3.2.1 双曲线及其标准方程-【重难点手册】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第三章圆锥曲线的方程通 3.2 双曲线 3.2.1 双曲线及其标准方程 重点和难点 课标要求 重点：双曲线的定义、标准方程， 1.理解双曲线的定义 难点：双曲线的形成及标准方程的推导， 2.掌握双曲线的标准方程 11111111111111111111011111101111111111011011011111111101111110010310111111111 必备知识梳理 111111011110111111111111101011111111101111101111011011111111111111011110111111 基础梳理 知识点（①双曲线的定义◆明题密0 明概念⊙ 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常 条件 结论 数（小于|F1F2)的点的轨迹叫作双曲线，这两个定点叫作双曲线 0<2a< 动，点M的轨迹是 F F2 双曲线 的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距 动，点M的轨迹是 (1)距离的差要加绝对值，否则只有双曲线的一支，若F1,F2 分别以F1,F2为端 2a=FF2 分别表示双曲线的左、右焦点，有两种情形： 点，指向F1,F2所 在直线两侧的射线 ①若点P满足|PF2|一|PF1|=2a(a>0),则点P在左支 动点M不存在， 2a>F F2 上，如图1. 因而轨迹不存在 动，点M的轨迹为 2a=0 线段F1F2的垂直 平分线 记方法@ (1)这里双曲线的“标准方 图1 图2 程”指的是焦点在坐标轴上，且 ②若点P满足|PF1|-|PF,=2a(a>0),则点P在右支 中心，点为坐标原点的双曲线 上，如图2. 方程 (2)双曲线的定义可用集合语言表示为： (2)双曲线标准方程的结构 P=(MMF-MF2=2a,0<2a<FF2). 特征： ①右边是“1”，左边中间为 知识点2双曲线的标准方程◆方法 “一”号； j? ②x2的系数为正，则焦点 标准方程 =1(a>0,b>0) b2 =1(a>0,b>0) 在x轴上，y2的系数为正，则焦 点在y轴上，所以在已知双曲 线标准方程的情况下，x,y2谁 图形 的系数为正数，焦点就在对应的 坐标轴上，其分母就是a2」 111 用重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA 续表 记方法@ 焦点位置 x轴上 y轴上 1.共焦点双曲线方程的设法 焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) 1)与椭圆之 "a2 6=1(a 焦距 |F1F2=2c b>0)有公共焦点的双曲线方程 3y2 相同点：大小、形状相同，a,b,c>0,且c最大，满足c2=a2+ 2+入62+a-1(-a2<< 为 异同点 b2,是轴对称与中心对称图形： 个62)；与椭圆2士63 =1(a> 不同点：焦点位置和坐标不同 b>0)有公共焦，点的双曲线方程 重难拓展 为y2 a2+a62+a=1(-a2<< 重难点1 椭圆方程与双曲线方程的统一形式 -b2). =1既可以表示椭圆又可以表示双曲线。 (2)与双曲线2y a b=1(a m 0,b>0)有公共焦，点的双曲线方 (1)当方程表示椭圆时，m,n应满足m>n>0或n>m>0. 程为 a2+λb2-入 =1(-a2< (2)当方程表示双曲线时，m,n应满足mn<0.当m>0,n<0 时，方程表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0,n>0时，方程表 入Cb);与双曲线少_之2 a26=1 示焦点在y轴上的双曲线。 (a>0,b>0)有公共焦，点的双 y2 y2 x2 不确定焦点的位置，则也可设双曲线的方程为， 曲线方程为。十入一入=1 (-a2<1<b2). 1(AB<0)或Ax2一By2=1(AB>0).◆记方法 2.求双曲线的标准方程的 例D①)求过点P3,》).Q(-5且焦点在坐标箱上的 方法 (1)定义法：由题目条件判 双曲线标准方程. 断出动，点轨迹是双曲线，确定 2a,2b或2c,从而求出a2,b2. (2)若双曲线25-k9一 =1的焦距为46，求的值. (2)待定系数法：“先定型， 解析(1)设双曲线的方程为Ax2-By2=1(AB>0) 再定量”，如果焦点位置不好确 点P,Q在双曲线上， 定，可将双曲线方程设为 m 9A-25B=1, 1 16 A=一16 元=Q≠0)，与双曲线罗y」 解得 a26= 2g0A-25B=1 1(a>0,b>0)有公共焦，点的双 y2 曲线方程可设为 x? 故双曲线的标准方程为》之 2+λb2-λ 9161. 1一a2三入b2)与双曲线。 (2)此方程要表示双曲线，则(25一k)(9一k)>0, =1具有相同渐近线的双曲线 y2 .(k-25)(k-9)>0,.k>25或k<9. (,c2=a2十b,涉及a与b,∴必须确定分母的正、负，后面需分情况讨论) 当<9时，25-k>0,9-k>0,.焦点在x轴上，由25一k十9一k= 方程可设为 3y2 26=1(0≠0). (2√6)2，解得=5，符合要求. 112 第三章圆锥曲线的方程通 y2 x2 当>25时，25-k<0,9一<0，方程可化为—9k一25=1. k-9+k-25=(26)2, 解得k=29,符合要求. 综上所述，k=5或k=29, 培优突破 突破点（①与双曲线焦点有关的性质+题黑题 敲黑板D 部分性质的推导 如图，P是双曲线- =1(a>0,b>0)上任意一点，F1, a (1)|PF1I F2分别是双曲线的左、右焦点，当点P,F1,F2不在同一条直线上 =√(x十c)+y 时，它们构成一个三角形一 焦点三角形 =a,+o+-1 =√后6+2cx+a fr.ta =lexo十al. (1)坐标型焦半径公式，设P(xo,yo),e= 当点P在右支上时，ezx。十 a a>0; exo十a(P在右支)， 当点P在左支上时，exo十 则|PF1l=eco十a= -(exo十a)(P在左支)， a<0. 1 exo-a(P在右支)， IPF2|=lexo-al= (2)S△PF1P2= 2mnsin a-exo(P在左支)， 1 2b2 F21=c0s0sin0 所以当P在右支上时，PF2∈[c-a,十o∞)，|PF1|∈[a+ c,十∞)， =b2. 2sin 2cos2 当P在左支上时，|PF2|∈[a十c,+o∞)，|PF1|∈[c-a,十o∞). 2ar号 (2)设∠F1PF2=0,PF1=m,PF2=n, b2 由余弦定理得4c2=m2+n2-2 nn cos0, tan 2 ∴.4c2=(m-n)2+2n(1-cos0)=4a2+2mn(1-cos0), p时，pFn0 2b2 b2 :.mn 1-c0s0' ∴.S△PF1F2 2 mncos 0.sin tan 2 Cos 0 62 2 mnsin0=S△ps1f2, 即S△PF1F2 gP:tan 0. .S△PF1P2= 69 tan 2 、0 tan 2 ③通度型焦半径公式，当A,B是双曲线-1左支上两 2PF..PF.tan 0. 点（同一支上），F1为左焦点，如图，设∠AF1O=Q,AB过点F1, (3)设AF1=n,则AF2 113 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA =n十2a,由余弦定理得n2十 n 4c2-2n·2 ccos a=(n十2a)2, b2 .'.n= a十ccos a, b 即AF1= a++ccos a 62 b2 则①|AF1|= a+ccos a'BF1= a-ccos a'AB= 同理，BF1=a-ccosa 2ab2 2b2 u2-c"cos a∈ ②令1AF1|=λF1B|,e=C(双曲线离心率)， 62 A62 则 1-入 a+ccos a a-ccos a →e cos a= 1十λ 0<λ<1)， 即e,cosa,焦比入知二可以求一 例②(2026·江苏天一中学检测)如图，已知F1,F2分别是 双脂线C,号y2=1的左，右焦点，过点：的直线1与双曲线C 的右支交于A,B两点，则△AFB的周长的最小值为 解析由双商线C:写-y°=1可知a=反6=1， .|AF1-AF2=2a=2√2， |BF1|-IBF2=2a=2√2， ∴.(AF1|+BF1I)-(|AF2|+|BF2)=4W2, ∴.|AF1|+|BF1I=|AF2+|BF2|+4V2=AB|+4√2， ,△AF1B的周长为AF1|+|BF1|+|AB=2|AB|+42, .当|AB|最小时，△AF1B的周长最小， .当AB⊥x轴时，△AF1B的周长最小，最小值为2AB|十4√2=2× 空+4g=8x21+43-62 2 答案6√2. ®0双曲线，2-音-1的左，右熊点分别为F,F·双曲 线上的一点P满足∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范 围为 114 第三章圆锥曲线的方程 关键能力提升 题型（①双曲线定义的应用 归纳总结 当题目中涉及双曲线上的，点到两焦点的距离 例日(1设P是双南线。 20 =1上一 时（有时只涉及一个焦点，也把另一个焦点纳入思 点，F1,F2分别是双曲线的左、右焦点，若 考)，常联系双曲线的定义及有关焦点的性质公式， 再结合图形的几何特性（如勾股定理、双余弦、中线 |PF1=9,则|PF2|等于 长公式等)来解决问题. 2)设双曲线C:x2二名16>0)的左 题型(2与双曲线有关的轨迹方程 右焦点分别为F1,F2,过F1的直线分别交双 例④[回归教材P127T5]如图1，圆O的 曲线左、右两支于点M,N,连接MF2,NF2, 半径为定长r,A是圆O外一定点，P是圆O 若MF2·NF2=0,|MF2|=NF2|,则b等 上任意一点.线段AP的垂直平分线1与直线 于(). OP相交于点Q,当点P在圆O上运动时，点 A.1 B.√2 C.√3 D.2 Q的轨迹是什么？为什么？ 解析(1)|PF1|=9<a十c=4+6=10, (点P只能在左支上) .PF2-|PF1l=2a=8,.lPF2=17. Q (2)设|MF2|=t(t>0),结合题意得|NF2=t, lMN|=√2t, 图1 结合双曲线的定义可得MF2一|MF1|=2 解析如图2，当P在P1点时，因为1为AP的垂 (第一次用双曲线的定义) 直平分线，所以Q1A|=Q1P, 则MF1=t-2. .|Q1O-|Q1A|=|OQ1|-|Q1P1|=|OP11 又由双曲线的定义可得NF-|NF,=2 =r. (第二次用双曲线的定义) 又r<OA|,此时点Q1的轨迹是以点O,A 则√2t十t一2-t=2,解得t=2√2， 为焦，点的双曲线的一支（靠近A的一支） 所以NF1I=|MN|+|MF1|=2+2W2, P |NF2|=2V2,∠F1NF2=45° 在△F1NF2中，由余弦定理得|F1F2 =√(2+22)2+(2√2)2-2×(2+2W2)×2W2×cos45 =√12+8√2+8-8-82 图2 如图2，当P在P2点时，同理，|Q2P2|=|Q2A, =23, ∴.lQ2A|-|Q20|=|Q2P21-|Q2Ol=|OP2] 所以c=√3，则b2=c2-a2=3-1=2, =r. 即b=√2. 又r<OA,∴.此时Q2的轨迹是以点O,A 答案(1)17.(2)B 为焦点的双曲线的一支（靠近O的一支）. 115 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA 综上所述，点Q的轨迹是以，点O,A为焦点的双 题型③与双曲线有关的最值问题 曲线。 例6(1)(2026·湖北荆州中学月考)P 深挖教材 椭圆与双曲线的定义的关系 为孜曲线x1右支上一点，M,N分别 (1)与教材P115的第6题作类比分析发现：当 是圆(x+4)2+y2=4和(x一4)2+y2=1上的 点A在圆外时，点Q的轨迹是双曲线；当，点A在圆 点，则PM一PN|的最大值为 内时，点Q的轨迹为椭圆.引起不同的原因在于半 ②)已知F1,F,分别为双曲线-号 =1 径r与OA的大小，即a与c的大小. (2)若涉及与两个定点相关的轨迹或轨迹方 的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A 程问题，不妨优先思考是否满足椭圆或双曲线的 在双曲线的右支上，则AP|+|AF2|的最小 定义 值为(). A.√37+4 B.37-4 例5已知圆O1:（x一2)2+y2=4,圆 C.√37-2√5 D.√37+25 O2:(x十2)2十y2=1,动圆M与圆O1,O2都 解析(1)双曲线的两个焦点F1(一4,0)，F2(4,0) 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 分别为两圆的圆心，且两圆的半径分别为r1=2,r2= 解析（条件涉及圆M与圆O1和圆O2都外切，可先接 1,易知PMmx=|PF1|+2,|PN|ma=|PF2|-1, 国心距等于半径之和来翻译，再作观察) 故|PM-IPN|的最大值为|PF1|+2-(PF2| 由题意知，圆O1的圆心为O1(2,0),半径r1=2, 1)=|PF1|-PF2|+3=2+3=5. 圆O2的圆心为O2(-2,0),半径r2=1. (2)因为AP|+|AF2|=AP|+IAF1-2W5, 设圆M的半径为r,因为圆M与圆O1,圆O2都 所以要求|AP|十|AF2|的最小值，只需求|AP|十 MO1|=r1+r=2+r,① |AF1|的最小值. 外切，所以《 |MO2=r2十r=1十r.② 如图，连接F1P交双曲线的右支于点A0.当点A (所求为点M的轨迹方程，故考虑消去与M无关的r,观 位于点A,处时，AP|十|AF最小，最小值为|PF1|= 察发现将两式作差，就能消去T) √3-(-3)]+12=√37」 由①-②得MO1-MO2|=2+r-(1+r)=1< 1O102=4, P3.1) 所以点M在以O1,O2为焦点的双曲线的左支上， 在该双曲线中，2a=1→a=2,c-2, 所以62=-a=公-（》-5 故|AP|+|AF2|的最小值为√37-2√5. 答案(1)5.(2)C 例7若直线l过圆M:(x一4)2+y2=1 4 的圆心，且与圆相交于A,B两点，P为双曲线 即4--<-》 义=1右支上一个动点，则PA·PB的最 97 答案红若-1（≤》 小值为 解析如图，因为AB的中点为M(4,0),且|MA 116 第三章圆锥曲线的方程通 =|MB=r=1,所以PA·PB=|PM|2-|MA|2= 8。十9有爱小值，且最小值为6X3-8X3+9=1, 1PM2一1.（极化恒等式） ① 故PMm=1,结合①得(PA·PB)m=12- (只需求|PM的最小值，因为M不是焦，点，不要错认为 1=0. PM⊥x轴时取最小值，应该用坐标列出PM的目标式) 设P(xoyo),则|PM=√(xo-4)+y. ② 9一7=1的右支，所以照 因为点P在女y 9 7 =1, 故=7-7红≥3》，代入②得 9 答案0. 16x6-8xr十9. ®武2已知双曲线C:=1(a>0, 二次函数y-16-8z十9的开口向上，对称轴为 9 b>0)的右焦点为F(2√6,0)，点A的坐标为 9 x04’ (0,1),点P为双曲线左支上的动点，且 △APF的周长不小于18，则实数a的取值范 因为x≥3>号，所以当，=3时，y 16x 9 围为 核心素养聚焦 考向1双曲线定义的应用 故Sa4=2 IPF,lPF.=号×6=8 例8（经典·全国I卷）设F1,F2是双曲 方法二设F1,F2分别为双曲线C的左、右焦 点，则由题意可知F1(-2,0),F2(2,0), 线Cz2一之1的两个焦点，0为坐标原。 又IOP|=2,所以|OP|=|OF=|OF2. 点P在C上，且|OP|=2,则△PF1F2的面积 所以△PFF2是直角三角形. 为( 62 an45=3(其中0= 3 所以SAPF1E2= 0 A号 c tan B.3 D.2 2 ∠F1PF2). 解析方法一由条件a=1,b=3,得c= 答案B √Ja2+b2=2,则|F1F2=2c=4, 考查内容 核心素养 试题难度 又1oPl=2=2lFFa 数学运算、逻 双曲线的定义及几何性质 ★★☆☆☆ 辑推理 所以△PFF2是以P为直角顶，点的直角三角形. 于是得PF112+|PF212=|F1F212=16. 考向(2 求双曲线的标准方程 又由双曲线的定义得|PF1|一|PF2|=2a=2, _y2 两边平方得|PF1I2+|PF212-2PF1|· 圆日2021·天津卷双曲线君7 |PF2|=4. (a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.P是 所以|PF1I|PF2|=6. 双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2. 117 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA。 △PFF2是面积为8的直角三角形，则双曲线 S房=号PF·PF=8, 的方程为( ). A号 y2 .|PF2|=22,|PF1|=4√2，|F1F2|= =1 841 √PF12+PF2平=2√10， c号-1 D.4-8=1 .2c=2w10,2a=|PF1|-PF2l=2W2, .c=√10，a=√2，.b2=c2-a2=8, 解析：kpr2=2,tan∠PFzF1=2. △PF1F2为直角三角形，点P在双曲线的右 双南线的方程为号-苦1 支上， 答案C iRR-0,-2 考查内容 核心素养 试题难度 .IPF1=2|PF21, 双曲线的标准方程数学运算、逻辑推理 ★★★☆☆ 1183.2双曲线 3.2.1双曲线及其标准方程 变武训练 [度式(-，-u(, .[(条件给出LF1PF2为纯角， 想到接cosLF1PF2<0翻译，需排除∠F,PF2=T的情况，下面先 算出cos∠F1PF2) 在△PF1F2中，由余弦定理推论，cos∠F1PF2= PF,2+PF,2-FF,<O,所以PF,I2+PF23 2PF1·1PF2 |F1F2I2<0. ① (涉及PF,和PF2,所求又为点P横坐标的范围，想到用焦半径 公式表示PF:|和PF2,代入不等式①) 因为a=1,b=√3，c=2,e=2,|F1F2=4,所以由焦半径公 式得|PF1|=|2xp+1,|PF2=|2xp-1|,代入①得|2xp+ 1P+12,1-<0怎得复<号 又xp≤-1或xP≥1，且当xp=士1时，∠F1PF2=π，不合 题意，所以”的取值花围是(-号，-U(,号)] [变式2][4,26).[由右焦点为F(26,0),点A的坐标为 (0,1),可得|AF1=√24+I=5. 因为△APF的周长不小于18，所以PA|+|PF|≥13. 设F2(一2√6,0)为双曲线的左焦点，可得|PF|=|PF2|+ 2a,PA+PF=PA+PF,++2a, 当A,P,F2三点共线时，PA+|PF2|+2a取得最小值， 最小值为lAF2|+2a,即5+2a, 所以5+2a≥13，即a≥4.又a<c,所以4≤a<26.] 基础过关练 1.A[如图，设双曲线的左焦点为F1, 连接MF. M ,O,N分别是线段F1F2,MF2的中 点，ON=21ME, 又MF2-|MF1=2a=10,∴.MF1=MF2|-10= 18-10=8,.ON|=4.] 2.C[(条件涉及双曲线上的点P到右焦，点的距离，想到利用双曲线 的定义求点P到左焦点的距离) 设双曲线C的左右焦点分别为F1,F2,在双曲线C:25 41中，a2=25,结合a>0可得a=5,因为PF |PF211=2a=10,所以|PF1|-|PF2|=士10，故|PF1|= PF2±10.又|PF2|=19,所以|PF1=19±10=29或9. 因为c=√25+144=13，所以|PF2=19≥c十a=18,从而 点P可能在左支或右支，故两个解都可取.] 46 aA0[年6若-1表示双商线，a十608-X0> 0,解得-6<入<3，故A正确， 由A项可得-6<λ<3，故λ十6>0,3一λ>0，.C的焦点 只能在x轴上，故B错误 设C的半焦距为c(c>0),则c2=λ十6十3-1=9，.c= 3,即焦距2c=6,故C正确， 实轴长为2√+6，-6<<3，.0<2√+6<6， ∴.实轴长为(0,6)，故D错误.] 4.3.[由题意可知a=1,b=3,c=√a2+b=2,且|P℉1|- |PF2=2,设|PF2=m≥c-a=1,则|PF1=m+2,可得 |PF1|·|PF2|=m(m十2)在[1，十o∞)上单调递增，所以当 m=1时，PF1·PF2|取得最小值3.] 5号-苦-1[由题意可设r1(-e,0,R6c,0c>0 因为A(W3,1),所以AF1=(-c-3,-1),AF2=(c-√3， -1),因为AF1·AF2=0,所以AF1·AF2=3-c2+1=0, 31 解得c=2.又因为a2一=1， 解得a2=b2=2,所以双曲 b2+a2=c2, 线C的标准方程为号-苦-1] 6.(1)因为a=b=1,c=√a2+b=√1十I=2, 所以双曲线的焦距|F1F2=2c=2√2. 由双曲线的定义得|PF1|-|PFzl1=2a=2, 结合|PF1=2PF2可得|PF1|=4,|PF2=2, (已知△PF1F2的三边，想到用余弦定理推论求cOs∠PF2F1) 由余弦定理推论得 osPFF=PF+EF-PF 2·PF2IIF1F2 =4+8-16=-巨 2X2×2W2 4Γ1 所PE,R=是 (2)在双曲线C中，a2=4,b2=5,所以a=2,c=√a2+b=3, 由双曲线的定义得|PF1|-|PFzl1=2a=4. ① (如图，题千涉及∠FPF2的角平分线，又有FQ=2F,Q,联想 到可用角平分线定理研究PF,与PF2的比值) 因为PQ平分∠F1PF2,所以由角平分线性质定理， PF. 结合①式可求得|PF1|=8,|PF2=4. 又F1F2=2c=2X3=6, 所以△PF1F2的周长L=PF1|+|PF2+|FF2|=8+ 4+6=18.