|2=|OA|2, 1(a>0,b>0)的左、右焦点，P为双曲线左支 b2Q262 1PF2|2 上任意一点，若PF 的最小值为8a,则双曲 =a2, 化简得4a2b2十b4=4a2c2, 线离心率e的取值范围是( ) .62 A.(1,+∞) B.(0,3] ∴.4a4=b4, =2, C.(1,3] D.(1,2] 解析设P(xP,yp),由双曲线的定义有|PF2 e1+(-. IPF,=2a,所以PE,=|P,+2a,从而PE 答案B PF 规律总结 PF+2a》-1PF,++4如≥8a,当且仅 4a2 求双曲线离心率的方法 PF c2 (1)求出a,b,c的值，根据e2= a2+b2 当PF1|=2a时等号成立.因为|PF1|≥c一a,所以 a 2a≥c一a,所以3a≥c,所以e3.又e>1,所以e∈ a直接求e. 1+ (1,3]. 126 第三章圆锥曲线的方程辑 (2)列出含有a,b,c的齐次方程（或不等式）， 消去y,得2x2-4x十3=0， 借助于b2=c2一a2消去b,然后转化成关于e的方 其中△=一8<0，这说明直线MN与双曲线不相 程（或不等式）求解 交，故不存在被点B平分的弦。 建立关于a,b,c的齐次方程（或不等式）时，要 例⑨(2025·江西临川一中月考)已知双 充分利用双曲线的几何性质、三角形的边长关系等. 曲线Cc2一)。1(a≥0，b≥0)的一条渐近线 题型(3直线与双曲线的位置关系 例⑧(2026·湖北武汉六中检测)已知双 方程为x一√2y=0,焦点到渐近线的距离为1. 曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线的方程为 (1)求双曲线C的标准方程与离心率； =士x,且过点P停以. (2)已知斜率为-专的直线1与双曲线C (1)求双曲线的方程. 交于A,B两点，且A,B两点均在x轴上方，O (2)是否存在被点B(1,1)平分的弦？如 为坐标原点，直线O1,0B的斜率之积为日， 果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在， 求△OAB的面积， 请说明理由。 解析(1)由题意知焦，点(c,0)到渐近线x一√2y= 解析(1)因为双曲线C的焦，点在坐标轴上，其渐 近线的方程为y=土√2x,所以可设双曲线的方程为 0的距离为后=1，则c=3. 3 Aa≠0)，将(，1)代入此方程可解释1 2 因为一条渐近线方程为x一√2y=0, 1,故所求方程为x2- 所以-2 2 =1 21 (2)设存在被点B平分的弦MN,M(x1,y1), 又因为a2+b2=3,所以a=√2，b=1. N(z2,y2). 所以双曲线C的标准方程为)32=1，离心率 则x1十x2=2,y1十y2=2, -=1,① e=c-36 a√22 且 (2)由题意可设直线1的方程为y=一 2x+t ①-②得(x1十x2)(x1-x2)- 2y1+y2). (t>0),A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2>0. V= (y1-y2)=0, 2x+t, 联立 消去y,得x2+4tx一4(t2+ ∴ka=1二头=2， -y2=1, ℃1一x2 2 故直线MN的方程为y一1=2(x-1). 1)=0,则△=16t2+16(t2+1)>0, [y-1=2(x-1), 所以x1十x2=-4t,x1x2=-4(t2+1). 由 lz2-y 21, 由ka·koB-义.y2 127 :甜重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA （-t+(-t） 规律总结-一 (1)解决关于直线与双曲线位置关系的问题 T172 时，有时利用数形结合思想，有时利用方程思想.根 2Cx1十x2)十2 据直线的斜率与渐近线的斜率或某切线的斜率的 x1x2 关系来判断直线与双曲线的位置关系会比较快捷， 2(-4)+2 (2)解决直线与曲线的综合问题时，要注意： ①观察题设中的每一个条件，明确确定直线、曲线 -4(t2+1) 8 的条件；②强化有关直线方程与曲线方程联立得出 解得t=1或t=-1(舍去). 一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的 所以x1十x2=-4,x1x2=-8, 关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题 故直线1的方程为y= 2x+1, 家9卫知双出线C名1ab 令x=0,得y-1,记D(0,1) 则|x1-x2|=√(x1十x2)2一4x1x2=√16十32 b>0)过点A(4√2,3)，且焦距为10. =43, (1)求双曲线C的方程； 所以△OAB的面积S=号1OD1(z+x:) (2)已知点B(4√2，一3)，D(2√2,0)，E 为线段AB上一点，且直线DE交C于G,H 20D1lx-x=×1×43=23, GDHD 两点，求证：GE IHET· 1EB1111001001111110101111101111111110111111111111011111111101101011111110111 核心素养聚焦 11 考向(1 利用几何性质求双曲线的方程 屏得应P的坐排为后》， 四2023·天洋落)双曲线名 2ac 4+a2 √ 则kpF1一 ,解得a=√2 1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.过 a2c 4 点F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P,已 4+a2+c 知PF,=2直线PF,的斜率为，则双曲 所以双曲线的方程为。y =1. 4 答案D 线的方程为( A. B y2 考查内容 核心素养 试题难度 -=1 =1 84 48 利用双曲线的几 数学运算、逻辑推理 ★★★☆☆ 何性质求方程 -=1 -=1 4 考向(2 双曲线几何性质的应用 解析由PF2=2知b=2,则可设双曲线的一条渐 2 例11(2025·全国二卷)（多选）双曲线 近线方程为y= a,直线PF,的方程为y= 2(x y 2 y C, C:a2-6 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别 c),联立 为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,以F1F2 (x-c), y=一 2 为直径的圆与C的一条渐近线交于M,N两 128 第三章圆锥曲线的方程辑 点，若∠MA1N-,则( 则4-2-a2_36-a2 0 =5,解得a=4, a a A∠A,MA:=8 所以e=C=3 B.|MA1|=2|MA2 C.C的离心率为√13 例13(2023·新课标I卷)已知双曲线 D.当a=√2时，四边形A1MA2N的面积 CC-1(Q>0,b>0)的左、右焦点分别 为83 为F1,F2.点A在C上，点B在y轴上，F1A⊥ 解析由对称性不妨取斜率为正的渐近线LMN: y一名x,因为MO==c,则易知M(a,b), F:B,F2A= 号r,i,则C的离心率为 又A1(一a,0),A2(a,0), 解析依题意得F1(-c,0),F2(c,0),令A(xo, yo),B(0,t), 则MA,LAA2,∠AMA2=π-∠NA1M= 6 A正确 因为F-号F应 在R△A,MA:中，MA,-21Agl,B错说 所以(x0一c,yo)= 3（-c,t), 5 因为am/AMA,会-点， 则x0=3cy0=一34 因为F1A⊥F1B, 所以e= ,b2 a √1+a-13,C正确 所以FA·FB-(c,-子)c,)=c 当a=2时，Sa4,=2X号MA:MAe- 2ab=8√3，D正确. 则t2=4c2. 答案ACD 例回(2021·全国1卷)设双曲线C: 又点A在双尚线C上，则 2-62=1, v? =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1, 整理得25c242 9a2 962-1, F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B 则25c216c 9a2 9b2 =1, 两点.若|F1A|=13,AB=10,则C的离心 所以25c2b2-16c2a2=9a2b2,即25c2(c2-a2) 率为 16a2c2=9a2(c2-a2), 解析由题意得AF2=|BF2|=5,|F1A=13, 整理得25c4-50c2+9a4=0,则(5c2-9a2)(5c2- 则|F1F2=2c=√132-5=12，则c=6. a2)=0,解得5c2=9a2或5c2=a2. 又当x=c时若=1e2-a2+6,则y-2 c2 y2 又e>1,所以e=35 或e 写（舍去）， 所以1AB1=21y=2 -=10, 故e=3v6 a 129 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA 答案3 此时△=(2×45)2-4×45×61=-4×45×16<0， · 所以直线AB与双曲线没有交，点，故B错误」 考查内容 核心素养 试题难度 对于C,可得=3，AB=3,则AB:y=3x,由双 双曲线的几何性质 数学运算、逻辑推理 ★★★★☆ 曲线方程可得a=1,b=3,则AB:y=3x为双曲线的 渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误 考向③直线与双曲线的综合问题 例14(2023·全国乙卷)设A,B为双曲 对于D.6=4kaw=是则ABy-号x-子联 线云一-若=1上的两点，下列四个点中可为线 y=9,7 4x-4 立方程 消去y得63x2+126x-193=0, 段AB中点的是( ). 9=1, A.(1,1) B.(-1,2) 此时△=1262+4×63×193>0，故直线AB与双 C.(1,3) D.(-1,-4) 曲线有两个交点，故D正确. 解析设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB的中点 答案D M色士，)，授克线OM的鲜率为， 例15(2023·新课标Ⅱ卷)已知 2 双曲线C的中心为坐标原点，左焦点 y1+y2 可得=1二2，k= 2=y1+y2 为（一25,0），离心率为5. x1一x2 x1十x2x1十x2 2 (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点 因为点A,B在双曲线上，则 (一4,0)的直线与C的左支交于M,N两点， 点M在第二象限，直线MA1与NA2交于点 9 两式相减得(xi一》-。足=0， P.证明：点P在定直线上 9 解析1D这双曲线的方程为&岩=1(@>0> 所以加·k=行兰=9. x7-x号 b>0),由焦点坐标可知c=2√5， 对于A,可得k=1,kAB=9,则AB:y=9x一8，联 则由e=￡=5可得a=2,b=√c2-a=4, [y=9x-8, 立方程 2-=1,消去y得72x3-2×72x+73=0. =1, 故双曲线C的方程为-少 9 4161. 此时△=(-2×72)2一4×72×73=-288<0， (2)方法一由(1)可得A1(-2,0),A2(2,0),设 所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误 M(x1,y1),N(x2,y2),显然直线的斜率不为0，所以 对于B可得友=一2，k=-》,则AB:y 设直线MN的方程为z=my一4，且-<m<号，与 95 y=- 2x-2 之-义=1联立可得(4m2-1)y2-32my+48=0,且 416 9 吕，联立方程 消去y得 32m 2y2 91, 4=64(4m2+3)>0,则y1+y:=4m2-?1y2= 48 45x2+2×45x+61=0, 4m2-1' 130 第三章圆锥曲线的方程通 直线MA的方程为y=干2十2)，直线 4x-2》2+16z-2).y-x-2》-y2=0, 6 NA,的方程为y一2红-20， 整理得3y2一8t(x-2)y-4(x-2)2=0, 联立直线MA1与直线NA2的方程可得 令”2，上式可化为3谈2-80k-4=0, x+2_y2(x1+2)y2(my1-2) x-2y1(x2-2)y1(my2-6) 66 _my1y2-2(y1+y2)+2y 设M(x1,y1),N(x2y2), myiy2-6y1 则灰u2M=2 48 32m 4m21-2· m· 4m2-1 +2y1 48 kk-g=一青 4n27-6y1 又由双曲线的定义知kMM,飞M1=4, + kNA2 1 1 :·kAy 3 4n27-6, 48m 3, 设P(xyo), 由之+2 3可得x=-1,即xp=-1, yo x-21 x0-2。x0+21 yo x0-2 3, 据此可得点P在定直线x=一1上运动. x0+2 方法二（齐次化）设直线MN的方程为x=ty一 .x0=-1,即xp=-1, 4,即y-（x-2=1, 点P在定直线x=一1上. 6 考查内容 核心素养 试题难度 又由号-盖-1+2-盖后-1得 4 直线与双曲线的位置关系数学运算、逻 ★★★★☆ 4(x-2)2+16(x-2)-y2=0, 及双曲线的第三定义 辑推理 131所以点M的锐迹方程为号苦-1] M. F F O F 图1 图2 &（10油双前线方程x2-苦-1可知a=1,6-5,所以c=2。 故F1(-2,0),F2(2,0).若点M在y轴上，且点M是线段 PF1的中点，则点P的横坐标为2. 当x=2时，4一3=1，得y2=9, 由于点P在第一象限，所以y=3, 故点P的坐标为(2,3) (2)设P(m,n),m>0,n>0,则m2_ 31, ① 又OM与PF,垂直，F(-20M(,）, 2 所以koMk PF,=m-2 m+2=1, ② 2 联立0@解科m号a-号，师P(停，名)。 3 所以直线PF:的方程为y= 2(x十2)， √ 2+2 即3x-(W7+4)y+6=0. 培优突破练 1.(1)(条件给出河流沿岸PQ上任意一点M到A的距离比它到B的 距离远2km,这意味着河流沿岸的曲线是双曲线的一支，故考虑建 立平面直角坐标系，求出该双曲线的方程，并用来证明问题的结论) 取AB的中点O,以O为原点建立如图1所示的平面直角坐 标系，则A(一2,0)，B(2,0). 北 东 M B p 图1 因为MA|-|MB|=2<AB|=4,所以河流沿岸曲线PQ 是以A,B为焦点的双曲线的右支. 可设其方程为号-茶-1a>0.6>0.则 2a=2, c=2, 所以a=1,b=√c2-a2=√3， 河流沿岸曲线Q的方程为x-苦-1x≥。 48 设M(xo,yo),xo≥1，则|MB|=√/(x0-2)2十y, 1 直线1的方程为x=2,所以点M到l的距离d=x。一2， 故 1W(x0-2)2+y8 ① 1 x0一2 (观察发现式于①中y0只有平方项，故考虑消y) 因为M在曲线PQ上，所以x8--1, 3 故=38-3，代人①得M=-2)2+3z6-3 d x0一2 V4x6-4xo+1 =2 1 1 x0一2 x0-2 x0一2 所以点M到点B的距离与点M到直线l的距离之比为定 值2. (2)由题意得，修建两条公路的总费用为25MB|十50MC, (无法由图直接看出M在何处时，总费用最小，注意到上式中|MB 与MC系数之比为1：2，这一比值恰好可以用第(1)问的结论来调 节为1：1，故先借此将系数之比调整为1：1，再作观察) 由(1)可知MB|=2d,其中d是M到直线l的距离， 所以25MB|+50|MC|=50(d+|MC), 如图2，过点C作CD⊥L于点D,交曲线PQ于点M。, 当M与M重合时，d+MC取得最小值，且最小值为CDl. (下面求CD,可过C向x轴作垂线来分析) 作CE⊥x轴于点E,由题意得∠CBE=90°-30°=60°， |BC=2, 所以|BE|=|BC|·cos∠CBE=2cos60°=1， 从而1OE1=|OB|+|BE|=2+1=3,故|CD|=|OE|一 合号，所以d+Mca=号 故修建两条公路的最小总费用为50×号-125万元 北 3 0 B Q 图2 3.2.2双曲线的简单几何性质 变式训练 [变式1]26.[设P(xo,y0)(y>0),因为A,B分别为双 曲线Cx2兰1的左、右顶点，所以ana·tanP=k4P 62 -a=3,又tana·tanB>0,所以2tana+tang≥ 2√2tana·tanB=2,W6,当且仅当2tana=tanB-√6时，等 号成立此时有第六所以=3，所以S 3·2a·%=7×2×26=26.] [变式21油已奥相号是=1,2v后+不=10 故a=4,b=3. 所以双满线C的方程为后苦-1 (2)设E(42,),则1<3，且1≠3y2 21 设G(x1y1),H(x2,y2),直线DE:y= 6-32. 6=,5x-22. 2√2 由 x2 y2 (16-9=1, 得(9-2t2)x2+8√2t2x-16t2-144=0, 8V2t2 16t2+144 所以x1十x-9x12 2t2-9 则GD.HE-GE.Di=(22-x1,-y)·(4W2-x2t y2)-(4W2-x1,t-y1)·(x2-2W2,y2)=2ax1x2+2y1y2 62a+)-0+计2=(2+)-(3+ 62)(z1+x2)+42+32=42+8)(2+9)_4虹2(32+24 2t2-9 2t2-9 +4t2+32=0, 所以励.成-成即品肥 基础过关练 1.C2.C 3ACD[m>n>≥0,0品<分，方程mr+y2=1可 变形为兰+兰-1，该方程表示焦点在y上的椭 n 圆，故A正确. :m=n>0,.方程mx2十y2=1可变形为x2+y2= 1 该方程表示半径为，一的圆，故B错误 ,mm<0,.该方程表示双曲线， 令ad+w=0,则y=士厂贤故C正确 ,m=0,n>0,.方程mx2十ny2=1变形为ny2=1,则 y=士，一该方程表示两条直线，故D正确] y=(x-2), 4.D[方法一联立 x2-y2=2, 消去y得(1一2)x2+ 4k2x-4k2-2=0. 因为直线1与双曲线C的左、右两支各有一个交点，所以方 程(1一k2)x2十4k2x一4k2一2=0有一正一负两个根， 11一k2≠0， 所以-42一2<0，整理得1一>0，解得-16<1 1-k2 所以飞的取值范围为一1<k<1. 方法二因为直线y=(x一2)恒过定点A(2,0),则过点A 作两条直线11，l2分别平行于双曲线的渐近线（如图）.由图 及渐近线的性质知，当直线1在阴影区域内运动时，符合题 意，所以-1<k<1.] 6令一。一上，由双曲线的实轴在轴上知其焦点在x轴 上，直线3x一4y+12=0与x轴的交点坐标为（一4,0），故 双曲线的一个焦点为（一4,0），即c=4. 设等轴双曲线的方程为x2-y2=a2(a>0), 则c2=2a2=16,解得a2=8, 小双情线方程为-y=8即听-苦-1门 6.√3.[（涉及双曲线上的点A与双曲线上关于原，点对称的P,Q的 连线斜单之积，想到第三定义斜率积结论) 由第三定义斜率积结论得Ak0一， Q2, 又由题意得如=2，所以-2，放2a==-4, 化简得C的离心率e=￡=3.] 7.(1)由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程 兰2=1《4一。，60)互a—2 因为双陆线益-若1的离心率为：-√十积-，所以 6416 台-号9，解得-6 故6=公一口-1，所以双商线的方程为号-y=1 (②)由题意知a=4,当双曲线的焦点在x轴上时，有白=与 a 4 -号得6=6， 所以双线的方程为后菊-1： 当双曲线的焦点在)箱上时，有号-合-号得6=号 所以双通线的方程为站-至一1 9 综上所述，双陆线的方程为后-盖-1皮站言-1 9 49