第1章 空间向量与立体几何 单元复习归纳-【重难点手册】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA。 单元复习归纳 1111110110111111011 知识体系构建 IIII 空间向量的相关概念 空间向量及其运算 线性运算 空间向量的运算 空 数量积运算 空间向量基本定理 量与 空间向量的坐标表示 空间向量及其运算的坐标表示 空间向量的坐标运算 体 点的位置向量、直线的向量表示、平面的向量表示 何 平面的法向量 空间向量的应用 用向量方法讨论立体几何中的位置关系 用向量方法研究立体几何中的度量关系 BIIII01000100111111111111111101111011011111111011011111110100111 高考创新题型 111111A11111110111111111011111111111101110111110101111111111110101111001111 因为AB=AC+CD+DB, 例①[新情境]设A,B是曲线y=x+ 所以AB=AC2+CD2+DB2+2AC.CD十 上关于坐标原点对称的两点，将平面直角坐标 2AC.DB+2CD·DB 系沿x轴折叠，使得上、下两半部分所成的二 =2n+品)°+4m2-2(m+品）(m+)os60 面角为60°，则AB2的最小值为( ) A.2 B.2√2+2 (m+动+m=5m++2≥2 C.25+2 D.4 +2=25+2, 解析设A(mm+),B(m,m小m>0。 所以|AB|2的最小值为2√5+2. 答案C 如图，在平面直角坐标系中，过，点A作AC⊥x轴 例2[新定义]在空间直角坐标系 于点C,过点B作BD⊥x轴于点D, Oxyz中，经过点P(xo,y0,之0)且法向 CAI=IDBI=1+m,I CDI=2m,CAL 量为m=(A,B,C)的平面方程为 CD,DB⊥CD, A(x-xo)+B(y-yo)+C(之-之o)=0,经过 折叠后即有(CA,DB)=60° 点P(xo,yo之o)且一个方向向量为n=(,, y w)(w≠0)的直线1的方程为2-x0=y一y0 0 =之一.阅读上面的材料并解决下面问题：现 给出平面a的方程为ax十(a一1)之一7=0 38 第一章空间向量与立体几何通 a∈R),经过0,0,0)的直线1的方程为写 bXa相反的向量；②aXb=a b sin〈a, b)(a,b》为向量a与b的夹角). 之=兰3则当a变化时，直线1与平面e所成 D 角的正弦值最大时，平面α的方程为 解析由题意知，平面a的法向量m=(a,0,a 1),直线1的方向向量n=(3,2,-3), 所以直线l与平面α所成角的正弦值为 图1 m·n 3 |cosm,n〉|= (1)求证：a×b=√/a2b2-(a·b)2; mn/22X√a2+(a-1)9 (2)如图1，已知在棱长均为1的平行六面 √22×√/2a2-2a+1 体ABCD-A1B1C1D1中，∠BAD=∠BAA1= 对于二次函数y=2a2一2a十1，其图象是一条开 ∠A1AD=60°，计算(ABXAD)·AA1 口向上的鹅物钱，对格销为直线Q-司 的值，并解释其几何意义； (3)有一正四面体的四个顶点分别在四个 当a=2时，函数y=2a2-2a十1取到最小值， 平行平面a1,a2,a3,a4上，且两相邻平行平面 距离为1，求该四面体的棱长. 且最小值为2， 1 解析(1)a×b|=|a||b sin(a,b>, 此时直线1与平面α所成角的正弦值取到最大 √ab2-(a·b) 值，最大值为 3 3√11 =√a2|b2-a2b2cos2(a,b〉 22×N2 119 =va26|2sin2(a,b>=alblsin(a,b). 对应平面a的方程为x一之一14=0. 故等式得证。 答案x一之-14=0. (2)设AB=a,AD=b,AA1=c,由定义可得底 例3[新定义](2026·湖北武钢 面ABCD的面积SARCD=aXb|, 因为aXb为同时与a,b垂直的向量， 三中单元检测)向量作为一种重要的数 故aXb为底面ABCD的法向量， 学工具，在代数与几何中发挥着重要的桥梁作 则平行六面体的高h= (aXb)·c 用，不仅在平面几何学中有着广泛的应用，在 axb, 物理学、工程学和计算机科学等领域也同样发 所以平行六面体的体积V=|aXb|· 挥着重要的作用.它们通过向量的运算，使得 (aXb)·c =|(aXb)·c. axb 我们能够描述和分析现实世界中的各种现象 因为∠BAD=∠BAA1=∠A1AD=60°， 和问题.其中数量积的运算就很好地解决了物 所以，点A1在底面的投影为ABD的重心，易得 理中做功的概念，其运算结果是一个实数.向 cos(axb,c)= √6 3 量在空间中还有一种运算，其运算结果仍是一 所以V=|(a×b)·c|=|a|·1b|·|c|· 个向量，即向量的叉积（外积），记作a×b.规 定：①aXb为同时与a,b垂直的向量，且与 sin(a,b).cos(axbc)x6 =2X3=2 39 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA 所以x而·A-号其几何意义为以 sin(a,b)cos(axb,c)=1273 向量AB,AD,AA]构成的平行六面体ABCD Vacn=6(aX2b)·3cl A1B1C1D1的体积. (3)如图2，设正四面体ABCD的棱长为1，其中 721 A∈a1,B∈a2,C∈a3,D∈a4, 同理，VA-C D,= 设AB=a,AC=b,AD=c,且平面a2与AC交 于点C1,与AD交于点D1, 专c×Bdi=(2b-a×传e-a外 由(1)可得|aXb|=√a2b2-(a·b)2, 所以（份0-a)°-是+-a…b=至户， (后c-a)=gr+r号ae=名r,(-a: 图2 (e--iei 故有AC=之b,AD-言c,又由2)可得 所以v(保名r--, m君a×be1专a611e·9票-号，解得1=而 40