奥数培优·第14讲 最不利原则——极端思想与抽屉原理(讲义)-2025-2026学年四年级下册数学人教版

【人教版】小学四年级下册奥数培优讲义·第14讲 最不利原则——极端思想与抽屉原理前言 华罗庚说："宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。" 同学们，你们有没有玩过摸球游戏？有没有想过，最少摸出几个球，才能保证一定有两个颜色相同？ 这类问题看起来简单，但很多同学都会答错。为什么呢？因为大家总是从"最幸运"的情况去想，而题目要求的是"保证"，也就是从"最倒霉"的情况去考虑。 这就是我们今天要学习的"最不利原则"，也叫"最坏情况原则"。它是一种非常重要的数学思想，能帮助我们解决很多有趣的问题！ 【教学目标】 一、知识与技能 理解最不利原则的含义;掌握最不利原则的解题方法; 能运用最不利原则解决各类实际问题 二、过程与方法 经历"找最不利情况→再加1→保证成功"的解题过程; 培养极端思想和逻辑推理能力;学会分类讨论和有序思考 三、情感态度与价值观 感受数学思想的奇妙作用;体会"以不变应万变"的数学智慧 培养勇于探索、善于思考的学习品质 【教学重难点】 重点：掌握最不利原则的解题方法，找到最不利情况 难点：分析复杂问题中的最不利情况，确保"保证"成立 【高频易错总提示】 易错点1：从"最有利"情况考虑，而不是"最不利"情况！题目说"保证"，就要想最坏情况！ 易错点2：忘记"再加1"！最不利情况都不满足，再加1个就一定满足了！ 易错点3：数量不同的物品，最不利情况不是各取一半，而是少的全取，多的尽量取！ 易错点4："两双"和"两只"不一样！两双是4只同色，不是2只！ 易错点5：环形座位和直线座位不一样！环形首尾相连，要注意！ 一、知识点总结 1. 什么是最不利原则 最不利原则，也叫"最坏情况原则"，就是从最倒霉、最不利的情况出发来考虑问题。 当题目中出现"保证"、"至少"、"一定"等词语时，就要用到最不利原则。 2. 最不利原则的核心思想 核心公式：最不利情况 + 1 = 保证成功的最少数量 意思是：先找出最倒霉、最不满足条件的情况，这时候再多拿1个，就一定满足条件了！ 3. 四大常考题型 题型 特点 解题关键 摸球同色型 多种颜色的球，保证有几个同色 每种颜色各取(目标-1)个，再加1 数量不同型 各种颜色数量不一样 少的全取，多的尽量取，再加1 座位相邻型 座位上坐人，保证新来的必相邻 每隔2个座位坐1人，找规律 配对匹配型 钥匙开锁、袜子配对等 最不利情况：每次都试错，最后才对 4. 通用解题四步法 最不利原则解题口诀：找→算→加→验 1. 找：找最不利情况（最倒霉的情况） 2. 算：算出最不利情况有多少个 3. 加：再加1个，就一定满足条件了 4. 验：验证一下，确保正确 5. 小技巧集锦 技巧1：看到"保证"、"至少"、"一定"，就想到最不利原则！ 技巧2：最不利情况就是"差一点就成功"的情况 技巧3：数量相同的物品，每种各取(目标-1)个 技巧4：数量不同的物品，少的全取，多的取(目标-1)个 技巧5："两双"是4只同色，不是2只！不要搞混！ 技巧6：算完一定要加1！这是最容易忘的一步！ 二、经典例题 标注说明：★基础 / ★★提升 / ★★★拔高 / ★★★★挑战 【例1 摸球同色型】★基础 【题目】 口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？ 【解题思路】 题目说"保证"，就要用最不利原则。 最不利的情况是什么呢？就是每种颜色都摸了3个，这时候还没有4个同色的。 这时候再摸1个，不管是什么颜色，那种颜色就有4个了。 【完整解析】 第一步：找最不利情况 要"保证至少有4个小球颜色相同"，最不利的情况就是： 每种颜色都摸了3个，这时候还没有4个同色的。 3种颜色，每种3个，一共摸了：3×3 = 9（个） 第二步：再加1个 这时候再摸1个球，不管是红、黄、蓝哪种颜色，那种颜色就有4个了。 所以最少摸出：9 + 1 = 10（个） 第三步：验证 摸9个球，可能是3红+3黄+3蓝，没有4个同色的，所以9个不能保证。 摸10个球，最不利的情况是3+3+4，一定有4个同色的，所以10个能保证。 答：一次最少摸出10个球，才能保证至少有4个小球颜色相同。 🚀随堂小练1 口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝、绿四种颜色的小球各10个。问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有3个小球颜色相同？ 【方法总结】 摸球同色型解题步骤： 1. 看有几种颜色 2. 每种颜色各取(目标-1)个 3. 算出最不利情况的总数 4. 再加1个，就是答案 5. 验证：少1个能不能保证？不能，就对了 公式：最不利数 = 颜色数 × (目标数 - 1) 答案：最不利数 + 1 关键：看到"保证"，就想最不利原则！ 【例2 数量不同型】★★提升 【题目】 口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18个。其中红球3个、黄球5个、蓝球10个。现在一次从中任意取出n个，为保证这n个小球至少有5个同色，n的最小值是多少？ 【解题思路】 这道题和例1不一样，三种颜色的球数量不一样多。 红球只有3个，不够5个，所以最不利的情况是：红球全取，黄球和蓝球各取4个。 这时候再取1个，只能是黄球或蓝球，就有5个同色了。 【完整解析】 第一步：分析各种颜色的数量 红球：3个（不够5个） 黄球：5个（够5个） 蓝球：10个（够5个） 第二步：找最不利情况 要"保证至少有5个同色"，最不利的情况就是： 红球全取：3个（因为只有3个，取不到4个） 黄球取4个（差1个到5个） 蓝球取4个（差1个到5个） 一共：3 + 4 + 4 = 11（个） 第三步：再加1个 这时候再取1个球，红球已经没有了，所以只能是黄球或蓝球。 如果是黄球，黄球就有5个了；如果是蓝球，蓝球就有5个了。 所以最少取：11 + 1 = 12（个） 第四步：验证 取11个球，可能是3红+4黄+4蓝，没有5个同色的，所以11个不能保证。 取12个球，最不利的情况是3红+4黄+5蓝，一定有5个同色的，所以12个能保证。 答：n的最小值是12。 🚀随堂小练2 口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球共20个，其中红球4个、黄球6个、蓝球10个。问：一次最少取出几个，才能保证至少有6个小球颜色相同？ 【方法总结】 数量不同型解题步骤： 1. 看每种颜色有多少个 2. 不够目标数的，全取 3. 够目标数的，各取(目标-1)个 4. 算出最不利情况的总数 5. 再加1个，就是答案 6. 验证：少1个能不能保证？不能，就对了 关键：数量少的全取，数量多的取(目标-1)个！ 【例3 座位相邻型】★★提升 【题目】 一排椅子只有15个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已就座的人相邻。问：在乐乐之前已就座的最少有几人？ 【解题思路】 这道题要找"最少有几人"，但又要保证"乐乐无论坐哪都相邻"。 我们可以用最不利原则来想：怎么坐人最少，但又能覆盖所有座位？ 规律是：每隔2个座位坐1个人，这样每个人能左右各"管"1个座位。 【完整解析】 第一步：找规律 我们给座位编号：1、2、3、4、5、……、15 如果2号座位有人，那么1号、2号、3号座位都"被覆盖"了（坐这三个都会和2号相邻）。 如果5号座位有人，那么4号、5号、6号座位都"被覆盖"了。 发现规律：每3个座位坐1个人，坐在中间，就能覆盖这3个座位。 第二步：计算 15个座位，每3个坐1人，一共需要：15 ÷ 3 = 5（人） 坐在2号、5号、8号、11号、14号。 第三步：验证 2号有人 → 覆盖1、2、3号 5号有人 → 覆盖4、5、6号 8号有人 → 覆盖7、8、9号 11号有人 → 覆盖10、11、12号 14号有人 → 覆盖13、14、15号 所有15个座位都被覆盖了！ 乐乐无论坐哪个座位，都将与已就座的人相邻。 第四步：能不能更少？ 如果只有4个人，最多覆盖：4×3 = 12个座位，不够15个。 所以5个人是最少的。 答：在乐乐之前已就座的最少有5人。 🚀随堂小练3 一排椅子共有18个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已经就座的人相邻。问：在乐乐之前已就座的最少有几人？ 【方法总结】 座位相邻型解题步骤： 1. 直线座位：每3个座位坐1人，坐在中间 2. 公式：最少人数 = 座位数 ÷ 3（有余数就加1） 3. 验证：每个人覆盖左右各1个，共3个 4. 注意：环形座位和直线座位不一样！ 直线座位公式：最少人数 = ⌈座位数 ÷ 3⌉（向上取整） 关键：每隔2个坐1个，坐在中间，覆盖范围最大！ 三、拓展例题 标注说明：★★★拔高 / ★★★★挑战 【拓展1 钥匙开锁问题】★★★拔高 【题目】 一把钥匙只能开一把锁，现有10把钥匙和10把锁，最少要试验多少次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配？ 【解题思路】 题目说"一定能"，就要用最不利原则。 最不利的情况是什么呢？就是每次试钥匙，都要试到最后一把才对。 第一把锁，最不利要试9次（前9把都不对，第10把一定对，不用试）。 第二把锁，最不利要试8次…… 最后加起来就是答案。 【完整解析】 第一步：分析第一把锁 有10把钥匙，要找到能开第一把锁的钥匙。 最不利的情况：试了9把都不对，那第10把一定对，不用再试了。 所以第一把锁最多试9次。 第二步：分析第二把锁 现在还剩9把钥匙和9把锁。 最不利的情况：试了8把都不对，第9把一定对。 所以第二把锁最多试8次。 第三步：以此类推 第三把锁：最多试7次 第四把锁：最多试6次 …… 第九把锁：最多试1次 第十把锁：只剩1把钥匙，不用试，一定对。 第四步：计算总次数 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45（次） 第五步：验证 这是最不利的情况，也就是最多需要的次数。 如果运气好，可能更少，但题目说"一定能"，就要按最多的算。 答：最少要试验45次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配。 🚀随堂小练4 一把钥匙只能开一把锁，现有8把钥匙和8把锁，最少要试验多少次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配？ 【方法总结】 钥匙开锁问题解题步骤： 1. 第一把锁：最多试(n-1)次 2. 第二把锁：最多试(n-2)次 3. …… 4. 最后一把锁：不用试 5. 把所有次数加起来 公式：总次数 = (n-1) + (n-2) + …… + 2 + 1 = n×(n-1)÷2 关键：最后一把不用试，因为只剩一把钥匙了！ 【拓展2 扑克牌花色问题】★★★拔高 【题目】 在一副扑克牌中，最少要取出多少张，才能保证取出的牌中四种花色都有？ 【解题思路】 一副扑克牌有54张：4种花色各13张，加大小王2张。 要"保证四种花色都有"，最不利的情况是什么呢？ 就是把三种花色全取完，再加上大小王，这时候还只有三种花色。 这时候再取1张，就一定是第四种花色了。 【完整解析】 第一步：一副扑克牌有多少张？ 四种花色：红桃、黑桃、方块、梅花，各13张。 大小王：2张。 一共：13×4 + 2 = 54（张） 第二步：找最不利情况 要"保证四种花色都有"，最不利的情况就是： 把三种花色全取完，再加上大小王。 三种花色：13×3 = 39（张） 大小王：2张 一共：39 + 2 = 41（张） 这时候只有三种花色，还没有四种。 第三步：再加1张 这时候再取1张，剩下的牌只有第四种花色了，所以一定是第四种花色。 所以最少取：41 + 1 = 42（张） 第四步：验证 取41张，可能是3种花色+大小王，没有第四种花色，所以41张不能保证。 取42张，最不利的情况是3种花色+大小王+1张第四种，一定有四种花色，所以42张能保证。 答：最少要取出42张，才能保证取出的牌中四种花色都有。 🚀随堂小练5 在一副扑克牌中，最少要取出多少张，才能保证取出的牌中至少有2张牌的花色相同？ 【方法总结】 扑克牌问题解题步骤： 1. 记住一副牌的构成：4花色各13张+大小王2张=54张 2. 找最不利情况：把不要的全取完 3. 再加1张，就是答案 4. 验证：少1张能不能保证？不能，就对了 关键：大小王是"特殊牌"，最不利情况要把它们也算进去！ 【拓展3 货物运输问题】★★★★挑战 【题目】 若干箱货物总重19.5吨，每箱重量不超过353千克，今有载重量为1.5吨的汽车，至少需要多少辆，才能确保这批货物一次全部运走？ 【解题思路】 题目说"确保"，就要用最不利原则。 最有利的情况：每箱300千克，每辆车装5箱，正好1.5吨，13辆车就够了。 但题目说"确保"，就要考虑最不利的装箱情况，也就是每辆车装得最少的情况。 最不利的情况：每箱比300千克多一点，比如301千克，这样每辆车只能装4箱，装5箱就超重了。 【完整解析】 第一步：最有利的情况 如果每箱重量是300千克（1500的约数），那么每辆车能装：1500 ÷ 300 = 5（箱） 正好满载，需要：19500 ÷ 1500 = 13（辆） 但这是最有利的情况，不能"确保"。 第二步：找最不利的情况 要"确保"，就要考虑最坏的装箱情况，也就是每辆车运得最少的情况。 因为353×4 = 1412千克 < 1500千克，353×5 = 1765千克 > 1500千克 所以每辆车至少能装4箱。 最不利的情况：每箱重量略大于300千克，比如301千克，这样每辆车只能装4箱（装5箱就1505千克，超重了）。 每辆车装：301×4 = 1204（千克） 空载：1500 - 1204 = 296（千克） 这就是最不利的情况，每辆车运得最少。 第三步：计算需要多少辆车 总重19.5吨 = 19500千克 按最不利情况，每辆车运1204千克 需要：19500 ÷ 1204 = 16（辆）……236（千克） 16辆车运不完，还剩236千克。 但每辆车空载296千克，所以剩下的236千克可以塞进任意一辆车里。 所以一共需要16辆车。 第四步：验证 15辆车够吗？最不利情况，15辆车最多运：15×1204 = 18060千克 < 19500千克，不够。 16辆车：16×1204 = 19264千克，加上空载空间，足够装下19500千克。 答：至少需要16辆汽车，才能确保这批货物一次全部运走。 🚀随堂小练6 10吨货物分装若干箱，每只箱子重量不超过1吨。为了确保将这批货物一次运走，最少要准备几辆载重量为3吨的汽车？ 【方法总结】 货物运输问题解题步骤： 1. 先算最有利情况（每车满载） 2. 再找最不利情况（每车装得最少） 3. 按最不利情况计算需要多少辆车 4. 验证：少一辆行不行？不行，就对了 关键：题目说"确保"、"保证"，就要按最坏情况算！ 四、易错题专区 这些是同学们最容易出错的题目，一定要仔细看哦！ 【易错题1 忘记"再加1"】★★提升 【题目】 口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球各10个。小明说："最少摸出9个球，就能保证至少有3个小球颜色相同。"小明说得对吗？为什么？ 常见错误 有同学说："对呀，3×3=9，所以9个就够了。" 错在哪里？ 9个球，可能是3红+3黄+3蓝，这时候每种颜色都是3个，确实有3个同色的。但不是最少的。 题目问的是"最少摸出几个"，所以答案应该是7个，不是9个。 正确答案 最不利情况：每种颜色各2个，一共2×3=6个。 再加1个：6+1=7个。 所以最少摸出7个，就能保证至少有3个小球颜色相同。 小明说9个，不对，7个就够了（9个也能保证，但不是最少的）。 正确答案：不对，最少7个就够了。 【避坑提醒】 最不利情况是"差一点就成功"，不是"各取一半"！ 目标是n个同色，最不利就是每种各取(n-1)个，再加1！ 【易错题2 数量不同搞混】★★提升 【题目】 口袋里有红球4个、黄球6个、蓝球10个。小红说："最少摸出10个球，就能保证至少有5个小球颜色相同。"小红说得对吗？为什么？ 常见错误 有同学说："对呀，3种颜色，每种4个，4×3=12，再加1=13个。" 还有同学说："不对，红球只有4个，所以红球全取，黄球蓝球各4个，4+4+4=12，再加1=13个。" 错在哪里？ 第二种思路是对的，但答案是13个，不是10个。 小红说10个，不对。 我们来验证一下： 取10个球，可能是4红+3黄+3蓝，这时候没有5个同色的，所以10个不能保证。 正确答案 红球只有4个，不够5个，所以全取：4个 黄球取4个（差1个到5个） 蓝球取4个（差1个到5个） 最不利情况：4+4+4=12个 再加1个：12+1=13个 所以最少摸出13个，才能保证至少有5个小球颜色相同。 正确答案：不对，最少13个才能保证。 【避坑提醒】 数量不同的，少的全取，多的取(目标-1)个！ 不要每种都取一样多，因为有的不够！ 【易错题3 "两双"和"两只"搞混】★★★拔高 【题目】 口袋里有三种颜色的筷子各10根。小刚说："最少取4根，就能保证有颜色相同的两双筷子。"小刚说得对吗？为什么？ 常见错误 有同学说："对呀，两双就是2只，3种颜色各取1只，再加1只，4只就有两双了。" 错在哪里？ "两双"和"两只"不一样！ 一双是2只，两双就是4只同色的！ 不是2只，是4只！ 4根筷子，最多可能是3种颜色各1只+1只，也就是有1种颜色2只，其他两种各1只。 这时候只有1双，不是两双。 正确答案 "两双"就是4只同色的。 最不利情况：每种颜色各3只，一共3×3=9只。 这时候每种颜色都是3只，只有1双半，还没有两双。 再加1只：9+1=10只。 这时候一定有一种颜色有4只，也就是两双。 所以最少取10根，才能保证有颜色相同的两双筷子。 正确答案：不对，最少10根才能保证有颜色相同的两双筷子。 【避坑提醒】 "两双"是4只同色，不是2只！ 一双=2只，两双=4只，三双=6只…… 不要把"双"和"只"搞混了！ 五、趣味挑战题 【挑战题 神奇的抽屉原理】★★★★挑战 同学们，最不利原则其实是"抽屉原理"的一种应用哦！ 抽屉原理是什么呢？简单说就是：把n+1个苹果放进n个抽屉里，至少有一个抽屉里有2个或更多的苹果。 🌟 挑战一： 在任意13个人中，至少有2个人的生日在同一个月。为什么？ 提示：一年有12个月，相当于12个抽屉…… 🌟 挑战二： 在任意367个人中，至少有2个人的生日在同一天。为什么？ 提示：一年最多366天（闰年）…… 🌟 挑战三： 从1到10这10个自然数中，任意取出6个数，其中一定有两个数的和是11。为什么？ 提示：把和为11的数配成对，看看有几对…… 🤔 思考题： 生活中还有哪些地方用到抽屉原理？ 比如：学校里有多少个学生，就一定有两个人同一天生日？ 和你的家人朋友一起讨论一下吧！ 【参考答案】 挑战一：12个月相当于12个抽屉，13个人相当于13个苹果，13>12，所以至少有2个人在同一个月过生日。 挑战二：一年最多366天，相当于366个抽屉，367个人>366，所以至少有2个人同一天生日。 挑战三：和为11的数对有(1,10)、(2,9)、(3,8)、(4,7)、(5,6)，共5对，相当于5个抽屉，取6个数，6>5，所以至少有一对都被取到，和为11。 思考题：答案不唯一，合理就行！ 六、一题多解精选 【经典题 座位相邻问题】★★提升 【题目】 一排椅子只有15个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已就座的人相邻。问：在乐乐之前已就座的最少有几人？ 解法一：分组法（推荐） 思路：每3个座位一组，每组坐1个人，坐在中间。 步骤： 15个座位，每3个一组，分成5组 每组坐1个人，坐在中间 一共需要5个人 答案：5人。 优点：简单直观，容易理解。 解法二：画图法 思路：画15个座位，一个个试，看看最少坐几个人。 步骤： 座位 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 坐人 ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ （坐在2、5、8、11、14号） 每个人左右各覆盖1个座位，一共覆盖3个。 5个人覆盖15个座位。 答案：5人。 优点：直观形象，不容易错。 缺点：座位多的时候画起来麻烦。 解法三：公式法 思路：总结规律，直接用公式。 步骤： 直线座位最少人数 = 座位数 ÷ 3（有余数就加1） 15 ÷ 3 = 5（人） 答案：5人。 优点：计算快，适合大数。 缺点：要记住公式，容易和环形搞混。 【方法对比】 分组法：最常用，最通用，推荐使用 画图法：直观，好理解，但座位多了麻烦 公式法：计算快，但要记清楚公式 小学阶段推荐用分组法，既好理解又通用！ 七、基本练习 （共5题，建议用时：30分钟） 第1题 ★基础 口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。问：一次最少摸出几个，才能保证至少有5个小球颜色相同？ 第2题 ★★提升 口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共20个，其中红球4个、黄球6个、蓝球10个。问：一次最少取出几个，才能保证至少有6个小球颜色相同？ 第3题 ★★提升 一排椅子共有18个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已经就座的人相邻。问：在乐乐之前已就座的最少有几人？ 第4题 ★★提升 在一副扑克牌中，最少要取出多少张，才能保证取出的牌中至少有2张牌的点数相同？ 第5题 ★★★拔高 口袋里有三种颜色的筷子各10根。问：至少取几根才能保证有颜色相同的两双筷子？ 八、拓展练习 （共3题，建议用时：35分钟） 第1题 ★★★拔高 一把钥匙只能开一把锁，现有10把锁和其中的9把钥匙，要保证这9把钥匙都配上锁，至少需要试验多少次？ 第2题 ★★★拔高 一张圆桌有12个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已经就座的人相邻。问：在乐乐之前已就座的最少有几人？ 第3题 ★★★★挑战 10吨货物分装若干箱，每只箱子重量不超过1吨。为了确保将这批货物一次运走，最少要准备几辆载重量为3吨的汽车？ 九、随堂小练答案 随堂小练1 答案 答案：9个 解析： 4种颜色，要保证至少3个同色。 最不利情况：每种颜色各2个，一共4×2=8个。 再加1个：8+1=9个。 验证：8个可能是2+2+2+2，没有3个同色；9个一定有3个同色。 答：一次最少摸出9个球，才能保证至少有3个小球颜色相同。 随堂小练2 答案 答案：15个 解析： 红球4个（不够6个），黄球6个，蓝球10个。 最不利情况：红球全取4个，黄球取5个，蓝球取5个。 一共：4+5+5=14个。 再加1个：14+1=15个。 验证：14个可能是4红+5黄+5蓝，没有6个同色；15个一定有6个同色。 答：一次最少取出15个，才能保证至少有6个小球颜色相同。 随堂小练3 答案 答案：6人 解析： 直线座位，每3个座位坐1人。 18÷3=6（人） 坐在2、5、8、11、14、17号。 验证：每个人覆盖3个座位，6个人覆盖18个座位。 答：在乐乐之前已就座的最少有6人。 随堂小练4 答案 答案：28次 解析： 8把钥匙8把锁。 第一把锁：最多试7次 第二把锁：最多试6次 …… 第七把锁：最多试1次 第八把锁：不用试 总次数：7+6+5+4+3+2+1=28（次） 答：最少要试验28次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配。 随堂小练5 答案 答案：7张 解析： 一副扑克牌有4种花色+大小王。 最不利情况：大小王2张+4种花色各1张，一共2+4=6张。 这时候每种花色各1张，还没有2张同花色的。 再加1张：6+1=7张。 验证：6张可能是大小王+4种花色各1张，没有2张同花色；7张一定有2张同花色。 答：最少要取出7张，才能保证取出的牌中至少有2张牌的花色相同。 随堂小练6 答案 答案：5辆 解析： 最有利情况：每箱1吨，每车装3箱，正好3吨，需要4辆（10÷3≈3.33，向上取整4辆）。 但题目说"确保"，要考虑最不利情况。 最不利情况：每箱略大于0.75吨，这样每辆车只能装3箱（装4箱就超过3吨了）。 每车装：0.75+×3≈2.25+吨 10吨货物，按每车2.25吨算，需要：10÷2.25≈4.44，向上取整5辆。 验证：4辆车最多装4×3=12箱，如果每箱0.8吨，12箱=9.6吨<10吨，4辆不够。 5辆车可以装15箱，足够装下10吨货物。 答：最少要准备5辆载重量为3吨的汽车。 十、基本练习完整分步答案 第1题 答案：13个 解析： 3种颜色，要保证至少5个同色。 最不利情况：每种颜色各4个，一共3×4=12个。 再加1个：12+1=13个。 验证：12个可能是4+4+4，没有5个同色；13个一定有5个同色。 答：一次最少摸出13个，才能保证至少有5个小球颜色相同。 第2题 答案：15个 解析： 红球4个（不够6个），黄球6个，蓝球10个。 最不利情况：红球全取4个，黄球取5个，蓝球取5个。 一共：4+5+5=14个。 再加1个：14+1=15个。 验证：14个可能是4红+5黄+5蓝，没有6个同色；15个一定有6个同色。 答：一次最少取出15个，才能保证至少有6个小球颜色相同。 第3题 答案：6人 解析： 直线座位，每3个座位坐1人。 18÷3=6（人） 坐在2、5、8、11、14、17号。 验证：每个人覆盖3个座位，6个人覆盖18个座位。 答：在乐乐之前已就座的最少有6人。 第4题 答案：16张 解析： 一副扑克牌有13种点数（A到K），加大小王。 最不利情况：大小王2张+13种点数各1张，一共2+13=15张。 这时候每种点数各1张，还没有2张同点数的。 再加1张：15+1=16张。 验证：15张可能是大小王+13种点数各1张，没有2张同点数；16张一定有2张同点数。 答：最少要取出16张，才能保证取出的牌中至少有2张牌的点数相同。 第5题 答案：10根 解析： "两双"就是4根同色的。 3种颜色，要保证至少4根同色。 最不利情况：每种颜色各3根，一共3×3=9根。 这时候每种颜色都是3根，只有1双半，还没有两双。 再加1根：9+1=10根。 验证：9根可能是3+3+3，没有4根同色；10根一定有4根同色，也就是两双。 答：至少取10根才能保证有颜色相同的两双筷子。 十一、拓展练习完整分步答案 第1题 答案：45次 解析： 已知条件：共 10 把锁、9 把钥匙，9 把钥匙恰好对应 9 把不同的锁，剩余 1 把锁无匹配钥匙。 ①第一把钥匙：一共有 10 把锁，最倒霉的情况是连续试 9 把锁都打不开，由此判定第 10 把是无钥匙闲置锁，这把钥匙的匹配锁必然在前 9 把里，最多试 9 次； ②成功匹配 1 组后，剩余 9 把锁、8 把钥匙。第二把钥匙最坏试 8 次； ③以此类推，第三把钥匙最多试 7 次…… 直到第 9 把钥匙，只剩 2 把锁，最坏只需要试 1 次； ④最后所有试错次数相加：9+8+7+6+5+4+3+2+1=45 答：至少需要试验 45 次。 补充说明： 本题存在 1 把无钥匙的多余锁，但极端最不利场景下，每把钥匙都需要遍历全部未确定锁，因此总试验次数和 “10 把钥匙配 10 把锁” 的计算结果相同。 第2题 答案：4人 解析： 环形座位，和直线座位不一样！ 直线座位：每3个坐1人，12个座位坐4人。 但环形座位，首尾相连，第一个和最后一个也是相邻的。 我们来画图： 12个座位围成一圈。 如果坐3个人，每隔3个坐1人，行不行？ 坐在1、5、9号，每个人左右各1个，覆盖3个，3个人覆盖9个，不够12个。 坐在1、4、7、10号，每隔2个坐1人，每个人覆盖左右各1个，共3个，4个人覆盖12个。 对，4个人就够了。 验证：1号有人→覆盖12、1、2号；4号有人→覆盖3、4、5号；7号有人→覆盖6、7、8号；10号有人→覆盖9、10、11号。所有12个座位都被覆盖了。 3个人够吗？3个人最多覆盖9个座位，不够12个。 答：在乐乐之前已就座的最少有4人。 第3题 答案：5辆 解析： 最有利情况：每箱1吨，每车装3箱，正好3吨，需要4辆（10÷3≈3.33，向上取整4辆）。 但题目说"确保"，要考虑最不利情况。 最不利情况：每箱略大于0.75吨，这样每辆车只能装3箱（装4箱就超过3吨了）。 每车装：0.75+×3≈2.25+吨 10吨货物，按每车2.25吨算，需要：10÷2.25≈4.44，向上取整5辆。 验证：4辆车最多装4×3=12箱，如果每箱0.8吨，12箱=9.6吨<10吨，4辆不够。 5辆车可以装15箱，足够装下10吨货物。 答：最少要准备5辆载重量为3吨的汽车。 十二、本讲总结（思维导图速记） 📊 一、知识地图 📋 二、核心公式速查表 题型 最不利情况 答案 摸球同色型 （数量相同） 每种颜色各取(目标-1)个 颜色数×(目标-1) + 1 数量不同型 少的全取，多的各取(目标-1)个 最不利数 + 1 直线座位型 每隔2个坐1人 ⌈座位数 ÷ 3⌉（向上取整） 环形座位型 每隔2个坐1人 ⌈座位数 ÷ 3⌉（首尾相连） 钥匙开锁型 每次都试到最后一把 n×(n-1) ÷ 2 扑克牌型 把不要的全取完 最不利数 + 1 ⚠️ 三、避坑清单 1. 忘记"再加1"？错！ 最不利情况都不满足，再加1个才一定满足！ 这是最容易忘的一步，一定要记住！ 2. 数量不同搞混？错！ 数量少的全取，数量多的取(目标-1)个！ 不要每种都取一样多，因为有的不够！ 3. "两双"和"两只"搞混？错！ 一双=2只，两双=4只同色！ 不是2只同色，是4只同色！ 4. 从"最有利"考虑？错！ 题目说"保证"、"一定"，就要从最不利情况考虑！ 不要想"运气好的话……"，要想"运气最差的话……" 5. 环形和直线搞混？错！ 直线座位：首尾不相连 环形座位：首尾相连，第一个和最后一个也相邻 要看清题目是直线还是环形！ 🎯 四、解题小口诀 【最不利原则口诀歌】 最不利，真简单， 最坏情况加一算。 要保证，就想坏， 差一点就成功了。 摸球同色看几种， 每种少拿一个算。 数量少的全拿完， 数量多的差一点。 座位每隔两个坐， 三个座位一人管。 钥匙开锁最倒霉， 每次都试最后把。 做完别忘来验证， 少一个都不保险！ 【核心口诀】 找最不利，再加一个， 保证成功，不会出错！ —— 本讲结束，💪加油！你已经掌握了最不利原则的奥秘 —— 学科网（北京）股份有限公司 $