1.2.3直线与平面的夹角（第二课时）教案-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该教案聚焦高中数学“直线与平面的夹角”核心知识点，通过“尝试与发现”引导学生作图分析直线方向向量、平面法向量夹角与线面角的关系，小组合作探究衔接前期向量知识，搭建认知支架。 特色在于融合核心素养培养，借助作图与讨论发展几何直观（数学眼光），例题中向量法与几何法对比及规范步骤培养逻辑推理（数学思维）和符号表达（数学语言）。如例1正方体问题用两种方法并总结步骤，例3含参数λ求线面角最值，提升学生空间观念和运算能力，为教师提供结构化教学流程和典型例题参考。

课题 1.2.3 直线与平面的夹角（第二课时） 学科 数学 教材 人教B版（2019）选择性必修第一册 章节 第一章第二部分第三节 课程类型 新授 课时安排 2课时 年级 高二 教学目标及教学重点、难点 教学目标： 1.理解直线方向向量和平面法向量的夹角与线面角的关系。 2.会利用空间向量求直线与平面的夹角。 教学重、难点： 1.重点：理解直线方向向量和平面法向量的夹角与线面角的关系。 2.难点：利用向量方法解决直线与平面的夹角问题。 核心素养 1.通过直线方向向量和平面法向量的夹角与线面角的关系的学习，培养逻辑推理等核心素养。 2.借助向量方法解决直线与平面的夹角问题，提升数学运算、逻辑推理等核心素养。 教学方法和手段 教学方法：启发法、练习法、讨论法 教学手段：多媒体辅助教学 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 引入新课 探索新知 【引导语】通过之前的学习，不难想到，可以借助直线的方向向量和平面的法向量来研究直线与平面所成的角. 尝试与发现：如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ. (1) 通过作图〈v，n〉在图中如何表示？ (2) 讨论θ与〈v，n〉有什么关系？ 师生活动： （1） 教师引导学生作图，小组合作分析； （2） 学生从图中分析可知，教师进行点评； （3）教师补充： 特别的，还有cosθ=sin〈v，n〉，sinθ=|cos〈v，n〉|. 通过创设情境，建立知识间的联系，提高学生类比推理的能力。 例题典析 例1：已知ABCD-A′B′C′D′是正方体，求B′D′与平面A′BCD′所成角的大小. 【师生活动】 学生自主思考，先建立空间直角坐标系，再求直线方向向量及平面法向量，利用向量的夹角公式求出向量夹角的三角函数值，最后得出角度，教师出示答案。 【解析】 (方法一) 解：以D为原点， ，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所示直角坐标系. 可得：A′(1，0，1)，B(1，1，0)， D′(0，0，1)，B′(1，1，1)， 所以 设平面A′BCD′的一个法向量为n=(x，y，z) ， 则取=1，可得n=(0，1，1) 又因为 所以 即B′D′与平面A′BCD′所成角θ的大小为： (方法二) 解：设A′B的中点为E，连接B′E,D′E如图所示， ∵ABB′A′是正方形，∴B′E⊥A′B 又∵D′A′⊥面ABB′A′，且B′E⊂面ABB′A′，∴D′A′⊥B′E. 再根据D′A′∩A′B=A′，可知B′E⊥面A′BCD′ 因此B′D′在面A′BCD′内的射影为D′E， ∴∠B′D′E就是B′D′与平面A′BCD′所成的角. ∵正方体中有B′D=2B′E，∴在Rt△B′ED′中，sin∠B′D′E= 又∵∠B′D′E是一个锐角，∴∠B′D′E=， 即B′D′与平面A′BCD′所成角的大小为. 用空间向量法解答的基本步骤： (1)建系，写出相关点的坐标. (2)求直线方向向量a及平面法向量n. (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的三角函数值. (4)结合图形(角的关系)及三角函数值关系确定角的值，并写出结论. 用几何推理法解答的基本步骤： (1)找到(或作出)斜线(斜线段)上一点到平面的垂线(或垂线段)，并证明. (2)找到(或作出)斜线(斜线段)在平面内的射影，并确定线面角. (3)根据题目条件解直角三角形，经计算(或推理)得到角的值. (4)写出结论. 例2：如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点． (1)证明MN∥平面PAB； (2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值. 【师生活动】 教师引导学生解题思路： (1)线面平行的判定定理⇒MN∥平面PAB． (2)利用空间向量计算平面PMN与AN方向向量的夹角⇒直线AN与平面PMN所成角的正弦值． 学生再自主完成，教师出示解题过程。 【解析】 (1)证明：由已知得AM＝AD＝2. 如图，取BP的中点T，连接AT，TN， 由N为PC的中点知TN∥BC，TN＝BC＝2. 又AD∥BC，故TN═∥AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT. 因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB， 所以MN∥平面PAB． (2)如图，取BC的中点E，连接AE. 由AB＝AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD， 且AE＝ ＝＝√5. 以A为坐标原点，的方向为x轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 由题意知P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N， ＝(0,2，－4)，＝，＝. 设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量， 则即 可取n＝(0,2,1)．于是|cos〈n，〉|＝＝. 所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为. 例3.如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直, AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M、N分别是CC1、BC的中点,点P 在A1B1上,且满足=λ( λ∈R). (1)证明:PN⊥AM; (2)当λ取何值时,直线PN与平面ABC所成的角θ最大?并求该最大角的正切值. 【师生活动】 学生分析题目，运用空间向量的知识解答，教师出示解题过程。 【解析】 (1)证明:如图,以AB,AC,AA1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系Axyz,则P(λ,0,1),N,0,M0,1,, 从而=-λ,,-1,=0,1,, =-λ×0+×1-1×=0, 所以,即PN⊥AM. (2)解:平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1), 则sin θ=sin-<,n>=|cos<,n>| ==(*). 由(*)可知,当λ=时,sin θ取最大值,即sin θ=, 因为θ∈0,,在θ≠时,sin θ越大,tan θ越大, 即当sin θ=时,tan θ取最大值,tan θ=2. 通过例题讲解，让学生理解怎样用向量方法解决直线与平面的夹角关系解决问题，提高学生解决问题的能力。 当堂练习 教师PPT出示练习题，学生自主完成，教师点评 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。 课堂总结 回顾本节课知识点，总结概括 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。 板书设计 一、引入 以现实场景引出直线与平面的夹角 二、知识精讲 用空间向量法解答直线与平面的夹角问题的基本步骤 用几何推理法解答直线与平面的夹角问题的基本步骤 三、例题点拨-通过例题进行讲解，便于理解 四、方法总结-开拓学生解题思路 五、当堂练习 六、课堂反思 七、课堂小结 教学设计反思 在本节课的教学中教学目标的设定清晰明确，具有针对性，在讲解过程中突出重难点，对重难点进行了详细且透彻的讲解，使学生能够准确理解和运用向量法求直线与平面的夹角，达到本节课的教学目的。 通过本节课的教学，我认为在以下几个方面做得比较好：（1）在教学过程中，充分使用课件，教材等教学资源，有效地支持学生的学习；（2）通过小组合作和自主探究，培养了学生的合作意识和探究能力;板书设计清晰明了，有助于学生理解和记忆知识。 但是在这节课中，讲完例题后应该及时给学生提供足够的练习机会，这样可以帮助学生巩固所学的概念和技能，这是本节课中不太好的地方。 针对以上问题，我将在今后的教学中加强对学生逻辑思维能力的培养，优化练习题目的设置，并注重知识的拓展和延伸，以提高学生的数学素养和综合能力。在以后的教学中，我需要进一步改进和优化教学策略，以提高学生的学习效果和兴趣。及时收集和分析学生的学习反馈，并将其作为改进教学的重要依据。同时，也要与其他教师进行讨论和交流，分享教学经验和有效的教学方法，促进共同进步。 学科网（北京）股份有限公司 $