2.5.2 圆与圆的位置关系-【重难点手册】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA 2.5.2 圆与圆的位置关系 必备知识梳理 基础梳理 知识点(1 圆与圆的位置关系及判定方法划重点。 相切 相离 位置关系 相交 外切 内切 外离 内含 图示 交点个数 2 1 1 0 0 几何 r1-r2< 法 d=ri+r2 d=ri-r2 d>r+r2 d<ln-r2 判定 d<r+r2 方法代数 △>0 △=0 △=0 △<0 △<0 法 知识点2两圆的公共弦 当两圆相交时，两个交点连线的线段叫公共弦， 1.两圆公共弦所在直线的方程 设圆C1:x2+y2+D1x+E1y十F1=0, ① 圆C2:x2+y2+D2x十E2y+F2=0. ② 若两圆相交，则它们有一条公共弦，由①一②，得(D1一D2)x +(E1一E2)y+F1一F2=0,此即公共弦所在直线的方程 (只有当两圆方程中二次项系数相同时，才可以直接用两圆方程相减求公共弦所在 直线的方程) ◆敲黑板匀 2.两圆公共弦长的求法 (1)代数法 求出公共弦所在直线的方程，将公共弦所在直线的方程与其 中一圆的方程联立消元，解出两交点的坐标，再利用两点间的距离 公式求出公共弦长。 (2)几何法 将两圆的方程作差得到公共弦所在直线的方程，利用其中一 个圆的圆心和半径，求得该圆心到公共弦所在直线的距离，即弦心 距，在弦心距、弦的一半和半径构成的直角三角形中，利用勾股定 80 11111111111111111111H1111111111111111111111 划重点 (1)当r1=r2时，两圆不会 出现内切或内含的情况，若两圆 的圆心距d=0且r1=r2,则两 圆重合 (2)利用代数法判断两圆的 位置关系时，当方程无解或只有 一解时往往还得重新用几何法 来进一步确定，不如直接运用几 何法简便，并且用几何法判断的 结果是唯一的，因此实际解题时 要优先选用几何法 (3)用代数法得到方程组无 解或只有一组解时，也可以将其 中一个圆的圆心坐标代入另一 个圆的方程中，通过判断此圆心 在另一圆的圆内还是圆外，从而 得到两圆确切的位置关系 (4)d为两圆的圆心距，r1、 r2分别为两圆半径，△为联立 两圆方程消去一个未知数后的 一元二次方程的根的判别式 敲黑板⊙ 设两圆的交点分别为A(x1, y1),B(x2,y2),则点A,B同时 在圆C1和C2上，它们的坐标都 满足①和②，自然也满足(D1一 D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2) =0,两点定一线，所以③就是公 共弦AB所在直线的方程 理可以求得弦的一半，进而得到公共弦长， 知识点③两圆的公切线 两圆的公切线是指与两圆都相切的直线，可分为外公切线和 内公切线 两圆的位置关系与公切线条数的关系 修记方法回 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 公切线条数 4 3 2 0 图示 0Q。 重难拓展 重难点（① 圆系方程 例①[回归教材P98T8]求圆心在直线x一y一4=0上，并且 经过圆x2+y2+6.x一4=0与圆x2+y2+6y一28=0的交点的圆 的方程 解析设经过圆x2+y2十6x一4=0和圆x2+y2+6y一28=0的交点 的圆的方程为x2+y2+6x-4十λ(x2+y2+6y一28)=0，即(1十λ)x2+ 1+0y2+6x十6心y-4一28=0，共周心坐标是(-7) 3入 3 3λ 因为圆心在直线x-y一4=0上，所以有一入十，一4=0，解得 λ=一7.所以，所求圆的方程为x2+y2+6x一4-7(x2+y2十6y-28)=0, 即x2+y2-x+7y-32=0. 深挖教材 圆系方程 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程。 常见的圆系方程有以下几种： (1)同心圆系方程：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0). (a,b为定值，r为参数) (2)半径相等的圆系方程：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) (a,b为参数，r为定值) (3)过直线Ax+By十C=0与圆x2十y2+Dx十Ey+F=0的交，点 的圆系方程：x2十y2十Dx十Ey十F+λ(Ax十By十C)=0(入∈R). (4)过两圆C1:x2+y2+D1x十E1y十F1=0与C2:x2+y2+D2x十 E2y十F2=0的交点的圆系方程：x2十y2十D1x+E1y十F1十入(x2十 y2十D2x十E2y十F2)=0(入≠-1).（其中不含有圆C2,因此注意检验圆C2是 否满足题意，以防漏解)心提个醒回 第二章直线和圆的方程 记方法@ 两圆公切线方程的确定 (1)当公切线的斜率存在 时，可设公切线的方程为y=kx 十b,由公切线的意义（两圆公共 的切线)可知，两圆心到直线 y=kx十b的距离分别等于两圆 的半径，这样得到关于和b的 方程组，解这个方程组得到k,b 的值，即可写出公切线的方程」 (2)当公切线的斜率不存在 时，要注意运用数形结合的方 法，观察并写出公切线的方程。 (3)两圆外（内）切时，两圆 方程相减消去二次项得到的直 线方程，是两圆的内（外）公切线 方程。 提个醒过 当入=一1时，方程变为 (D1-D2)x+(E1-E2)y+F 一F2=0,表示过两圆交，点的直 线.（当两圆是同心圆时，此直线 不存在；当两圆相交时，此直线为 公共弦所在直线；当两圆相切时， 此直线为两圆的公切线；当两圆 外离或内含时，该直线满足从直 线上的任意，点引两圆的切线所得 切线长相等) 81 用重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA 重难点2数形结合的应用 记方法@ 例2(2025·浙江温州中学期中)已知动点P(x,y)满足 (1)求圆O上一点到圆外 一点P的最大、最小距离： x2+y2一x|一|y|=0,O为坐标原点，则|PO|的最大值是 d max=lOPI+r, dmin=lOP|-r. 解析知图，方程x2+)2-z一y=0可以转化为(1x-)十 (2)求圆上的，点到与圆相离 的某条直线的最大、最小距离： (-)}'-?,所以动点P(红y)的轨迹为原点和四段圆弧 设圆心到直线的距离为m, 当点P为原，点O时，|PO川最小，且|POm=0. 则dmx=m十r,dmm=n一r. (3)已知某点的运动轨迹方 由于对称性，仅考虑国孤(x-2)+(0-2)=2(r≥0y≥0)， 程是(x-a)2+(y-b)2=r2,求 显然，当点P为(1,1)时，POmx=√2.◆记方法@ y,y一 ,x2+y2等式子的最 x'x-n 值，一般运用几何法求解 答案√2. 关键能力提升 题型（①圆与圆的位置关系 答案C 1.位置关系判断 2.圆与圆位置关系的逆向应用 例3已知圆C1:x2+y2一4=0，圆C2:x2 例④已知圆C:(x十3)2十(y-4)2=4. +y2一4x+4y一8=0，则两圆的位置关系是 (1)若直线11过点A(-1,0),且与圆C (). 相切，求直线L1的方程； A.外离 B.外切 (2)若圆D的半径为3，圆心在直线L2: C.相交 D.内切 x一y十2=0上，且与圆C外切，求圆D的方程 解析（判断两圆的位置关系，先计算圆心距，再与半径的 解析(1)（容易判断点A在圆C外，求过点A的圆C 和、差进行比较) 的切线可设斜率，结合点A写出切线的方程，用圆心C到切线 x2+y2-4=0台x2+y2=4,所以圆C1的圆心 的距离等于半径建立方程求所设斜率，但需单独考虑斜率不存 为C1(0,0),半径r1=2, 在的情况) x2+y2-4x+4y-8=0台(x-2)2+(y+2)2= 由题意，圆C的圆心为C(一3,4)，半径r1=2,当 16,所以圆C2的圆心为C2(2,一2)，半径r2=4, 直线11的斜率不存在时，其方程为x=一1， 所以圆心距d=|C1C2|=√(2-0)2+(-2-0)2= 点C到l1的距离d=|-3-（-1)|=2=r1,所 22, 以直线11与圆C相切，满足题意， 又r1十r2=2+4=6,r1-r2=2,所以|r1-r2 当L1的斜率存在时，设l1的方程为y=k(x十1)， <d<r1十r2,故圆C1与圆C2相交. 即kx一y+k=0, ① 82 所以，点C到直线4的距离d=·（一3)一4+b √2+(-1)2 =12+4 √2+1 因为直线11与圆C相切，所以d=r1,故 26十-2，解得友=一，代入D化简得3x十句十 √R2+1 3=0. 综上所述，直线l1的方程为x=一1或3x十4y十 3=0. (2)(如图，已有圆D的半径，求其 方程只差圆心，已知圆心D在直线l 上，故可根据L2的方程将圆心D的坐 标设为单变量形式，翻译圆C与圆D对 D 切就能建立关于所设变量的方程) 由题意，直线L2的方程可化为y=x十2，点D在 l2上，所以可设，点D(a,a十2)， 则有|CD|=√[a-(-3)]+(a+2-4)2= √2a2+2a+13, 因为圆C与圆D外切，且两圆的半径分别为 r1=2,r2=3, 所以|CD=r1+r2,即√2a2+2a+13=2+3,解 得a=-3或2， 所以圆心D的坐标为（一3，一1）或(2,4)， 故圆D的方程为(x十3)2+(y+1)2=9或(x一 2)2+(y-4)2=9. 题型2两圆的公共弦问题 例5(2025·河南郑州外国语学校期中) 若圆O1:x2十y2一2x=0和圆O2:x2+y2十 2x一4y=0的交点为A,B,则下列结论正确的 是(). A.公共弦AB所在直线的方程为x十y=0 B.线段AB的垂直平分线的方程为x十 y+1=0 C公共弦AB的长为3】 ,第二章直线和圆的方程 D.P为圆O1上一动点，则点P到直线 AB的距离的最大值为号+1 解析由题意知，两圆相交于A,B两点，故两圆 方程作差可得4x一4y=0,即x一y=0,即为两圆公 共弦AB所在直线的方程，故A错误. 圆O1:x2+y2-2x=0,则其圆心为(1,0)，又 B=1,则线段AB的垂直平分线的斜率为一1，故线 段AB的垂直平分线的方程为y一0=一(x一1)，即x 十y-1=0,故B错误， 11-01 圆心O1到直线AB的距离d= √12+(-1)2 ，圈0的半径，=1， 2 2 所以|AB|=2 /1- 、2/ =2,故C错误 圆心O1到直线AB的距离d= 11-0l_√2 √1+(-1D22’ 圆O1的半径r=1,则，点P到直线AB的距离的 最大值为+1，故D正确， 答案D 题型③两圆的公切线问题 1.两圆公切线的条数问题 例6若圆C1:x2十y2一2x一m=0与圆 C2:x2十y2+4y十m=0恰有2条公切线，则 m的取值范围为(). A.(0,4) B.(-1,4) C.(-1,0) D.[0,4) 解析圆C1:x2+y2-2x一m=0台(x-1)2+ y2=1+m, 圆C2:x2+y2+4y十m=0台→x2+(y+2)2=4-m, 则1C1C21=√1十4=√5,1十m>0,4-m>0, ,两圆恰有2条公切线，∴.圆C1与圆C2相交， ∴.l1+m-√4-m|<5<√1+m+√4-m, 解得-1<m<4,∴.m的取值范围为(-1,4). 答案B 83 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA 解题通法 判断两圆公切线条数的基本思路 先判断两圆的位置关系，再由位置关系确定公 切线的条数：(1)两圆内切时，有1条公切线；(2)两 圆外切时，有3条公切线；(3)两圆相交时，有2条 公切线；（4)两圆内含时，无公切线；(5)两圆外离 时，有4条公切线. 2.求两圆公切线的方程 例7已知圆O:x2+y2=1,圆C: (x一3)2+y2=4,则圆O与圆C的公 切线方程为 解析如图，两圆圆心分别为O(0,0),C(3,0),半 径分别为r1=1,r2=2, 所以圆心距|OC引=3=r1十r1,故两圆外切，且切 点为(1,0)，因此两圆有图中11，l2,l3三条公切线. (显然图中11的方程是x=1,我们把另外的l2和l3也求 一下，观察发现2,3关于x轴对称，它们交于x轴上一点P, 故只需求出其中一条即可，不妨求L2,怎么求？可以到△POA 和△PCB中来分析) 如图，由2与两圆分别切于A,B两点可得 ∠OAP=∠CBP=90°，所以△POAD△PCB,故 IPOOA 1 PCICB2' 所以O为PC的中点，从而|PO川=OC引=3，故 P(-3,0),所以|AP|=√PO2-OA=2√2，故 l,的斜率k=tan∠APO=|OA=1=2 APT2√24 所以直线，的方程为y一0= 4[x-(-3)],整 里得y导+3 由对称性可知，l2与13关于x轴对称，所以13的 斜率为一2 4 故直线l3的方程为y一0=- 2 4[x-(-3],整 84 理将y-是3只 综上所述，圆O与圆C的所有公切线为x=1, y-+8w-号32 4x- 4 答案=1-号+3吗=号。39 4x- 41 3.求两圆公切线的长 例8(2026·湖南师大附中月考)已知 ⊙0：x2+y2=1与⊙C:(x-5)2+y2=16,若 直线1与⊙O,⊙C分别切于相异的A,B两 点，则AB|= 解析⊙O的圆心O(0,0),半径r1=1, ⊙C的圆心C(5,0),半径r2=4. 因为|OC引=5=r1十r2,所以⊙O与⊙C外切. 当直线1的斜率不存在 B 时，直线l与⊙O,⊙C切于 F A 相同的点，不符合要求. 显然直线1的斜率存在 且不为0. 根据对称性，不妨设直线L的斜率为>0，如图 所示， 连接OA,CB,过点O作OF⊥CB,垂足为点F, 可知四边形OABF为矩形，且|OA|=|BF|=1, CF|=CB-BF=3. 在Rt△OCF中，IOC|=5,可得|OF|= √OC2-CF2=4,所以|AB=|OF1=4. 答案4. 题型（④基于两圆位置关系的最值问题 例⑨已知圆C1:(x十2)2十(y-1)2=1, C2:(x-2)2+(y-3)2=4,M,N分别是C1, C2上的动点，则MN|的最小值为 解析圆C1的圆心为C1(-2,1),半径r1=1,圆 C2的圆心为C2(2,3),半径r2=2, 所以C1C2|=√[2-(-2)]+(3-1)2=25> r1十r2,故两圆外离，如图1. (涉及两个动点，可考虑先取定一个，这里M,N都是圆上 的动点，取定哪一个都行，不妨取定，点M) 对圆C1上任意的点M,当点N在圆C2上运动 时，总有|MN|≥|MC2|-r2=|MC2|-2, ① 取等条件是N为线段MC2与圆C2的交点. (故只需再看MC2的最小值，此时只有，点M在圆C1上 运动了，接圆上动，点到圆外定，点距离的最值模型处理即可) 1MC2|≥|C1C2|-r1=|C1C2|-1,结合①得 1MN|≥|C1C2|-1-2=|C1C2|-3-2W5-3, 取等条件是M,N分别为线段C1C2与两圆的交 点，如图2中的M。和N。,所以|MN|的最小值为 2√5-3. y N M C C M 图1 图2 答案2√5-3. 变式0若圆01：x2十y2=1与圆02： (x-a)2+(y-b)2=9(a,b∈R)有且仅有2条 公切线，则|3a一4b十5的取值范围为(). A.[0,5) B.[1,5) C.[0,25) D.[5,25) 题型⑤与圆有关的定点、定直线、定 圆问题 1.定点问题 例10对任意实数m,圆x2+y2-2mx 4my十6m一2=0恒过定点，则其坐标为 解析方法一x2十y2-2mx一4y十6m一2=0， .x2+y2-2=(2x+4y-6)m, 令+y-2=0解得=1, x= 5 2x十4y-6=0, y1或 定点的坐标是1,1D或（号，）】 方法二（特值法）分别令m=0,m=1可得 x2十y2-2=0, x=- x=1, 5 解得 或 -2x一4y十4=0，y=1 7 ,第二章直线和圆的方程 此即定点坐标1,1D减号，)。 答案1,1D减（号，》】 2.定直线问题 例11在平面直角坐标系Oxy中，已知定 点A(-4,0),B(0,-2),半径为r(r>0)的圆 M的圆心M在线段AB的垂直平分线上，且 在y轴右侧，y轴被圆M截得的弦长为√3r. (1)求圆M的方程. (2)当x变化时，是否存在定直线1与圆 M相切？如果存在，求出定直线L的方程；如 果不存在，请说明理由. 解析(1)设圆心M(a,b),由题意可知， 3 r+a2-r2, 解得 2r, a= a>0, b=r十3， (a+4)2+b2=a2+(b+2)2, 所以圆M的方程为(。一之) 十(y-r-3)2=r2. (2)假设存在定直线1与圆M相切，当定直线1 的斜率不存在时，显然不合题意， 当直线l的斜率存在时，设直线l:y=kx十b,则 =r对r>0恒成立， √k2+1 由（停一+6-3=r中得（修一刂 +(k-2)(b-3)r+(b-3)2=(1+2)x2, (修-=1+， 所以 (k-2)(6-3)=0, (b-3)2=0, 4 k=0,.k= 解得 或 3 b=3 6=3, 所以存在两条定直线y=3和4x十3y一9=0与 圆M均相切. 3.定圆问题 例四已知点P(-2,3-》,Q(0,2) 85 用重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA (t∈R,t≠0)，是否存在圆心在x轴上的定圆 或(t2-1)x0-4t2=-r-rt2. ② M,使得对于任意的非零实数t,直线PQ恒与 由①可得(xo-r-4)t2-x0-r=0对任意t∈ 定圆M相切？如果存在，求出圆M的标准方 R,t≠0恒成立，则有 |x0-r-4=0, 程；如果不存在，请说明理由. 一x0-r=0, 解析假设存在圆心在x轴上的定圆M与直线 解得 x0=2, 与r>0矛盾，舍去 PQ恒相切. x=-2, 设圆M的方程为(x一xo)2+y2=r2(r>0), 由②可得(x0十r一4)t2-x0十r=0对任意t∈ 由P,Q两点坐标易得直线PQ的方程为(t2一1)x R,t≠0恒成立， +2ty-4t2=0. 则有 x0十r-4=0 (t2-1)x0-4t2 -x十=0, 解得2， r=2, 因为直线PQ和圆M相切，则 √(t2-1)2+4t 所以存在与直线PQ恒相切的定圆M,圆M的 =r,整理得(t2-1)x0-4t2=r十rt2, ① 标准方程为(x一2)2十y2=4. 1111i111ii ★核心素养聚焦 11111111 考向（①圆与圆的位置关系 (-1,-号)，在12上取-点(-1,0， 例13（经典·新高考全国I)写出与圆 x2+y2=1和(x一3)2+(y一4)2=16都相切 该点关于y= 3x的对称点为(x0y), 的一条直线的方程 y04.x0-1 2=32 解析如图，圆x2十y2 则 yo 3 =1的圆心坐标为O(0,0), (x0十1 4 半径r1=1, 2 圆(x-3)2+(y-4)2= 解得对称点为（层 5 16的圆心坐标为C(3,4),半 244 径r2=4. 25+37 .k13= 7 26+1 24 |OC=r1十r2,两圆外切，由图可知，与两 圆都相切的直线有11，l2,l3三条， 7 x子，直线的斜率为一星，设1： 则l3:y= x+D)号 即7x-24y-25=0. 、3 x+b,即3x+4y-4h=0, .与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都 由-1，解得6子（负值合去)，则14：3江 相切的一条直线的方程为x=一1（填3x十4y-5= 5 0,7x-24y-25=0都正确). +4y-5=0. 答案x=-1(填3x+4y-5=0,7x-24y-25 由图可知，l2:x=-1,l2与l3关于直线y=3x 4 =0都正确). 对称， 考查内容 核心素养 试题难度 x=一1， 考查圆与圆相切时公切线 逻辑推理、 联立 4解得l2与13的一个交点为 ★★★☆☆ 32, y= 方程的求解 直观想象 86D错误.] 5.11或-9.[已知圆C的方程为x2-2x十y2-2my十2m一 4=0,化为标准方程得(x一1)2+(y-m)2=(m一1)2+4. 当m=1时，圆C的半径最小为2，即面积最小，所以当圆C 的面积最小时，圆的方程(x-1)2+(y-1)2=4,圆心C(1, 1),半径r=2.因为直线l:3x一4y十a=0与圆C相切，所 以圆心C(1,1）到直线1的距离3一4+a=2,解得a=11 √9+16 或-9.] 6.(1)由题意，切线斜率存在 可设切线方程为y-1=k(x十1)，即kx-y十k十1=0， 则圆心M到切线的距离d=3k+1 =1 Wk2+1 解得=0度子， 故所求切线方程为y=1,3x+4y-1=0. (2)连接PM,AB交于点N,连接AM,设∠MPA=∠MAN =0, AB=2AM cos 0=2cos 0. 1 在RtAMAP中，sin0=PW, 1 :lPM≥3，∴.(sin0)mx=3, 22 4√2 (cos 0)AB (3)设切线方程为y一t=k(x+1),即x一y十k十t=0, PA,PB的斜率为k1,k2, 故圆心M到切线的距离d=36+L-1, √k2+1 得82+6kt+t2-1=0, 6+:=-,k6-g 3 8 在切线方程中令x=0,可得y=k十t, 故ST=|(k1十t)-(k2十t)=k1-k2| =√(k1+k2)2-4k1k2 =2+8 4 2 STImin=2' 此时=0 故ST的最小值为号 培优突破练 1.ACD[圆x2+y2=4的圆心为0(0,0)，r=2. √x-2)+(-号)表示圆上一点(xy)到点A(2, ）的距离，1A01=√2+()=号，所以 √红-2)+(-名)的最小值是A01-7=号-2= 30 合，放A正确圆上一点(，9)到直线3z十y-12=0的距 离为d=13x+4y-12,13z十4y-121=5d,所以求3x+ 4y-l2的最小值，即求dmm,所以dmm即为O(0,0)到直线 3x十4y-12=0的距离减半径，所以O(0,0)到直线3x十 y一12=0的距离为4=号2-号，所以dm=d-7 5 号-2=号，所以3x十4y-12的最小值为5dm=2,故 5 B错误.因为x2+y2=4,所以√5-2z十√13-6y= Wx2+y2+1-2x+√x2+y2+9-6=√(x-1)2+y2+ √x2+(y-3)产表示圆上一点P(x,y)到点B(1,0),C(0, 3)的距离之和，所以PC+|PB≥CB=√+3=√10，故 当P,C,B三点在一条直线上时取等 √5-2z+√13-6的最小值是√10，故C正确.因为x2+ y2=4,所以2√/13-6-√20-8x=2√x2+y2+9-6y √4x2+y)+4-8x=2Wx2+y2+9-6-2Wx+y2+1-2x =2(√x2+(y-3)-√(x-1)2+y2),表示圆上一点 P(xy)到点C(0,3),B(1,0)距离之差的2倍，所以PC一 |PB≤2|BC|=2√1+3=2√10,2√13-6y-√20-8x 上当P,C,B三点在一条直线上时取等 的最大值是2√10，故D正确.] 2.5.2圆与圆的位置关系 变武训练 [变式1们C[由题意可知圆O1(0,0),半径r1=1,圆O2(a, b),半径r2=3.:圆O1与圆O2有且仅有2条公切线， ∴.圆01与圆02相交，∴O02|=√a2十b2∈(2,4)， .点(a,b)在以原点(0,0)为圆心，半径分别为2和4的圆所 夹的圆环内部（不含边界）.又|3a-4b+5|=5× 13a-46+5,.3a一4b+5代表点(a,b)到直线3x- 5 4y十5=0的距离的5倍，圆心(0,0)到直线3x一4y十5= 0的距离为1，.圆环内的点为(a,b)到直线3x-4y十5= 0的距离3a一6+5∈[0,5)，13a-46+5的取值范 5 围为[0,25).] 基础过关练 1.B 2B[把圆C的方程化为标准方程得(x-）十y2=1,则 圆心C(台，0)，半径1=1；把圆C,的方程化为标准方程 得x2+(y-1)2=4,则圆心C2(0,1),半径r2=2.由圆C 与圆C2恰有三条公切线，可知圆C,与圆C2相外切，则 1CC-r十r2,即，/（)）+1=3，解得=士4厄.]