2.4 圆的方程-【重难点手册】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA。 2.4圆的方程 重点和难点 课标要求 1.掌握圆的标准方程 重点：圆的标准方程和一般方程. 2.掌握圆的一般方程， 难点：圆的方程的应用 3.了解点与圆的位置关系 MIAIAAABIIMAIAAIAIIAAMA 食必备知识梳理 AIIAIBAAAAIAn 基础梳理 知识点1 圆的标准方程 敲黑板⊙ 1.圆的标准方程的定义 (1)所谓标准方程，是指方 (圆的几何要素：圆心位置知半径) 我们把方程(x一a)2+(y一b)2=r2称为圆心为(a,b),半径 程的形式.圆的标准方程体现了 长为r(r>O)的圆的标准方程.◆敲黑板。◆划重点。 圆的几何性质，突出了圆的几何 要素：圆心位置和半径 2.几种特殊位置的圆的标准方程 (2)圆的标准方程的右端 条件 方程的标准形式 x2>0,当方程右端小于或等于 圆心在原点处 x2+y2=r2(r≠0) 0时，对应的方程不是圆的标准 圆过原点 (x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2>0) 方程 圆心在x轴上 (x-a)2+y2=r2(r≠0) 圆心在y轴上 x2+(y-b)2=r2(r≠0) 划重点 圆心在x轴上且圆过原点 (x-a)2+y2=a2(a≠0) 在圆的标准方程(x一a)2十 (y-b)2=r2中有三个参数a, 圆心在y轴上且圆过原点 x2+(y-b)2=b2(b≠0) b,r,只要求出a,b,r,圆的方程 圆与x轴相切 (x-a)2+(y-b)2=b2(b≠0) 就确定了，因此，确定圆的方程需 圆与y轴相切 (x-a)2+(y-b)2=a2(a≠0) 三个独立条件，其中圆心是圆的 圆与两坐标轴都相切 (x-a)2+(y-b)2=a2(a=|b≠0) 定位条件，半径是圆的定形条件 知识点(2 敲黑板⊙ 圆的一般方程 1.圆的一般方程的形式特点 1.圆的一般方程的定义 (1)x2,y2项的系数相同且 方程x2+y2+Dx+Ey十F=0(D2+E2一4F>0)叫作圆的 不等于0(x2和y2项的系数如 一般方程。◆敲票板 果是不为1的非零常数，只需在 2.圆的一般方程表示的图形 方程两边同时除以这个常数 对方程x2+y2十Dx十Ey+F=0的左边配方，并把常数项 即可). 移到右边，得+》‘+（十）-D+ (2)不含xy项. 上.根据圆的标准 (3)D2+E2-4F>0. 方程的特点，可知： 2.在圆的一般方程x2+y 64 第二章直线和圆的方程通 方程 条件 意义 十Dx十Ey十F=0中有三个参 数D,E,F,只要求出D,E,F D2+E2-4F<0 方程没有实数解，它不表示任何图形 圆的方程就确定了 方程只有实数解x=一 2y=- 2,它 D2+E2-4F=0 x2+y2+Dx+ 表示-个点(？，》 Ey+F=0 方程表示以 D )为圆心， 2-2 D2+E2-4F>0 y √D+E2一4F为半径的圆 知识点3点与圆的位置关系◆题票酸 设点M的坐标为(xo,yo),圆A的标准方程为(x一a)2+ (y-b)2=r2(r>0),一般方程为x2+y2+Dx十Ey十F=0(D2+ E一4F>0),则点M与圆A的位置关系及判断方法如下： 敲黑板⊙ 判断方法 由点与圆的位置关系确定 位置关系 图示 几何法 代数法 参数的范围时，可以根据点与圆 M 的位置关系将方程中的等号变 (x0-a)2+(y0-b)2=r2或 点M在圆A上 IMAI=r 为“<”、“>”或“=”，还可以用 A x+y8+Dxo+EyO十F=0 点到圆心的距离与圆的半径的 大小关系来求解 ·M (xo-a)2+(yo-b)2<r2或 点M在圆A内 A MA< x+y3+Dzo+Eyo+F<0 M. 作比较@ (x0-a)2+(y0-b)2>r2或 点M在圆A外 MA>r “轨迹”与“轨迹方程”有区 A x+y+Dxo+EyO十F>0 别，“轨迹”是图形，要指出形状、 位置、大小（范围）等特征；“轨迹 重难拓展 方程”是方程，不仅要给出方程， 重难点1轨迹和轨迹方程 还要指出变量的取值范围」 1.轨迹方程和轨迹的定义，作此较。 已知平面上一动点M(x,y),点M的轨迹方程是指点M的 划重点 坐标(x,y)满足的关系式.轨迹是指点在运动变化过程中形成的 求轨迹方程的一般步骤 图形.在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）. 建系建立适当的平面直角坐标系 2.用坐标法求轨迹方程的步骤 设点 用(x,y)表示轨迹（曲线）上任 用坐标法求动点的轨迹方程，就是根据题意建立动点的坐标 意一点M的坐标 (x,y)所满足的关系式，并把此关系式化为最简形式的方程.如果 列式 列出关于x,y的方程 题目中没有平面直角坐标系，需要先建立适当的平面直角坐标系. 化简 把方程化为最简形式 ◆划重点逸 证明> 证明以化简后的方程的解为 坐标的点都是曲线上的点 例1已知P,Q为圆x2十y2=4上的动点，A(2,0),B(1,1) 65 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA 为定点 记方法@ (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； 求轨迹方程的常用方法 (2)若∠PBQ=90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程. (1)直接法也叫直译法，即 解析(1)设线段AP的中点为M(x,y),由中点坐标公式可知，点P的 根据题目条件，直译为关于动，点 坐标为(2x一2,2y)(x≠2). 的几何关系，再利用有关公式 ,点P在圆x2十y2=4上，.(2x-2)2+(2y)2=4(x≠2)， (如两点间的距离公式、点到直 ∴.线段AP的中点M的轨迹方程为(x一1)2+y2=1(x≠2). 线的距离公式等)进行整理、化 (2)如图，设线段PQ的中点为N(x,y).在 y↑Q 简.这种求轨迹方程的方法不需 Rt△PBQ中，IPN|=|BN. 要特殊的技巧 NA B 设O为坐标原点，连接ON,OP,则ON⊥PQ, (2)代入法也称相关点法， ..OP2=ON2+PN2=ION2+BN12, 如果动点P(x,y)依赖于另一 .x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,即x2+y2 动点Q(a,b),而Q又按某个规 x-y-1=0. 律运动，则可先用x,y表示a, .线段PQ的中点N的轨迹方程为x2十y2一x一y一1=0.◆记方法回 b,再把a,b代入它满足的条件 重难点2圆的参数方程 便可得到动点P的轨迹方程， (3)定义法，通过分析已知 例②[回归教材P89T10]在平面直角坐标系中，如果点P的 条件，找到其中隐含的圆，利用 [x-a+rcos 0, 定义求解」 坐标(x,y)满足 其中0为参数.证明：点P的轨迹 y=b+rsin 0, 在处理轨迹问题时一定要 是圆心为(a,b),半径为r的圆. 善于根据题目的特，点选择恰当 x=a十rcos0, 的方法 解析由于点P的坐标(x,y)满足 其中0为实数，r>0, ly=b+rsin 0, [x-a=rcos0 所以 可得(x-a)2+(y-b)2=(rcos0)2+(rsin0)2=r2. ly-b=rsin 0, 即点P的坐标(x,y)满足方程(x一a)2十(y一b)2=r2.所以，点P的轨迹 是圆心为(a,b),半径为r的圆. 深挖教材 圆的参数方程 (x=a+rcos 0, 我们将方程 (0为参数，r>0)称为圆心为(a,b),半 y=b+rsin 0 径为r的圆的参数方程.圆的参数方程和标准方程的关系如下表所示 圆的标准方程 图形 参数方程 参数0的几何意义 M(r.y) x=rcos 0, x2+y2=x2 y=rsin 0 OM(O'M。)绕点O (0为参数) (O)逆时针旋转到 OM(O'M)的位置时 M(r,y) 转过的角度，0∈[0， (x=a+rcos 0, (x-a)2+ M 2x) y=b+rsin 0 (y-b)2=r2 (0为参数) 66 第二章直线和圆的方程 目112111H11H 关键能力提升 1IIIIIIINIDA1ID1I111I1111101010111110111110111101110B10111111111111010111101111 题型(1求圆的方程问题 出圆心坐标和半径 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出 (1)2x2+y2-7y+5=0; 圆的圆心坐标和半径，进而写出圆的方程， (2)x2-xy十y2+6x+7y=0; (2)待定系数法：设出圆的方程，根据条件 (3)x2+y2-x=0; 列出关于三个参数的方程组，解出参数的值， (4)x2+y2+2a.x十a2=0(a≠0). 代入即得圆的方程.选用标准方程还是一般方 解析(1)2x2+y2一7y+5=0中x2与y2的系 数不相同，故原方程不表示圆， 程的原则是：如果已知条件易得圆心坐标、半 (2)x2-xy十y2+6x+7y=0中含有xy项，故 径或可用圆心坐标、半径建立方程，则通常设 原方程不表示圆. 圆的标准方程；否则设圆的一般方程。 (3)方法-因为D2+E2-4F=(-1)2=1>0, 例③(2026·江苏南京外国语学校月考) 已知△ABC的三个顶点分别为A(一1,5)， 所以方程表示圆，圆心坐标为(2，-》，即（分 B(一2，一2)，C(5,5),求其外接圆P的方程. 0),年径7-2D+E-4乐= 解析方法一设所求圆的方程为x2十y2十Dx +Ey十F=0(D2+E2-4F>0), 方法三方程x2+y2-x=0可化为（女-2）+ (-D+5E+F+26=0, 由题意可得一2D一2E+F+8=0, y2=(侵》，它表示以（侵，0）为圆心，号为半径的圆 5D+5E+F+50=0, (4)因为D=2a,E=0,F=a2,所以D2十E2 D=-4, 4F=4a2一4a2=0,所以方程不表示圆. 解得E=一2， 2.确定圆的条件（求参数的取值范围） F=-20. 例⑤若方程x2+y2+2ax十2ay+2a2+ 故所求外接圆P的方程为x2+y2一4x一2y一 a一1=0表示圆，则a的取值范围是 20=0. 解析方程x2+y2+2ax+2ay十2a2+a-1=0 方法二由题意可得弦AC的中垂线的方程为 可化为(x十a)2十(y十a)2=1-a,它表示圆，需满足 x=2,BC的中垂线的方程为x十y一3=0， 1-a>0,故a<1. 由2， x=2, 解得 答案(-∞，1). x+y-3=0, y=1, 题型3点与圆的位置关系的综合应用 所以圆心P的坐标为(2,1). 1.由圆的方程判断点与圆的位置关系 外接圆的半径r=|AP 例⑥(2026·福建福州一中检测)已知 =√(2+1)2+(1-5)2 A(6,0),B(-2,0),C(-3,3),D(6,3),判断 =5, A,B,C,D四点是否共圆. 故所求外接圆P的方程为(x一2)2+(y一1)2=25. 解析由线段AB,BC所在的直线的斜率分别为 题型(2二元二次方程表示圆的问题 kAB=0,kC=一3，得EAB≠kC, 1.判断二元二次方程是否表示圆 ∴A,B,C三点不共线 例④下列方程是否表示圆，若表示圆，写 设过，点A(6,0),B(-2,0),C(-3,3)的圆的方 67 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA 程为x2+y2+Dx十Ey十F=0,把A,B,C三，点的坐标 故实数m的取值范国为0,2)： 代入得 62+02+6D+EX0+F=0, 答案(1)A 2(o,2) (-2)2+02-2D+E×0+F=0, 题型（④圆的方程的综合应用问题 (-3)2+32-3D+3E+F=0, D=-4, 1.与圆有关的对称问题 解得E=一6， 例8(2026·浙江湖州市属高中月考)已 F=-12. 知圆C与圆C1:(x-1)2+y2=1关于直线 故所求圆的方程为x2十y2-4x-6y一12=0. y=一x对称，则圆C的标准方程为(). 把D(6,3)代入得62+32-4X6一6X3-12= A.(x+1)2+y2=1 9≠0. B.x2+y2=1 .,点D不在该圆上， C.x2+(y+1)2=1 .A,B,C,D四，点不共圆 D.x2+(y-1)2=1 2.由点与圆的位置关系求参数范围 解析由题意知，圆(x一1)2十y2=1的圆心为 由点与圆的位置关系确定参数范围时，可 C1(1,0),半径r1=1. 以由点与圆的位置关系特征将方程中的“=” 设圆心C1(1,0)关于直线y=一x对称的点为 变为“>”或“<”，还可以用点到圆心的距离与 (a,b), 圆的半径的大小关系来判断： (-1)=-1, a-1 a=0, 例☑(1)(2026·湖北武汉二中月考)若 解得 a+1 b 6=-1. 点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部， 22 则a的取值范围是(). 故所求圆C的标准方程为x2十(y十1)2=1. A.-1<a<1 B.a<-1 答案C C.a<-1或a>1 D.a>1 总结反思 (2)(2025·福建福州三中期中)若坐标原 (1)求已知圆关于某点或某条直线对称的圆， 只需利用对称确定所求圆的圆心位置，其半径与已 点O在方程x2十y2-x十y+m=0所表示的 知圆相等 圆的外部，则实数m的取值范围为 (2)两圆关于某，点对称，则对称，点为两圆圆心 解析(1)因为点(1,1)在圆(x一a)2+(y十a)2= 连线的中点；若两圆关于某条直线对称，则此直线 4的内部， 为两圆圆心连线的垂直平分线。 所以点(1,1)到圆心(a,一a)的距离小于2， 故W(1-a)2+[1-(-a)]2<2, 变式①(2026·广东中山一中单元检测) 两边平方得(1-a)2+(a+1)2<4, 若圆(x十1)2+(y一3)2=9上相异两点P,Q 化简得a2<1,解得-1<a<1. 关于直线x十2y一4=0对称，则k的值为 (2)因为点O(0,0)在圆的外部，所以0十0一0+ 0+m>0,即m>0. 2.与圆有关的最值问题 又D2+E2-4F>0, 已知点(x,y)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2 所以(-1+1-4m>0,即m<分， 上，求d=√(x-m)2十(y一n)2的最值问题的 68 ,第二章直线和圆的方程_誰 方法如下： √(x-9)2十(y十9)严的几何意义为点M(9, (1)求圆心O(a,b)与定点M(m,n)间的 一9)到圆上的点P(x,y)的距离， 距离dMo 连接PM,当|PM最小时，QR也最小； (2)根据圆的几何性质知： 当|PM最大时，QR也最大 ①当，点M在圆外时，dmax=dMo十r,dm= 连接MC,则IPM|mm=||MC|-r|= dmo-r. |√(9-5)2+(-9-5)z-r|=|2√53-rl,lPM|mx ②当点M在圆内时，dmx=dMo十r,dmn= =MCl+r=253+r. r-dmo. .|QR|mm=√2|2√53-r,|QR Imax= 例⑨已知P是圆C:(x一5)2+(y一5)2 √2(253+r). =r2(r>0)上的一个动点，它关于点A(9,0) 3.与圆有关的轨迹问题 的对称点为Q,O为原点，线段OP绕原点O 例10(2025·河南实验中学期中)曲线 逆时针方向旋转90°后，所得线段为OR,求 x2+y2=4x|十4|y|的周长为(). QR的最小值与最大值， A.4√2π B.8√2π 解析如图，设点P的坐标是(x,y),则，点Q的坐 标是(18x,-y. C.12π D.16π 解析曲线x2十y2=4x|+4y= f(x-2)2+(y-2)2=8(x≥0，y≥0)， (x+2)2+(y-2)2=8(x<0,y>0), (x+2)2+(y+2)2=8(x<0,y<0), Q (x-2)2+(y+2)2=8(x>0,y<0), ,线段OR由OP绕原点逆时针旋转90°得到， 作出曲线如图所示，该图是以A,B,C,D四个，点 设R(x1y1),则兰.4=一1， 为圆心，半径为2√2的四个半圆，所以该曲线的周长 x x1 为4Xπ×2W2=8√2π y1 由平面几何知识得，点R的坐标为（一y,x) 则|QR|=√(18-x+y)2+(-y-x)2=√2· √(x-9)2+(y+9)2 :P(x,y)为圆(x-5)2+(y-5)2=x2上的点， 答案B 目1i11iii1111H1iH11HiiH111H11用 核心素养聚焦 1110111111011111110111111111011111111111101111111101111111111111101111110111111 考向① 求圆的方程 解析①若圆过(0,0)，(4,0)，（一1,1）三点，设过这 三点的圆的一般方程为x2十y2十Dx十Ey十F=0,分别 例口（经典·全国乙卷）过四点(0,0)， (F=0, (4,0),(一1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方 将三点的坐标代入，可得16十4D+F=0,解得 程为 2-D+E十F=0, 69 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA D=-4, E=-6, 16+4D+F=0, D=16 F=0, 可得2-D+E十F=0, 解得E=一2， 易得D2十E2一4F>0,所以过这三点的圆的方 20+4D+2E+F=0, F=、16 5 程为x2十y2-4x-6y=0, 易得D2十E2一4F>0,所以过这三点的圆的方程 即(x-2)2+(y-3)2=13. ②若圆过(0,0)，(4,0)，(4,2)三点. 为2+y-5-29-0,(2-》+g-1 设过这三点的圆的一般方程为x2十y2十Dx十 169 25 Ey十F=0,分别将三点的坐标代入， 答案(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y F=0, D=一4， 可得16+4D+F=0, 解得E=一2， 1)=5或(x-)+(-》-或(x-)产+ 20+4D+2E+F=0, F=0, y-102=169 易得D2+E2-4F>0, 25(写出一个即可)。 所以过这三点的圆的方程为x2十y2一4x一2y= 考查内容 核心素养 试题难度 0,即(x-2)2+(y-1)2=5. 考查圆的一般方程以及直直观想象、数 ★★★☆☆ ③若圆过(0,0)，（一1,1），(4,2)三点，设过这三 线与圆有关的几何性质等 学运算 点的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey十F=0,分 考向2圆的方程的应用 别将三点的坐标代入， 例12(2024·北京卷)圆x2+y2一2x+ F=0, D=8 ’ 6y=0的圆心到直线x一y+2=0的距离为 ( 可得2-D十E十F=0, 解得 E=14 20+4D+2E+F=0, 3 A.√2 B.2 C.3 D.3√2 F=0, 解析由题意得x2+y2-2x十6y=0,即(x-1)2 易得D2十E2一4F>0,所以过这三，点的圆的方 十(y+3)2=10,其圆心坐标为(1，一3)，则圆心到直 程为x2十少-号导-0， 线r-y+2=0的距离为1（二3》+2到=32. √12+(-1)2 即(x-)+(y-3)2-5 答案D 考查内容 核心素养 试题难度 ④若圆过(4,0)，（一1,1），(4,2)三点，设过这三 点的圆的一般方程为x2十y2+Dx十Ey+F=0,分 考查圆的一般方程和标准数学运算、直 ★★☆☆☆ 方程 观想象 别将三，点的坐标代入， 702.4圆的方程 变式训练 [变式1]2.[圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称 轴.已知圆的圆心为（一1,3），由题设知直线kx十2y一4=0 过圆心，则k×(一1)+2×3-4=0，解得k=2.] 基础过关练 1.D 2.D[依题意，线段PQ的中点为(2,4)，|PQ|=2,圆C经过 P(1,4),Q(3,4)两点，当圆C的半径最小时，线段PQ为圆 C的直径，此时圆C的方程为(x一1)(x一3)+(y-4)(y一 4)=0,化简得标准方程为(x一2)2十(y一4)2=1.] 方法总结 若A(x1y1),B(x2y2),则以线段AB为直径的圆的 方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 3.B[x2+y2+ax+2y+2=0表示圆台D2+E2-4F=a2+ 22-4X2=a2-4>0,解得a>2或a<-2,所以“关于x,y 的方程x2十y2+ax十2y十2=0表示圆”是“a>2”的必要不 充分条件.] 4.C[将点(-1，-1)代入圆的方程，有2-2(a-1)+a2-4a +1=a2-6a+5=(a-1)(a-5)>0.] 5.(1)要使方程表示圆， 则4(m+3)2+4(1一4m2)2-4(16m4+9)>0, 即4m2+24m+36+4-32m2+64m4-64m4-36>0, 1 整理得7m2-6m-1<0,解得-7<m<1. 1 (2):'r=2√4m+3)2+4(1-4m2)-416m+9) =√-7m2+6m+1 47 ∴0<r≤7 (3)设圆心的坐标为(x,y),则=m十3， y=4m2-1. 消去m可得(x-3》=子0十1》。 -7<m<1, 7<x<4. 故圆心C的轨迹方程为-3)2=子0+1D(9<x<4, 即y=4z-3)-1(9<x<4). 综合提能练 1.A[由x2+y2-2a.x+4ay+5a2-9=0,得(x-a)2+(y+ 2a)2=9,所以圆心坐标为(a,-2a),半径为3.因为圆x2+ y2-2ax十4ay十5a2-9=0上所有点都在第二象限，所以 a<0, -2a>0, 解得a<-3.] a<-3, -2a>3, 2.D[因为x十√1-y2=0,所 y 以√1-y2=-x,所以x2+ 3 y2=1(x≤0).上述方程表示 的是圆心在原点、半径为1的 4-3-2-式 半圆，如图所示，则之2的几 B -2 何意义是半圆上的点(x,y)与 -3 -4 点(2,0)连线的斜率.由图可得A(0,1),B(0,一1)，P(2,0), -名，所以产的取位范 1-01 k=0-2 -1-0= 围为[-】1 9盼-片-yg ,化简 整理得x2+y2+8x=0,即(x十4)2+y2=16,故A错误.点 P的轨迹是圆心为（一4,0），半径为4的圆，所以根据对称性 可知，当D(-60,B8(-12,0时，0-子放B正确 在△AP0中，coS∠AP0=1AP2+P0?-A0? 2APIPO 在△BPO中，coS∠BPO=BP+IPOI?-|BO12 2BP PO 要证射线PO为角平分线，只需证明cos∠APO=cos∠BPO,即 证lAP+PoAO-BPI,+POBO,化 2APPO 2BPPO 简整理，即证|PO2=2AP2-8.设P(x,y),则|PO2= x2+y2,2AP|2-8=2x2+8x+2y2=(x2+8x+y2)+ (x2+y2)=x2十y2,故cos∠APO=cos∠BPO,故C正确. 设M(xo,y0),由MO|=2|MAI,可得√6+y6 2√(x+2)2+y,整理得3x号+3y+16x0+16=0.而点 M在圆C上，故满足x品十y十8xo=0,联立解得xo=2, yo无实数解，故D错误.] 4.[2-√2,2+√2].[将圆C:x2+y2-4x-6y+9=0化为标 准方程，得(x一2)2十(y一3)2=4，故圆C的圆心为C(2,3), 半径r=2.因为(1-2)2+(2-3)2=2<4，所以点Q(1,2)在 圆C的内部，且|CQ1=√(1-2)2+(2-3)严=2，所以PQ 的取值范围为[CQ,+CQ门=[2-E,2+].] 涉及与圆相关的两点的距离问题，总是转化为圆 心与定点的距离问题来解决 归纳总结 此类题一般都是转化为点到圆心的距离来处理，加半 径为最大值，减半径为最小值.如图，已知圆C及圆外一定 点P,设圆C的半径为r,则圆上点到，点P距离的最小值为 |PM=|PC|-r,最大值为|PN|=|PC|+r,M为线段 PC与圆的交点，N为PC延长线与圆的交点. 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