2.5.1 直线与圆的位置关系-【重难点手册】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

5-1:最[圆c的方程可化为[x+(a-1D]+(g一62= -a2-2a+37.当a=一1时，-a2-2a+37=-(a+1)2+ 38取得最大值38，此时圆C的半径最大，面积也最大，此时， 圆心坐标为(2,6)，且圆C的一条对称轴为直线l:mx+ y-6=0(m>0,n>0),故点(2,6)在直线l上，所以2m+ 6n-6=0,即m+3m=3,又，mm ，1。,1+3 3m十n13'm n m n 专m+m)(只+)=号(10+兴+9)≥号(10+ m 2=×受)-所以m 1 n 3m十n13≤6，故3m 的最大值为6] m n 6.(1)当a=4,b=2时，f(x)=x2+4x十2， 令f(x)=x2+4x+2=0,得x=-2±2， 不妨令A(-2十√2,0)，B(一2一√2,0)，则AB=22」 令x=0,得C(0,2) 所以△ABC的面积为S=号×2厄X2=2E, (2)设所求圆的一般方程为x2十y2十Dx十Ey十F=0, 由题意得f(x)=x2十ax+b(a,b∈R,b>0)的图象与两坐 标轴的三个交点即为圆x2+y2+Dx十Ey+F=0和坐标 轴的交点， 令y=0得x2+Dx十F=0,由题意可得，这与x2十ax十b= 0是同一个方程，故D=a,F=b. 令x=0得y2+Ey十F=y2+Ey十b=0, ① 由f(0)=02+a×0+b=b可得方程①有一个根为b, 代入方程①得E=一b一1， 所以⊙M的方程为x2+y2+a.x-(b十1)y十b=0. (3)把⊙M的方程改写为x2+y2-y十ax十b(1-y)=0, x=0, x=0, 令1-y=0, 解得 y=1, x2+y2-y=0, 故⊙M过定点(0,1). 培优突破练 1.(1)(二次函数的图象与y轴必有1个交点，所以要使滚图象与坐标 轴共有3个交点，则它与x轴有2个交点，且不过原点，故按此朝译) 由题意，方程x2十2x十b=0的判别式△=22一4×1×b= 4(1-b)>0,所以b<1, 又当f(x)的图象过原点时，f(0)=b=0, 所以要使f(x)的图象与两坐标轴共有3个不同的交点，应 有b<1且b≠0，故b的取值范围是（一∞，0）U(0,1). (2)(要分析國C是否过定，点，需先求圆的方程，怎么求？不妨先分 析二次函数的图象与坐标轴的交点，其中与y轴的交点容易求得， 我们先求它) 因为f(0)=b,所以f(x)的图象与y轴的交点为P(0,b). 28 (再看f(x)与x轴的交点，若直接令f(x)=0,则会发现解得的结 果较复杂，于是考虑用没而不求的方法处理，我们先没出两个坐标， 再看如何用它们计算有关的量) 设f(x)的图象与x轴的交点为M(x1,0),N(x2,0), 则线段MN的垂直平分线为1：x=1,经过P,M,N三 2 点的圆c的圆心C必在直线1上，所以可设C(色士子，小， (要进一步表示出C的坐标，需要计算x1十x2,可用韦达定理计算) 因为x1,x2是方程x2十2x十b=0的两个不同实根，所以由 韦达定理，x1十x2=-2,故C(-1,t), (圆心有了，再求半径，半径聊为CP) 圆C的半径r=|CP|=√0-(-1)]+(b-t)2 =√1+(b-t)2. (可以想象，由此写出的圆C的方程会有t和b两个参数，不方便分 析圆C所过的定，点，故考虚找（和b的关系，怎么找？如图，可由 CP=CN建立方程，找t和b的关系) 如图，取MN的中点G,连接CG,则CG⊥MN, 所以lGN=号MN1=2-z ① y 由韦达定理推论，1x1一=4二五=26， 1 代入①得|GN=1-b,又|CG=|t|, 所以|CN|=√TGN+1CGz=√-b+t, 因为|CP|=|CN|,所以√1+(b-t)2=√1-b+t2, 化简得-生，所以C(-1,), =G=1+7+②y-62西， 2 故圆C的方程为+1+（生）}_二+5 得x2+2x十y2-(b十1)y十b=0, 所以x2+y2+2x-y十b(1-y)=0. 1x2+y2+2x-y=0, x=0, （x=-2, 令 解得 或 1-y=0, y=1y=1, 所以圆过定点(0,1)和（一2,1）. 2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1直线与圆的位置关系 变武孤练 [变式1们C[圆C的标准方程为(x一1)2+(y十1)2=4，圆心 为(1，一1)，半径r=2,直线1的方程为x十y-m=0,圆心 到直线的距离为d=1+一1)二m=-m=”(m> √1+1平 √2√2 0).因为直线1：x十y-m=0(m>0)被圆C:(x一1)2+ y+1产=4裁得的弦长为巨m,则反m=2,/2-( 2 解得m=2,将m=2代入原方程，验证弦长是否匹配，结果 符合题意.] 基础过关练 1.B[若直线1：ax-by-4=0与圆0：x2+y2=4相离，则点 4 O到直线l的距离d= >2,即a2+b2<4.圆0：x2+ √/a2+b2 y2=4,圆心O(0,0),半径r=2,故|PO|=√(a-0)2+(b-0)2 =√a2+b<2=r,所以点P(a,b)在圆O内.] 2.D[由圆E:x2十y2-4y十2=0的方程，可得圆心坐标 E(0,2),将点P(1,1)的坐标代入圆E的方程，得12+12 4X1+2=0,则点P在圆E上.又e二6与 =一1，所以过 点P与圆E相切的直线的斜率为1，所以过点P的切线方 程为y-1=x-1,即x-y=0.] 3.D[由直线l:x+(1-m)y十m=0(m∈R)可得(1-y)m十 x十y=0,令 1)=0解得=1 所以直线1恒过定点 x+y=0, y=1, P(-1,1),且圆C:x2十y2=4的圆心C(0,0),半径r=2,易 知点P在圆C内.当直线L与直线CP垂直时，AB最小，且 1CP|=√(-1)+1=√2，所以AB|m=2√r2-1CP下= 2√/4-2=2√2.] 4C[由题意，动点P在直线l:x-y-1=0上，圆(x-3)2+ (y+1)2=1的圆心C(3,-1),半径r=1,而点Q在圆C 上，则|PQIm-=|PC|+r,因此(PQ|-|PO|)mx=r十 (PC-|PO|)mx.令点C关于直线l对称点C'(a,b), b+1 a-31 -1, IPC=PC'I,则有 解得a=0,b=2, a+3_61-1=0, 22 即C'(0,2),因此PC1-|PO1=|PC'|-|PO1≤1OC'1= 当且仅当点P,O,C共线，且点O在线段PC'上时取等号 x=0, x=0, 2,直线OC的方程为x=0,由 解得〈 即 y=x-1, y=-1, 直线x=0与直线l交于点P'(0,一1)，所以当点P与P'重 合时，(PC-|POl)mx=2,(PQ|-|POl)mx=1+2=3.] 综合提能练 1.B[对于圆C:x2+y2=1,其圆心坐标为(0,0)，半径r=1. 根据点(xo,yo)到直线Ax十By十C=0的距离公式d= Axo+Byo+C ,可知圆C的圆心(0,0)到直线L的距离 √A2+B d=2X0+0二5-三-5.根据切线长，圆的半径和圆心 √22+12√5 到点P到距离构成直角三角形，设圆心到点P的距离为 d1,由勾股定理可得|PA|=√-r2,当d1取最小值√5 时，|PA|最小，此时|PA=√(W5)2-1=√5-1=√4=2.] 方法总结 根据切线长、圆的半径和圆心到点P的距离构成直角 三角形，圆的半径固定，得出当圆心到，点P的距离最小时， 切线长最小，最后由圆心到直线上点P的最小距离就是圆 心到直线的距离求解 2.A[将圆的方程化为标准式可得(x十√3)2+y2=1,即可知 圆心（一√3,0），半径r=1,根据弦长公式可知，当圆心到直 线的距离最小时，截到的弦长最大，易知圆心（一√3,0）到直 -√31 线x十y·2cos0=0的距离为d= ,由三角函 /1+4cos20 数值域可知，当cos0=1时，dm=-5=√ √5 5,此时弦 长为2--2-哥-2] 3AC[将圆C:x2十y2+4红-y+4 =0化为标准方程(x十 2+(-)°=4，可知圆的圆心为(-2，），半径为2 3x(-2)+2x(2）+m 若直线与圆相切，则 =2,解得 √32+2 m=5士2√13，故A错误.若圆C关于直线1对称，则圆心 C(-2,7)在直线1上，即3×(-2)+2×2+m=0,解得 1 m=5,故B正确.因为弦长4即为圆C的直径长，所以直线 1经过圆心，代入直线方程有一号+1+m=0,所以m=号 1 故C错误.若圆C上有且仅有两个点到1的距离为1，则圆 心C到直线1的距离大于1且小于3，即1< 13×(-2)+2×(分）+m <3,即√13<|m-5<3√13， √/32+22 又m>5,所以5+√13<m<5+3√/13，故D正确.] 4.ABC[由于P是圆C:(x一1)2+(y一2)2=9上的一个动 点，过原点O的动直线与圆C交于M,N两点，所以点O在 圆C(1,2)内，如图. M |OPlx=|OC|十r=√1+4+3=3十5，故A正确.1OP|m r-|OC=3-√5，故B正确.设圆心C到直线MN的距离 为d,则|MN|=2√，2-d=2√g-d.当MN为直径时， dm=0,所以MN|max=2√9-0=6，故C正确.由于OC⊥ MN时，dmax=|OC|=√5，所以|MN|m=2√9-5=4，故 29,第二章直线和圆的方程通 2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1 直线与圆的位置关系 重点和难点 课标要求 重点：运用直线和圆的方程判断直线和圆的位置 1.理解直线与圆的位置关系. 关系 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数 难点：用几何法解决直线和圆的弦长及切线问题， 学问题和实际问题 1AB11I1IN1111111111101110111111111111111111111111111111111011111111111111111 必备知识梳理 1111111111101111111110111110111111111111011111011101111111111111111010111111111 基础梳理 知识点（①直线与圆的位置关系 敲黑板⊙ 直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离： (1)利用代数法判断直线与 判断方法用表格表示如下： 圆的位置关系时，不必求出方程 组的实数解，只需将直线方程代 位置关系 相交 相切 相离 入圆的方程中，并消去一个未知 数，得到一个关于x(或y)的一 图示 d=i 元二次方程，由△与0的大小 d 关系判断方程组解的组数，进一 步判断两者的位置关系。 公共点个数 2 0 (2)利用几何法判断直线与 判定 代数法 △>0 △=0 △<0 圆的位置关系时，必须准确计算 方法 几何法 d<r d=r d>r 出圆心坐标、圆的半径及圆心到 ◆敲黑板 直线的距离。 ①几何法中的d指的是圆心到直线的距离，r指的是圆的半径. (3)对于具体用哪种方法判 断直线与圆的位置关系，应由条 ②代数法指的是联立直线和圆的方程，消去y(或x)后，得到 件而定，若圆心到直线的距离易 关于x(或y)的一元二次方程，根据该方程的判别式△的正负情 求出，则用几何法；若圆心到直 况判断直线与圆的交点个数. 线的距离不易求出，则用代 知识点2直线与圆相交 数法 当直线与圆相交时，可得直线被圆截得的弦. 计算直线L被圆C截得的弦长|AB的常 用方法： (1)几何法 6 如图，直线1与圆C交于A,B两点，设弦 7 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA 为圆的半径为，改长为AB,则)广+=，四 (即圆心到直线的距离) AB|=2√r2-d2. (2)代数法 若直线l与圆C的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),直 线l的斜率为. ①当k不存在时，|AB|=|y1一y2; ②当k=0时，AB|=x1一x2; ③当k存在且k≠0时，设直线l的方程为y=kx十b,AB|= √0-x2+0-2-√G,-x2)P+z1-xy-1+| x2=√(1+b)[(c1十x2)2-4x1x2]. (当=0时，即情况②) 同理，AB=1是为=0+[c+y-6. 知识点3直线与圆相切 1.过圆上一点的切线 过圆上一点P(xoyo)的切线只有一条，如图1、图2、图3，切 线有斜率存在和不存在两种情况 O 图1 图2 图3 若切线的斜率存在，设为飞」 当k≠0时，先求切点与圆心的连线所在直线的斜率。，再由 垂直关系知切线的斜率及=一 。,由点斜式可得切线方程；当 拓视野) 过圆上一点P(xoyo)的 0时，可直接得切线方程为y=yo: 切线方程 若切线的斜率不存在，可直接得切线方程为x=xo.◆拓视野 圆的方程 切线方程 2.过圆外一点的切线 x2+y2=r2 x0x十yoy=r2 (1)过圆外一点P(xo,y0)引圆的切线必有两条，如图，求其 (x-a)2+(x0-a)(x-a)+(y (y-b)2=r2-b)(y-b)=r2 切线方程常用以下方法： x2+y2+ zox yoy D X ①几何法 D:+Ey+FEx 2 设切线方程为y一yo=k(x一xo),由圆心到切线的距离等于 =0 F=0 半径，可求得，则可得切线方程 (上表公式可用于选择、填空题 ②代数法 的快速求解) 设切线方程为y一yo=(x一xo),与圆的方程联立，消去y 72 第二章直线和圆的方程通 (或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程，由方程根的判别式 拓视野⊙ △=0求出k,可得切线方程. 过圆外一点P(xo,yo)引圆的 若求得两个斜率，代入切线方程，则两条切线方程即为所求； 切线所得切线长 若求得一个斜率，则说明另一条切线的斜率不存在，其方程可直接 圆的方程 切线长 x2+y2=r2 √x6+y-r2 写为x=x0: (x-a)2+ √-a2+(06-b2-7 (2)切线长 (y-b)2=r x2+y2+Dx Vxo+yo+Dzo+Eyo+F 点P(xo,yo)与切点之间的距离称 P(xoy） 十Ey十F=O 为切线长.切线长可由勾股定理来计算， 如图，|PA|=|PB=√PC2一r2 ◆拓视野。 (3)切点弦 过圆外一点P(xoy)引圆的两条切线，切点分别为A,B(如 图)，弦AB称为该圆的切点弦.◆拓视野) 拓视野) 重难拓展 过圆外一点P(xo,yo)引圆的 切线所得切点弦方程 重难点（① 直线与圆相交时，求过交点的圆的方程问题 圆的方程 切点弦方程 例①求经过直线x十y=0与圆x2十y2十2x一4y-8=0的 x2+y2=r2 xox+yoy=r2 (x-a)2+(xo-a)(z-a)+(yo 交点，且经过点P(一1，一2)的圆的方程. (y-b)2=r2-b)(y-b)=r2 x十y=0, x2+y2+ xox yoy Dx 解析方法一解方程组 x2+y2+2x-4y-8=0, Dx+Ey+F2+Ex 2 得1， =0 x=-4, F=0 或{ y=-1y=4. (切点弦方程与经过圆上一点的 ∴.直线与圆交于点A(1,-1)和点B(一4,4). 切线方程形式相同) 设所求圆的方程为x2十y2+Dx十Ey+F=0(D2十E2-4F>0), 将点A,B,P的坐标代入方程，得 1+1+D-E+F=0, D=3, 记方法@ 16+16-4D+4E+F=0,解得E=-3, 例1方法二中使用的方程 1+4-D-2E+F=0, F=-8. 也被称为过直线与圆的交点的 满足D2+E2-4F>0, 圆系方程 故所求圆的方程为x2十y2十3x一3y一8=0. 一般地，过直线Ax十By十 方法二设所求圆的方程为x2十y2十2x一4y-8十入(x十y)=0. C=0与圆x2十y2+Dx十Ey+ 又点P(-1,-2)在圆上，将(-1，-2)代入圆的方程得(-1)2+(-2)2 F=0的交点的圆方程，可设为 十2×(-1)-4×(-2)-8+λ(-1-2)=0，解得λ=1， x2+y2+Dx+Ey十F+λ(Ax 故所求圆的方程为x2+y2+2x-4y一8十x十y=0,即x2+y2+3x一 +By十C)=0(λ∈R),相比于 方法一，圆系方程的运算更简洁 3y一8=0.◆记方法@ 73 用重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA 培优突破 突破点(1设而不求，整体代入思想 对于圆的一些综合问题，比如中点弦问题，常运用整体思想 整体思想就是在处理问题时，利用问题中整体与部分的关系，灵活 运用整体代入、整体运算、整体消元（设而不求）、整体合并等方法 整体思想可以简化运算过程，提高解题速度， 例☑已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线1：m.x-y+1-m= 0,设直线l与圆C交于A,B两点，求线段AB的中点M的轨迹 方程 解析设A(x1,y1),B(x2y2),M(x,y). 在mx-y+1-m=m(x-1)-y+1=0中，令x=1,得y=1. 因为直线L的斜率存在，所以点M的横坐标x≠1且x1卡x2: 当m=0时，直线l:y=1,点M为(0,1). 当m≠0时，y≠1，依题意得x十(y1一1)2=5， ① 记方法回 x2+(y2-1)2=5. ② 例2中设出A,B两点的坐 ①-②得(x1十x2)(x1-x2)=-(y1+y2-2)(y1-y2), 标，但求解过程中并不需要求出 所以1一y2=x1十x2 2x 来，设出的两点的坐标只是起到 x1-x2-(y1+y2-2)-(2y-2)-1-y 了桥梁的作用，简化了解题过 因为直线1恒过点(1,1)， 程，这种“设而不求，整体代入” x1-x2-,所以y1x 所以1y2=y一1 的技巧常能起到减少运算量、提 x-11-y 高运算效率的作用」 即x2-x+(y-1)2=0, 即(-2）》+y-12=4x≠1y≠1D. 又当，点M为(0,1)时也满足该式， 所以点M的轨迹方程是(-)》°+(y-1)-红≠1).→ 关键能力提升 题型（①直线与圆的位置关系 解析方法一（几何法）（判断直线与圆的位置关系，可 1.直线与圆的位置关系的判定 计算圆心到直线的距离，与半径比较)》 例③已知圆C:(x-1)2+(y-1)=4, 由题意，圆C的圆心为C(1,1),半径r=2,所以 直线l:mx一y一2m=0,则直线1与圆C的位 圆心到直线L的距离d= m-1-2mlIm+1l_ 置关系是( √m2+(-1)z√m2+1 A.相离 B.相切 /(m+1)2 /m2+2m+1 C.相交 D.不能确定 m2+1 m2+1 /1+2m A m2+1（对于 74 ,第二章直线和圆的方程 这部分，官上下同除以m,再用基本不等式分析，但名过 由y=√4-x2可得y2=4-x2(y≥0)，即x2+ 论m的正负) y2=4(y≥0)，所以曲线C是以原点为圆心、2为半径 的上半圆 当m0时，因为m2十1≥1>0，所以 如图，要使直线1与曲线C恰有2个交点，则1可 故d= 1+2m,≤1 从11（不可取）绕，点P逆时针旋转至1，（可取），其中直 m2+1 线l1与圆O相切，所以圆心O到11：kx一y一2k十3 2m 2 2 当m>0时， m2+1 =1,所 1 =0的距离d= |-2k+3 2√m·m √k2+(-1)2 =2,解得及=品直线 m m l2过，点P(2,3)和，点A(-2,0), 以d= /1 2m≤1+=2，取等条件是m= m2+1 其斜率=0-3.3 224,所以实数的取值范国 m,即m=1 品引 综上所述，d≤2<r对任意的实数m恒成立，所 以直线1与圆C相交，它们有2个交点. 方法二（转化法）（观察发现直线（过定，点，故先找到 该定点，再通过判断该定点与圆的位置关系来判断直线1与圆 L A C的公共点个数) mx-y-2m=0→m（x-2)-y=0,令 答案 (5.3 12'4 x-2=0,x=2, 得{ 所以直线1过定，点P(2,0)」 题型（②直线与圆的相交问题 y=0, y=0, 1.与弦长有关的问题 因为(2-1)2+(0-1)2=2<4，所以点P在圆C 例⑤已知圆C:x2+y2-2x一2y一2=0， 内部，故直线与圆C相交，它们有2个公共点」 直线l:x-y+2=0. 2.由直线与圆的位置关系求参数 (1)求圆C的圆心及半径； 例④若关于x的方程kx一2k十3一 (2)求直线1被圆C截得的弦AB的长. √4一x2=0有且仅有2个不同的实数根，则实 解析(1)由x2十y2一2x-2y-2=0可得(x 数的取值范围是 1)2+(y-1)2=4,所以圆C的圆心为C(1,1),半径 解析（直接研究所给方程的解不易，而方程解的个数问 r=2. 题可转化为图象的交点个数问题来分析，故考虑接此处理，观 (2)(涉及直线被圆截得的弦长，考虑用公式工 察发现将kx一2k十3和√/4一x分开，就能画图了)因为kx 2√r2一d计算，已知r,下面先算圆心到直线的距离d) -2k+3-√/4-x2=0台kx-2k+3=√4-x2, 圆心C到直线1的距离d=1一1+2 =2, 所以题设条件等价于直线1：y=x一2k十3与曲 √12+(-1)2 线C:y=√4一x2有且仅有2个交点. 所以直线l被圆C截得的弦长L=2√r2一d=2√2. 直线1的方程可化为y=k(x一2)十3，令x一2- 变式①(2026·江西九江一中月考)若直 0得x=2,此时y=3,所以直线l过定点P(2,3), 线l:x十y-m=0(m>0)被圆C:(x-1)2十 75 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA (y+1)2=4截得的弦长为√2m,则m= (3)经过点P(4,5),且与圆(x一2)2+y2= ). 4相切的直线的方程为 A.20 解析(1)设直线的方程为y二x十m,即x一y十 B.√2 (平行直线的斜率相等) 5 m=0. C.2 D.2√2 圆(x一2)2+(y一3)2=8的圆心坐标为(2,3)，半 2.中点弦问题 径为22，由2-3十m=2/2,解得m=5或m=-3. 例⑥(2026·重庆名校联盟中考)已知圆 √2 x2+y2-4x+6y-12=0内一点A(4,-2), 故所求直线的方程为y=x十5或y=x一3， 求以A为中点的弦所在的直线方程， 即x-y+5=0或x-y-3=0. 解析方法一（几何法）将圆 3y (2)因为22+(W6)2=10, 的方程化为标准形式(x一2)2十(y 所以点M在圆x2十y2=10上， (优先判断点与圆的位置关系)》 十3)2=25，由圆的几何性质知，圆 由题意可知圆心C的坐标为(0,0)， 心与点A的连线与弦所在直线垂 直，如图，设圆心为D,则D(2,一3)， 则直线CM的斜率kaM= 1 又A(4,-2),六km=2 因为圆的切线垂直于经过切点的直径所在的直 ∴.以A为中点的弦所在直线的斜率=一2. 线，所以所求切线的斜率=一 6 .(k·kaw=-1) .所求直线的方程是y一(-2)=-2(x一4)，即 2x+y-6=0. 故经过点M的切线方程为y一6= 2(x √6 方法二（代数法）当斜率存在时，设直线的斜率 2),整理得2x+√6y一10=0. 为k,过点A的直线为y十2=k(x一4)，即y=k(x一 (3)因为(4-2)2+52=29>4， 4)-2. 所以点P在圆(x一2)2+y2=4外. 代入圆的方程得(1十k2)x2一(8k2一2k+4)x十 若直线的斜率存在，依题意，设直线的方程为y一 16k2-8k-20=0. 5=k(x-4),即kx-y十5-4k=0. 可设两个交，点的坐标为(x1y1),(x2y2), 又圆心为(2,0)，半径r=2,且圆心到切线的距离 则x1十x2 8k2-2k十4=4X2,解得k=一2， 1+k2 等于半径， .所求直线的方程是2x十y一6=0. 所以2k一0十5一4k=2,解得三20，所以直线■ √k2+1 当斜率不存在时，直线x=4不能满足题设要求， (过圆外一点有两条直线与圆相切，因此若 故所求直线的方程是2x十y一6=0. 解得只有一个及值时，另一直线的斜率一定不存在) 的方程为21x-20y+16=0. 题型(3直线与圆相切的问题 若直线的斜率不存在，则直线的方程为x=4,显 1.求切线方程 然满足题意。 例7(1)求与直线y=x十3平行且与圆 综上可知，满足题意的直线的方程为21x一20y (x一2)2十(y一3)2=8相切的直线的方程； +16=0或x=4. (2)经过点M(2,√6)，且与圆x2+y2=10 答案(1)见解析.(2)2x+√6y一10=0. 相切的直线的方程为 (3)21x-20y+16=0或x=4. 76 ,第二章直线和圆的方程 方法总结 6y+14=0上. 求圆切线的方法 (1)求x十y的最大值与最小值： (1)几何法：设切线方程为y一y0=b(x一xo), (2)求x2+y2+2x+3的最大值与最 即x一y一x0十yo=0,由圆心到直线的距离等于 小值； 半径，可求得k,切线方程即可求出 (2)代数法：设切线方程为y一yo=k(x一x0), (3)求兰的最大值和最小值， 即y=kx一kx。十yo,代入圆的方程，得到一个关于 解析方程x2十y2-6x-6y+14=0可化为 x的一元二次方程，由△=0求得，切线方程即可 (x-3)2+(y-3)2=4. 求出 (1)方法一设x十y=b,则b表示动直线y= [注意]解题时勿忘考虑斜率不存在的情形. x十b在y轴上的截距， 2.切线长的计算 如图1，显然当动直线y=一x十b与圆(x一3)2 例⑧由直线l:y=x十1上的一点向圆 十(y一3)2=4相切时，b取得最大值或最小值. x2+y2一6.x十8=0引切线，则切线长的最小 此时圆心C(3,3)到切线x十y=b的距离等于圆 值为(. 的半径2，则33-6=2， √12+1 A.3 B.22 C.7 D.√6 即|b-6=2√2，解得b=6土22， 解析x2+y2-6x十8=0→(x-3)2+y2=1,所 所以x+y的最大值为6+2√2，最小值为6-2√2. 以圆心为A(3,0),半径r=1. 如图，设P为直线l:y=x十1上一点，PQ与 ⊙A相切于点Q, E :y=x+1 10 图 图2 由图可知，PQ⊥AQ,且|AQ|=1,所以|PQ|= 图3 √TPA2-AQ2=√TPA2-1. ① 设 x=3十2cosa, (只需求PA|a,显然当PA⊥1时，PA|最小，此时PA 方法二 其中a∈R, y=3+2sin a, 即为，点A到1的距离) (圆的参数方程) y=x+1可化为x-y十1=0，所以|PA|mim= 则x+y=6+2(sina+cosa)=6+2√2· 13-0+1 =22,代入①式，得|PQ|mm= √/12+(-1)2 √/(2W2)2-1=√7. 当a十牙-2张x+受（∈）时x十y取得最大位 答案C 4 题型（④与圆有关的最值问题 6+2W2; 1.利用几何意义求最值 当a十 =2πk∈Z0时，x十y取得最小值 4 例⑨已知点P(x,y)在圆C:x2+y2-6x6-2√2. 77 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA (2)x2+y2+2x+3=(x+1)2+y2+2,它表示 (2)距离型 圆上的点P到，点E(一1,0)的距离的平方再加2，所以 形如(x一a)2+(y一b)2,可转化为圆上的点与 当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子取得最 定点(a,b)的距离平方的最值问题. 大值或最小值.如图2，显然，点E在圆C的外部，所以 (3)斜率型 点P与点E距离的最大值为|CE|十2，点P与点E 形如义一6 距离的最小值为|CE|-2.又|CE|=√(3+1)2+3 加之-Q,可转化为过定点(a,b)与圆上一点 =5,所以x2十y2+2x+3的最大值为(5十2)2十2= 的动直线斜率的最值问题 51,最小值为(5-2)2+2=11. 2.圆上的点到直线的距离的最值 (3)义表示圆上的，点P与原点连线所在直线的斜 例10（多选）已知圆(x-1)2十y2=4上 率，如图3，显然PO(O为坐标原，点)与圆相切时，斜 有四个点到直线y=x十b的距离等于1，则实 率最大或最小 数b的值可能为(). 设切线方程为y一kx(由题意知，斜率一定存 A.1 B.0 C.-√2 D.-√3 在)，即x一y=0,由圆心C(3,3)到切线的距离等于 半径2，可得36-3 解析由圆的方程(x一1)2十y2=4,可得圆心为 =2,解得k=9士2V ,所以义 2+1 5 (1,0),半径为2，若圆上有4个点到直线y=x+b的 的最大值为9十2W4 最小值为9-214 距离等于1，则圆心(1,0)到直线y=x十b的距离小 5 5 于1，又直线的一般方程为x一y十b=0,所以 方法总结】 |1-0+b1 利用几何意义求最值 <1,所以|1十b|<√2，所以-√2-1<b< W1+1 (1)截距型 一1十√2，故只有A选项不满足该取值范围. 形如ax十by,可转化为动直线截距的最值问题. 答案BCD 1I111IN1111111110111011111111111111111111111111111111111111011111111111111111 ★核心素养聚焦 111M1IIININI1IN11A11I1111111011111111111111111111111111111111111111011110111111 考向（①直线与圆的位置关系综合 答案B 例☐(2025·全国一卷)若圆x2+(y十 考查内容 核心素养 试题难度 2)2=r2(r>0)上到直线y=√3x+2的距离为 逻辑推理、 考查直线与圆的位置关系 ★★★☆☆ 直观想象 1的点有且仅有2个，则r的取值范围是 (). 考向(2直线与圆相交 A.(0,1) B.(1,3) 例12(2025·天津卷)l1:x一y+6=0与 C.(3,+∞) D.(0,+∞) x轴交于点A,与y轴交于点B,与圆(x十 解析易求得圆心(0，一2)到直线y=√3x十2的 1)2+(y-3)2=x2(r>0)交于C,D两点， 距离d=2.当r=1时，该圆上到直线的距离为1的，点 AB|=3|CD|,则x= 有且仅有一个.当r=3时，该圆上到直线的距离为1 解析因为11：x一y十6=0与x轴交于点A,与 的，点有且仅有三个.故当1<r<3时，圆x2+(y十2)2 y轴交于点B, =r2(r>0)上到直线y=√3x十2的距离为1的，点有 所以A(-6,0),B(0,6),所以AB|=62 且仅有两个 因为|AB|=3CD,所以|CD|=2√2. 78 ,第二章直线和圆的方程通 因为l1:x-y+6=0与圆(x+1)2+(y-3)2= 可得|PC|=√22+(-2)7=2√2，则|PA|= r2交于C,D两点，且圆心（一1,3）到直线的距离为d |PB|=√PC2-r2=√3】 _1-1-3+6l=2, √2 所以CD=2√r2-d=2√r2-2=2√2，解得 r=2. 答案2. B 考查内容 核心素养 试题难度 因为|PA|2+|PB|2-2|PA|·|PB|cos∠APB= 考查直线与圆的位置关系 直观想象、 ICAI2+|CB|2-2lCA|·ICB|cos∠ACB, ★★★☆☆ 以及弦长的计算 数学运算 且∠ACB=π-∠APB, 考向③直线与圆相切 则3+3-6cos∠APB=5+5-10cos(π ∠APB), 例13(2023·新课标I卷)过点(0，一2) 即3-cos∠APB=5+5cos∠APB,解得 与圆x2+y2一4x一1=0相切的两条直线的夹 角为a,则sina=( o∠APB=-}<0,即∠APB为统角， A.1 B①5 则coSQ=c0s(r-∠APB)=-coS∠APB= 4 4 c四 9 且a为锐角，所以sina=√个-cosa- 4 答案B 解析圆x2+y2-4x一1=0的圆心C(2,0),半 考查内容 核心素养 试题难度 径r=√5， 如图，过点P(0,一2)作圆C的切线，切点为A, 逻辑推理、 考查直线与圆相切的应用 ★★★★☆ 数学运算 B,连接AB, 79