2.2 直线的方程-【重难点手册】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA。 2.2直线的方程 重点和难点 课标要求 重点：几种直线方程形式的建立。 1.掌握直线的点斜式和斜截式方程. 难点：对二元一次方程表示一条直线、一条直线可以 2.理解直线的两，点式和截距式方程」 用二元一次方程表示的认识 3.掌握直线的一般式方程 MIAIAAABIIMAIAAIAIIAAMA 必备知识梳理 AIIAIBAAAAIAn 基础梳理 知识点1 直线的点斜式方程 1.直线的点斜式方程的定义 方程y一yo=k(x一xo)由直线上一个定点(xoy)及该直线 划重点。 (由点斜式方程能观察到，直线过定点(x0,y),斜率为) (1)已知直线上一点的坐标 的斜率k确定，我们把它叫作直线的点斜式方程，简称点斜式， 与直线的斜率，就可以将该直线 如图，直线l经过点P。(xo,yo),且斜率为k y个 用点斜式方程表示.反之，由点 斜式方程y一yo=k(x一x0)可 设P(x,y)是直线1上不同于点P。的任意一点， P 观察到直线过点(xo,yo),直线 因为直线1的斜率为k,由斜率公式得飞二。 的斜率为 (2)当倾斜角为90°时，直线 y二0，即y-y=k(x一x).◆重面 x一x0 没有斜率，点斜式方程不存在。 (两个方程的几何意义不同，前者表示不包含P。(x0y)的直线，后者表 敲黑板⊙ 示包含P。(x0,y)在内的所有，点的直线) (1)直线的斜截式方程其实 2.两种特殊情况 是点斜式方程在x。=0时的特 殊情况.斜截式方程应用的前提 倾斜角 图象特征 斜率 直线1的方程 是直线的斜率存在（与x轴不 垂直) P(oy) (2)当直线1与y轴正半轴 tan0°=0，即k=0 y-y0=0,即y=y0 相交时，截距b>0;当直线1与 y轴负半轴相交时，截距b<0; 当直线1经过原，点时，截距b= y 0.但并非所有的直线都与y轴 P(xo,y% tan90°无意义， 有交点，当直线l与y轴平行 90° 时，L在y轴上没有截距. 即斜率不存在 x-x0=0,即x=x0 (3)斜截式方程与一次函数 的解析式相同，都是y=kx十b 的形式，但有区别：当及≠0时， 3.直线的斜截式方程（直线的点斜式方程的特殊情形）◆敲黑板。 y=x十b为一次函数；当k=0 (1)截距 时，y=b,不是一次函数.故 我们把直线1与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫作直线1在 次函数y=kx十b(k≠0)一定 可看成一条直线的斜截式方程 y轴上的截距./（载距不是距离，可正可负，也可为0） 48 第二章直线和圆的方程 (2)定义 (,b的几何意义) 敲黑板⊙ 方程y=kx十b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确 (1)当x1=x2时，P1P2垂 定，我们把方程y=kx十b叫作直线的斜截式方程，简称斜截式 直于x轴，直线方程为x一x1= 0,当y1=y2时，PP2垂直于 知识点（②直线的两点式方程 y轴，直线方程为y-y1=0. 1.直线的两点式方程的定义 (2)y-y1=2(x x2一x1 y一y1=x一x1就是经过两点P1(x1,y1),P2(x2y)(其 y2一y1x2-x1 x)(x1≠x2)与y-y y2-y1 中x≠x2,y≠y2)的直线的方程，我们把它叫作直线的两点式 二1（红1≠x2y1≠y2),显然 x2-x1 方程，简称两点式高冬大不用·国 后者表示直线的范围比前者缩 2.直线的截距式方程（直线的两点式方程的特殊形式】 小了，但后者便于记忆和应用， 所以采用后者作为公式 方程。+名-1由直线1在两条坐标轴上的截距a与b确定， (3)把直线的两，点式方程化 a 6 为(x2-x1)(y-y1)=(y2 ”（右端为1) 我们把方程之十义=1叫作直线的截距式方程，简称截距式. y1)(x一x1),则该方程表示过 b 平面内任意不同两点(x1,y1) （x对应的分母 (对应的分绿为织我驱，)的系意为)】 。敲黑板) (x2y2)的直线. 为横截距，x的 (和形式) 系数为】 敲黑板⊙ (1)截距式方程应用的前提 知识点③直线的一般式方程 是截距存在且均不为0，即直线 1.直线的一般式方程的定义 过原点或与坐标轴平行时不能 用截距式方程。 我们把关于x,y的二元一次方程Ax十By十C=0(其中A, (2)截距式方程中要求a,b B不同时为O)叫作直线的一般式方程，简称一般式.◆划重点。 均不能为0，但事实上截距可以 (也可写成A2十B2≠0) 为0，因此在解决截距相等问题 2.直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化 时，要注意截距为0的情况. (此时不能设为截距式方程) 一般式 斜截式 截距式 划重点 (1)一般式方程可以表示平 Ax+By+C=0 y=1 BxB C+ -C=I (A,B不同时为O) A B 面内的任意一条直线.当B=0 (B≠0) (A,B,C≠0) 时，Ax+C=0(A≠0)表示垂直 于x轴的直线；当A=0时，By 提个醒回 十C=0(B≠0)表示垂直于y轴 3.直线方程五种形式的比较 的直线， 类别 方程 常数的几何意义 适用条件 (2)解题时，若无特殊说明， 应把求得的直线方程化为一般 (xo,y)是直线上的 点斜式y一yo=(x一x) 直线不垂直于x轴 个定点，k是斜率 式.对一般式作如下约定：按含 x项、含y项、常数项的顺序排 k是斜率，b是直线在 斜截式 y=kx+b y轴上的截距 直线不垂直于x轴 列，且x的系数为正，x,y的系 数和常数项一般不出现分数 y一y1 x一x1 两点式 (x1y1),(x2,y2)是直直线不垂直于x轴 y2-y1 提个醒回 线上的两个定点 和y轴 (x1≠x2y1≠y2) 若直线的一般式方程为 49 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA。 续表 Ax十By十C=0(AB≠0)，则其 类别 方程 常数的几何意义 适用条件 斜率为 B,在x轴上的裁距为 +名 a,b分别是直线在x轴、 直线不垂直于x轴 C 截距式 y轴上的非零截距 和y轴，且不过原点 A,在y轴上的栽距为 (a≠0，b≠0) Ax+By+C=0 般式 A,B,C为系数 任何情况 (A,B不同时为0) 知识点④ 利用直线方程判断两直线的位置关系◆敲黑板 敲黑板 方程形式 用斜截式判断两直线平行、 斜截式 一般式 垂直的前提是两直线的斜率存 位置关系 y=kix+b1, A1x+B1y+C1=0, 在，若不确定直线的斜率是否存 y=k2x+b2 A2x+B2y+C2=0 在，则需要分斜率存在与不存在 两种情况讨论」 相交 b1≠k2 A,-AB≠0鲩盘A,80 垂直 k1k2=-1 A1A2+B1B2=0 A1B2-A2B1=0,A1B2-A2B1=0 或1 B1C2-B2C1≠0 A1C2-A2C1≠0 平行 k1=k2且b1≠b2 2-是8aB.c≠0 (该形式更直观，易对比) k1=k2且 AB2-A2B1=B2C1-BC2=AC2 重合 b1=b2 Ac=0始是8a,ac*0 重难拓展 重难点①根据条件灵活选择合适的方程形式 例①求满足下列条件的直线1的方程： (1)经过点P(1,2),倾斜角。的正弦值为 4 (2)经过点P(2,3),并且在两坐标轴上的截距相等； (3)经过点(1,1)，且直线的一个方向向量v=(一3,2). 解析(I)由题可知sina=手，则tana=土专 ,直线1经过点P(1,2), “直线1的方程为y一2=士号（红-1D。 即4x-3y+2=0或4x+3y-10=0. (2)①当截距为0时，直线1过点(0,0)，(2,3)， (载距为0时不能使用载距式方程，故需讨论) 则立线：的针率-日昌 50 第二章直线和圆的方程 ÷直线1的方程为y=,即3红-2)=0 ②当截距不为0时，可设直线1的方程为二十y=1(a≠0). :直线1过点P(2,3),2+3=1,解得a=5. 记方法@ a'a 求直线方程常用的方法是直 .直线l的方程为x十y-5=0. 接法和待定系数法，但在某些特 综上可知，直线L的方程为3x一2y=0或x十y-5=0. 定条件下，应考虑下面的求法： (3),直线1过点(1,1)，直线的方向向量v=(-3,2), (1)已知直线的斜率，常选 小直线的斜率=一2 用点斜式或斜截式； 31 (2)已知直线的横截距和纵 则直线1的方程为y一1=-。(x一1)，即2x十3y-5=0。◆园方法 截距（截距均不为0），可选用截 距式； 重难点(2常见的直线系方程 (3)已知直线过某点，常选用 条直线的确定需要两个独立条件.具有某个独立条件的所 点斜式，注意讨论斜率是否存在； 有直线的集合，称为直线系，它的方程称为直线系方程.如y一3= (4)仅知道直线的横截距， b(x十2)就是过点P(一2,3)且不垂直于x轴的所有直线，又如 常设方程形式为x=my十a(其 y=3x+b(b∈R)表示斜率为3的一组平行直线. 中a是横截距，m是参数)，注 意此种设法不包含斜率为0的 1.平行直线系 情况，且在后面要学的圆锥曲线 (1)平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系 章节中经常使用； (2)常见平行直线系方程形式 (5)已知直线上横、纵坐标均 ①斜率为的直线系方程为y=kx十b(k为常数，b为 不同的两点坐标，可选用两点式 参数) ②与直线Ax十By十C=0平行的直线系方程都能表示为 Ax十By十m=0(其中m为参数，且m≠C),我们可以依据题设 中另一个条件来确定m的值， ③过点P(xo,yo),且平行于直线Ax十By十C=0的直线方 程为A(x-xo)+B(y-yo)=0(Ax0+Byo+C≠0) 2.垂直直线系 (1)把平面内与已知直线垂直的直线的全体称为垂直直线系. (2)常见垂直直线系方程形式 ①与直线)y=kx十b(k≠0)垂直的直线系方程为y=一2 及x十 m(k≠0，m为参数)： ②与直线Ax十By十C=0垂直的直线方程可表示为Bx一 Ay十n=0,再由其他条件列方程求出n. ③过点P(xo,yo),且垂直于直线Ax十By十C=0的直线方 程为B(x-xo)-A(y-yo)=0. 51 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA。 3.中心直线系 (1)把平面内恒过定点的直线的全体称为中心直线系， (2)常见中心直线系方程形式 ①斜率存在（设为k)且过定点P(xo,yo)的直线系方程为 y-y0=k(x-x0). ②为避免对斜率是否存在进行讨论，过定点P(xo,yo)的直 线系方程还可设为A(x一xo)十B(y一yo)=0(A,B为参数). 拓视野⊙ 例2已知直线l:5ax一5y-a十3=0.求证：不论a为何值， 方向向量与直线的参数方程 直线1总经过第一象限」 如图，设直线【经过点 证明方法-将直线1的方程整型为y一号-a(c-》。 P,(xo,yo),v=(m,n)是它的一 个方向向量，P(xy)是直线l “直线1的针率为a,且过定点A(日)。 y 3 上的任意一点，则向量P。P与 而点A行·号》在第一象限（如因，故不论a为何位， 25 v共线.根据向量共线的充要条 件，存在唯一的实数t,使PP 直线l恒过第一象限， =tv,即(x-xo,y-yo）= 方法二直线l的方程可化为(5.x-1)a-(5y-3)=0. x=xo十mt, t(m,n),所以 ① 要使上式对任意的a总成立， y=yo+nt. 1 M /5x-1=0, x= 5 P(r,y) 必有 即 即直线L过定点A(号，). 5y-3=0, O 5 N /P(x,) 以下同方法一. 在①中，实数t是对应点P 培优突破 的参变数，简称参数 突破点①直线的参数方程◆拓视野 由上可知，对于直线1上的 任意一点P(x,y),存在唯一实 例③求下列直线方程 数t使①成立；反之，对于参数t (1)已知直线1过点M(2,一1)，且斜率为一1，点M在直线1 的每一个确定的值，由①可以确 上，若以MoM的模t为参数，求直线L的参数方程； 定直线1上的一个点P(x,y). x=1-2t, 我们把①称为直线的参数方程. (2)求直线1： (t为参数)的一般方程。 y=2+t 特别地，当直线（的倾斜角 为a,则直线1的一个方向向量 解析(1)，直线1的斜率为一1，∴.直线的倾斜角0=135°， 为y=(cosa,sina), .'.cos 0=- 2sin0=② 于是直线1的参数方程为 x=xo+tcos a, x-2 (t为参数). 2t, y=yo+tsin a .直线1的参数方程为 (t为参数) 由于v=(cosa,sina)为单 =1+ 位向量，所以t的几何意义为向 (2)消去参数方程中的t,可得一般方程为x十2y一5=0. 量PP的模 52 第二章直线和圆的方程 目111121111111H1 关键能力提升 11111i目i111i1 题型1直线的点斜式与斜截式方程及 1 解析因为直线L与直线y=2x十4垂直，所以 其应用 直线1的斜率k=一2. 1.利用直线的点斜式方程求直线方程 又因为直线y=x十6在y轴上的截距为6， 若能求得直线的斜率及直线上一点的坐 所以直线1在y轴上的截距为6. 标，可利用点斜式方程y一yo=k(x一xo)直接 所以直线1的方程为y=一2x十6， 写出直线方程. 即2x+y-6=0. 例④(2026·江西南昌二中月考)如图， 答案2x十y-6=0. 在平行四边形OABC中，C(1,3),A(3,0) 3.直线的斜截式方程的应用 (1)求直线AB的方程； y 例⑥已知k+b=0,≠0，则直线y ● (2)过点C作CD⊥AB B kx十b的图象可能是( D 于点D,求直线CD的方程， A 3-0=3. 解析（①）易得oc=1-0 O1234x 因为ABOC,所以AB=3. 又直线AB过，点A(3,0), 解析因为直线方程为y=kx十b,且k≠0，k十b 所以直线AB的方程为y=3(x一3)， =0,即b=一k, 即y=3x-9. 所以y=kx一k=k(x一1)，令y=0,得x=1, (2)由(1)知直线AB的斜率为3， 所以直线与x轴的交，点坐标为(1,0) 因为CDLAB,所以kcn=一3： 1 只有选项B中的图象符合要求.（也可由k,b的正、 负分析图象直接判断)》 又直线CD过，点C(1,3), 答案B 所以直线CD的方程为y一3= 总结反思】 3x-1), 根据，b的正、负分析斜率和截距的几何意 即y=一3x十3 1,10 义，k>0→直线呈上升趋势，k<0台→直线呈下降趋 势，k=0台直线呈水平状态；b>0台直线与y轴的 2.利用直线的斜截式方程求直线方程 交点在x轴上方，b<0台直线与y轴的交，点在x轴 直线的斜截式方程y=x十b不仅形式简 下方，b=0曰直线过原，点. 单，而且特点明显，是直线的斜率，b是直线 在y轴上的截距，只要确定了k,b的值，直线 题型(2 直线的两点式与截距式方程 的图象就一目了然了.另外直线的斜截式方程 及其应用 为y=kx+b,不要记成y=k(x十b). 1.利用直线的两点式方程求直线方程 例⑤(2026·东北师大附中检测)已知直 例7(2026·福建厦门大学附属实验中 学月考)已知△ABC的三个顶点分别为A(0, 线1与直线y=2x十4互相垂直，直线1与直 4),B(-2,6),C(-8,0). 线y=x十6在y轴上的截距相等，则直线1的 (1)求边AB所在直线的方程； 方程为 (2)求边AC上的中线BD(D为AC的中 53 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA。 点)所在直线的方程。 两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化 解析(1)由直线的两点式方程得，边AB所在直 为直线的一般式方程（化为一般式方程后原方 线的方程为-20。中工十y一40 程的限制条件就消失了)；反过来，也可以由直 线的一般式方程化为斜截式、截距式方程.（注意 (2)由题意得，点D的坐标为（一4,2）， 斜载式、截距式方程的适用条件) 由直线的两，点式方程得，BD所在直线的方程为 解决与图象有关的问题时，常通过把直线 y-2_x-(-4) 6-2 2-（-4,即2x-y十10=0. 的一般式方程化为斜截式，利用直线的斜率和 变式①求过点A(2,1)和点B(a,2)的直 纵截距作出判断。 线方程。 例9(1)设直线1的方程为2x十(k一3)y 2.利用直线的截距式方程求直线方程 2k+6=0(k≠3)，若直线1的斜率为一1，则 例⑧(2026·浙江慈溪中学月考)已知直 k ;若直线L在x轴、y轴上的截距 线1经过点P(4,3),且在两坐标轴上的截距相 之和等于0，则k= 等，求直线l的方程. (2)设直线l的方程为(a+1)x+y+2 解析当直线1过原点时，它在两坐标轴上的截距 a=0(a∈R),若l不经过第二象限，则实数a 都是0.（载距未明确范围，故要讨论） 的取值范围是 设直线方程为y=kx(k≠0)， 解析(1)因为直线1的斜率存在，所以直线1的 3 2 因为L过，点P(4,3),所以3=4k,故k= 41 方程可化为y=一二3x十2， 3 所以直线方程为y=4x. 由随意得623一1，每得及=5 当直线（不过原，点时，设直线的截距式方程为 直线1的方程可化为产3十之=1，由题意得二 +义=1(a≠0)， a 3十2=0，解得=1.（分别令x=0,y=0,得到直线1在 因为直线过，点P(4,3), y轴、x轴上的载距) 所以+名-1，所以a=7, (2)将直线L的方程化为y=一(a十1)x+a-2, a -(a+1)≥0， 则 解得a≤-1. 所以直线的方程为号+兰=1，即x十y=7. a-20, 答案(1)5；1. (2)(-∞，-1]. 综上，直线l的方程为3x一4y=0或x十y-7=0. 题型(4由直线的位置关系求方程或 总结反思 参数 当题设条件中涉及直线“在两坐标轴上的截距 1.由直线的位置关系求方程 相等”“截距的绝对值相等”“截距互为相反数”“截 距相差m”“截距有倍数关系”“与两坐标轴所围成 例10已知直线1的方程为3x十4y 的三角形的周长（或面积）”等时，我们常用直线方 12=0,求直线'的方程，使'满足： 程的截距式求解.此时要考虑直线的截距是否为0， (1)过点(-1,3)，且与1平行； (2)过点（一1,3），且与1垂直； 题型③直线的一般式方程及其应用 (3)'与1垂直，且'与两坐标轴围成的三 直线的一般式方程Ax十By十C=0中要： 角形面积为4. 求A,B不同时为O.由直线的点斜式、斜截式、 解析(1)方法一由1'与1平行，可设1'的方程 54 ● 第二章直线和圆的方程辑 为3x十4y+m=0(m≠-12)， 2.由直线的位置关系求参数 (平行直线系方程) 例1(1)当m为何值时，直线11：2x+ 将(-1,3)代入得m=-9, (m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0 .所求直线方程为3x十4y-9=0. 平行？ 方法二由'与1平行，且过点（一1,3）， (2)当a为何值时，直线11：(a十2)x十 则1'的方程为3(x十1)十4(y-3)=0, (1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+ 即3x+4y-9=0. 3)y+2=0垂直？ (2)方法-1的方程可化为y= 4x十3， 解析(1)方法-11：2x十(m+1)y十4=0， 山的韩率为一子， l2:mx+3y-2=0, 当m=0时，显然l1不平行于l2 由1与1垂直，得1的斜率为 (用此方法解题时，切勿忽略对含参数的分母是否为0的讨论) 又'过点(-1,3)，.由点斜式得直线'的方 当加0时，若，则杰名≠气① m 3 由①式得m2+m一6=0，解得m=2或m=-3. 程为y-3=号x+10即4红-3y十13=0， ∴.当m=-3或m=2时，l1∥l2. 方法二由与1垂直，可设1'的方程为4x一3y十 方法二若l1亿2，则需2×3-m(m十1)=0， n=0,将(-1,3)代入得n=13. (垂直直线系方程) (此方法可避免讨论) 解得m=-3或m=2. .所求直线方程为4x一3y+13=0. 当m=-3或m=2时，2×(-2)-m×4=-4 方法三由1'与1垂直，且过（一1,3）， 一4m≠0， 则1'的方程为4(x十1)一3(y一3)=0， ∴.当m=-3或m=2时，l1∥h2 即4x-3y+13=0. (2)方法一由题意得l1⊥12. 3 (3)1的方程可化为y= 4x+3, 当1-a=0,即a=1时，直线l1:3x-1=0与直 线12：5y+2=0显然垂直， 1的斜率为一4 3 当2a+3=0,即a=-3时，直线1：x十5y L,r=青 2=0与直线12：5x-4=0不垂直. 当1一a≠0且2a十3≠0时，直线l1,l2的斜率 设'在y轴上的截距为b, 老存在是= a-1 则直线'的方程为y= 3x+b, 2a+3 令y=0,可得1在z轴上的藏距为一， 音14时，·=-1，中(》 a-1 1 =-1,解得a=-1. 由题意可知，国成的三角形面积S=2·6· 2a+3 综上可知，当a=1或a=一1时，l1⊥l2. -6=4,6=士4 方法二，l1⊥l2,.(a十2)(a-1)十(1-a)· 31 (2a+3)=0,解得a=士1. 直线1的方程为y=告x+ 4 4 3或y=3x 故当a=1或a=-1时，l1⊥l2: 4√6 题型5直线方程的综合应用 31 例12(2026·浙江湖州中学单元检测)已 即4x-3y+4V6=0或4x-3y-4√6=0. 知A是直线l:y=3x上的第一象限内的一点， 55 :重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA B(3,2)为定点，直线AB交x轴的正半轴于点 所以SAoc=2·3nm2·3m=23m-21 1.7m 21m2 C,求使S△4oc最小的点A的坐标. 解析如图，设点A的坐标为(m,3m)(m>0). 设S△4oc的面积为S, 则21m2-6mS+4S=0. 又因为△=36S2一4×21×4S≥0， 即3S2-28S≥0，所以S≥28 当S28 ，m= >3,此时点A的坐标为 ①当直线AB不垂直于x轴时， 由两，点式得直线AB的方程为 (告 y-2_x-3( 3且m≠3. ②当直线AB与x轴垂直时，点A的坐标为(3， 9),此时S△40c= 27、28 7m 231 令y=0,得xc=3-2 综上所述，△A0C的面积的最小值为8，此时点 因为，点C在x轴的正半轴上， 7m 2 所以3m一2>0，即m>3 A的坐标为（4） 1IIIIEBB110BABB110101111011111111101311111111111101111010111311111111111 核心素养聚焦 1 考向（① 直线方程的应用 考向2 由直线的平行或垂直关系求 例13（经典·北京卷）已知点A(2,5), 直线方程 B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上，则2x一 例14（经典·福建卷改编）已知直线1过 y的最大值为( 点(0,3)，且与直线x+y十1=0垂直，则1的 A.-1 B.3 方程是( C.7 D.8 A.x+y-2=0 B.x-y+2=0 解析依题意可得kAB= 5-1 C.x+y-3=0 D.x-y+3=0 2-4 =一2，所以线段 解析方法一依题意得直线1的斜率为1，又直 lAB:y-1=-2(x-4),x∈[2,4]，即y=-2x+9, 线1过点(0,3)，所以直线1的方程为y-3=1X(x x∈[2,4]，故2x-y=2x-(-2x+9)=4x-9,x∈ 0),即x-y+3=0. [2,4]. 方法二因为直线1垂直于直线x十y十1=0， 设h(x)=4x-9,易知h(x)=4x-9在[2,4]上 所以可设直线1的方程为x一y十c=0,又直线l过，点 单调递增，故当x=4时，h(x)mx=4X4-9=7. (0,3),则c=3.故直线1的方程是x-y十3=0. 答案C 答案D 考查内容 核心素养 试题难度 考查内容 核心素养 试题难度 考查直线方程以及函数与 直观想象、数 考查直线的垂直条件以及逻辑推理、数 ★★★☆☆ 方程的思想方法 学运算 ★★☆☆☆ 直线方程的求解 学运算 56己。由4山可知4=号×名。=-1， 2 整理可得a+6-a山，即2。之-日+号-1， 则题+0=(3+26)（日+号）=7+0+号≥片 2×g-+4 ,事6=5a,南a=后+1,6=2+后衣等 即3a+2b的最小值是7十4V3. 培优突破练 1. 1 ·[由题中条件可得kaA=bam=之，kac=k=一2，且 OA,CB,OC,AB不重合，所以OACB,OCAB,所以四边 形OABC为平行四边形，如图，连接DE,BD y 因为OA=OC=√5，所以平行四边形OABC为菱形.因为 ka4·kc=一1，所以OA⊥OC,所以菱形OABC为正方形. 因为D为边OA的中点，△DBE是以角B为顶角的等腰三 角形，所以E必为边0C的中点，则D(1,号），E(-2,小， 所以加g=ana=kB= 3-14、 cos a + =3>0.由题意得ina> 0,所以cosa>0.因为sin2a十cos2a=1,解得sina=5, 4 cos a=- 。(负根舍去)，直线DB与x轴垂直，则B=90,所 诱导公式 以sma+0=如a+90)=se=号] 2.2直线的方程 变式训练 [变式1们①当a=2时，A,B两点的横坐标均为2， 切勿忽略斜率不存在的情汉 直线AB垂直于x轴，故所求直线的方程为x=2,即x一 2=0. ②当a≠2时，由直线方程的两点式可得)}-乙一号， 2-1a-2' 整理得x+(2-a)y+a一4=0. (*) 又当a=2时，(*)式可化为x一2=0， 所以综合①②可知，所求直线方程为x十(2-a)y十a-4=0. 基础过关练 1.C2.D 3.AB[在直线l:x=y十1中，令y=0,则x=1,所以直线l 22 过定点(1,0)，故A正确；当m=0时，直线l:x=1,此时直 线l的斜率不存在，故B正确；当m=√3时，直线l:x= 5y十1，所以直线1的斜率为号，银斜角为0，故C馆误： 当m=2时，直线1：x=2十1，令x=0,得y=一号，即直线 1在)轴上的截距为一2，放D钻误] 4.A 载距不是距高，直线在y轴上的载距即为直线与y轴交 点的纵坐标 5专十之-1[由题意知m>0,4一m>0,所以直线1：后+ m ,义=1与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积S= 4-m ”基本不等式 m(4-m)≤号·(m+号m）°=2，当且仅当m=4-m, 1 .1 、2 即m=2时取等号，此时围成的三角形的面积最大，此时直 线1的方程是受+之-1.] 6.(1)已知11，则可设直线l1的方程为3x十2y+m=0(m≠ -2),又11过点P(2,-1), 所以3×2+2×(-1)十m=0,解得m=一4， 所以直线11的方程为3x十2y-4=0. (2)若l2⊥l,则可设直线12的方程为2x一3y十n=0, 又12过点P(2,-1), 所以2×2-3×(-1)十n=0,解得n=-7, 所以直线l2的方程为2x-3y-7=0. 综合提能练 1.ACD[当a=0时，两直线方程分别为y=1和x=2,此时 也满足两直线互相垂直，故A错误；直线的斜率k=一sina, 则-1≤1，即-1≤am<1,则9e[0,]U[至， 故B正确；当x1=x2或y1=y2时，直线方程为x=x1或 y=y1,此时直线不能用两点式方程表示，故C错误；若直线 过原点，则直线方程为y=x,此时也满足条件，故D错误.] 2.C[如图，由△ABC的顶点Ax+2y-3=0 y (一3,0)，B(3,0),C(3,3)知， △ABC的重心为(-3+3+3 3 B ax+(a-3)y-9=0 0十0+3 3 ),即(1,1).因为 BC⊥AB,所以△ABC为直角三角形，所以外心为斜边AC 的中点（去，0告），即(6，号），所以可得△AC的欧 成方型为等国十名手国男线红十 2 a-3y-9=0与x+2y-3=0平行，所以号=a23≠ 二9解得a=-3]