3.4 函数的应用(一)-【重难点手册】2026-2027学年高中数学必修第一册同步练习册（人教A版）浙江专用

重难点手册高中数学必修第一册（上）？/ 3.4函数 A学考过关练 测试时间：10分钟 1.[题型1]如图，l1反映了某公司销售一种医疗 器械的销售收入（单位：万元）与销售量（单位： 台)之间的关系，2反映了该公司销售该种医 疗器械的销售成本（单位：万元）与销售量（单 位：台)之间的关系.当销售收人大于销售成本 时，该公司才开始盈利.根据图象，则下列判断 中错误的是(). y万元 0123456789x/ A.当销售量为4台时，该公司盈利4万元 B.当销售量多于4台时，该公司才开始盈利 C.当销售量为2台时，该公司亏本1万元 D.当销售量为6台时，该公司盈利1万元 2.[题型2]你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑 真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中 的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没 有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆 裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已 知某种烟花距地面的高度h(单位：米)与时间 t(单位：秒)之间的关系式为h=一3.6t2+ 28.8t,则烟花在冲击后爆裂的时刻是(). A.第4秒 B.第5秒 C.第3.5秒 D.第3秒 3.[题型3]为了预防信息泄露，保证信息的安全 传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一 种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发 送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明 文.现在加密密钥为y=kx3,如“4”通过加密 46 (浙江专用) 的应用（一） 后得到密文“2”，若接收方接到密文“26”，则 解密后得到的密文是( A司 B是 C.2 4.[题型3]异速生长规律描述生物的体重与其他 生理属性之间的非线性数量关系通常用幂函 数的形式表示.比如，某类动物的新陈代谢率y 与其体重x满足y=x“,其中k和a为正常 数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其 体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢 率仅提高到初始状态的4倍，则α为( ) A c号 D 5.[题型4们个人所得税是指以个人所得为征税对 象，并由获取所得的个人缴纳的一种税，我国现 行的个人所得税政策的主要内容包括：(1)个 税起征点为5000元；(2)每月应纳税所得额 (含税)=收入一个税起征点一五险一金（个人 缴纳部分)一累计专项附加扣除.专项附加扣 除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用， ③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前 两项的扣除标准为：①赡养老人费用，每月扣 除2000元，②子女教育费用，每个子女每月扣 除1000元，个税政策的税率表部分内容如下表： 级数 全月应纳税所得额 税率/% 不超过3000元的部分 3% 2 超过3000元至12000元的部分 10% 3 超过12000元至25000元的部分 20% 现王某每月收入为30000元，每月缴纳五险一 金（个人缴纳部分）6000元，有一个在读高一 的独生女儿，还需独自赡养老人，除此之外无 其他专项附加扣除，则他每月应缴纳的个税金 额为 6.[题型4们某工厂生产一批产品，在生产过程中 会产生一些次品，其合格率饣与日产量x(单 位：万件)之间满足如下函数关系：p= 5,0<x≤1， 了4 十41<x<12,已知每生产1万件合格的 1 (4x≥12. 产品该厂可以盈利15万元，但每生产1万件 次品将亏损5万元.故厂方希望定出合适的日 产量使得每天的利润最大（注：合格率= 合格数 生产量 (1)将生产这批产品每天的利润y(单位：万 元)表示为日产量x(单位：万件)的函数 (利润=盈利一亏损)】 (2)当日产量为多少万件时，该厂每天的利润 达到最大？ 第三章函数的概念与性质 么超 B高考提能练 测试时间：15分钟 1.[题型4幻某地民用燃气执行“阶梯气价”，按照 用气量收费，具体计费方法如下表所示.若某 户居民去年缴纳的燃气费为868元，则该户居 民去年的用气量为( 每户每年用气量 单价 不超过200m3的部分 3.2元/m3 超过200m3但不超过300m3的部分 3.8元/m 超过300m3的部分 4.8元/m3 A.180m3 B.220m3 C.260m3 D.320m3 2.[题型4们（多选）为预防流感病毒，某校每天定 时对教室进行喷洒消毒.当教室内每立方米药 物含量超过0.25mg时能有效杀灭病毒.已知 教室内每立方米空气中的含药量y(单位：mg) 随时间x(单位：h)的变化情况如图所示，在药 物释放过程中，y与x成正比，药物释放完毕 后，y与x的函数关系式为y=a(a为常数)， 则下列说法正确的是(). ◆ymg 00.2 x/h A.当0≤x≤0.2时，y=5x B.当x>0.2时y=5x 1 C.教室内持续有效杀灭病毒的时间为0.85h D.喷洒药物3min后才开始有效杀灭病毒 3.[题型2]（多选）在早高峰，某路口通过的车辆 数m与时间t(单位：时)的关系式为m= 1 +10,t∈[5,9].在早高峰这 元4-6.5)+8 段时间内，给出下列结论，其中正确的是(). A.通过该路口的车辆数m随着时间t的增加 47 重难点手册高中数学必修第一册（上）？/ 逐渐增多 B.早上6时和早上7时通过该路口的车辆数 m相等 C.在任意时刻，通过该路口的车辆数m不会 大于35 D.在任意时刻，通过该路口的车辆数m不会 小于16 4.[题型2]（多选）边际函数是经济学中一个基本 概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领 域都有十分广泛的应用，函数f(x)的边际函 数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x). 某公司每月最多生产75台报警系统装置，生 产x台(x∈N*)的收入函数R(x)=3000x 20x2(单位：元)，其成本函数C(x)=500x+ 4000(单位：元)，利润是收入与成本之差，设利 润函数为P(x),则以下说法正确的是(). A.P(x)取得最大值时每月产量为63台 B.边际利润函数的表达式为MP(x)=2480一 40x(x∈N*) C.利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不 具有相同的最大值 D.边际利润函数MP(x)说明随着产量的增 加，每台利润与前一台利润差额在减少 5.[题型2]如图，在矩形ABCD中， AB=8cm,BC=16cm,动点P从 点A出发，以1cm/s的速度向终 点B移动，动点Q从点B出发以 2cm/s的速度向终点C移动，则移动到第 s时，可使△PBQ的面积最大 6.[题型2]我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液 中的酒精含量大于或者等于20mg/100mL. 已知一驾驶员某次饮酒后体内每100mL血液 中的酒精含量y(单位：mg)与时间x(单位：h) 的关系是：当0<x≤3时，y=-0,2 11x2+ 1当≥号时y-,那么该驾驶员在 48 (浙江专用) 饮酒后至少要超过 h才可驾车， 7.[题型4]某乡镇充分利用当地自然资源，大力 发展特色水果产业，将该镇打造成“水果小 镇”.经调研发现：某种水果的单株产量W(单 位：千克)与施用肥料量x(单位：千克)满足的关 (2(x2+1),0≤x≤2， 系式为W= 1+z,2K≤， 16x 肥料成本投入 为4x元，其他成本投入（如培育、施肥等人工 费)为6x元.已知该水果的售价为10元/千克， 且销路畅通供不应求，记该水果的单株利润为 f(x)(单位：元) (1)求f(x)的函数解析式 (2)当施用肥料量为多少千克时，该水果的单株 利润最大？单株利润的最大值是多少元？ 8.[题型4、5]某地政府为方便市民出行，计划在 本市的市民中心站到机场开通特快轻轨专线 列车.已知机场到市民中心站最快需要30分 钟，列车的发车时间间隔t(单位：分钟)满足 2≤t≤19.经测算，列车载客量与发车时间间 隔t相关，当10≤t≤19时列车为满载状态，载 客量为640人；当2≤t<10时，载客量会减少， 减少的人数为m(t)=k(10一t)2(k为常数)， 且发车时间间隔为3分钟时的载客量为493人. 记列车载客量为f(t),f(t)为连续函数， (1)求f(t)的解析式. (2)为响应低碳出行，若载客量至少达到532人 时，列车才发车，问列车发车时间间隔至少 为多少分钟？ (3)若该线路每分钟的净收益为g(t)= 2f(t)一734-12（单位：元），问当发车时间 间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最 大？并求出最大值 第三章函数的概念与性质 么超 C拓展拔高练 测试时间：5分钟 1.已知圆柱形水杯的质量为a克，其重心在圆柱 轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水 杯直立放置).质量为b克的水恰好装满水杯， 装满水后，水杯的重心还在圆柱轴的中点处 (1)若b=3a,求装入半杯水后的水杯的重心到 水杯底面的距离与水杯高的比值 (2)水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯 的重心最低？为什么？ 49乙车的行驶速度大于40km/h时的燃油效率大于 5km/L,故乙车消耗1L汽油的行驶路程可大于 5km,所以A错误. 对于B,由题图可知甲车消耗汽油最少，所以B错误 对于C,甲车以80k/h的速度行驶时的燃油效率为 10km/L,故行驶1h的路程为80km,消耗8L汽油， 所以C错误 对于D,当最高限速为80km/h且速度相同时，丙车的 燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更 省油，所以D正确， (2)因为第一次（即5月1日）把油加满，而第二次把油 加满加了48L,即汽车行驶35600一35000=600(km) 耗油48L,所以每100km的平均耗油量为8L. 2①冷y=0,得虹01+)x2=0, 由实际意义和题设条件知x>0,k>0, 故x一1十k2 20k20 1 k十 由k+名≥2，当且仅当k=1时等号成立可知x<10, 所以炮的最大射程为10千米. (2)因为a>0,所以若炮弹可击中目标， 1 则存在k>0,使3.2=ka一201+k)a2成立， 即关于k的方程a22-20ak十a2十64=0有正根. 设f(k)=a2k2-20ak十a2+64, 则此函数图象的对称轴为直线k=一二204=10 2a2 a 因为a>0,所以k=10>0, 故只需判别式△=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0， 结合a>0得0<a≤6. 所以当a不超过6时可击中目标. 练习册答案 A学考过关练 1.A提示：当销售量为4台时，该公司盈利0万元，故A 错误：当销售量多于4台时，该公司才开始盈利，故B 正确；当销售量为2台时，该公司亏本1万元，故C正 确；当销售量为6台时，该公司盈利1万元，故D正确. 2.A提示：由题意，h=一3.6t2十28.8t=一3.6(t-8t+ 16)十57.6=一3.6(t一4)2十57.6，则当t=4时，烟花 达到最高点，即爆裂的时刻是第4秒. 3.A提示：由题可知，加密密钥为y=kx3,由已知可得 当=4时y=2,所以2=6X,解得及=号=克放 y动，显然令y=即品动，解得 合即x片 1 4.B提示：设初始状态为(x1,y1),则x2=16x1,y2= 4y1,又y1=kxi,y2=kx,即4y1=k(16x1)°=k· 16z,_15,16=4a=2 1 y1 kxg 5.1790元.提示：王某月应纳税所得额（含税）为：30000 -6000-5000一1000-2000=16000（元）， 不超过3000的部分税额为3000×3%=90（元）， 超过3000元至12000元的部分税额为9000×10% =900(元)， 超过12000元至25000元的部分税额为4000×20% =800(元)， 所以王某月应缴纳的个税金额为90十900十800= 1790(元). 6a当0<x≤1时y=专15-言5=1： 1 当1x<12时y=年15-(1-4)k…5 60x-5.x2 x十49 1 3 当x≥12时，y=4x15-4x5=0. 11x,0<x≤1， 综上所述，y= 60x-5x x+4 ,1<x<12, (0,x≥12， (2)当0<x≤1时，ymax=11; 当1<x<12时，令t=x+4∈(5,16)，则y= 5=+20-6④-5[-(+6的)+20≤20，此时取 t 等条件为t=8,即x=4, 因为11<20，所以当日产量为4万件时，该厂每天的利 润达到最大。 B高考提能练 1.C提示：设该户居民去年的用气量为xm3,缴纳的燃 气费为y元，则当0≤x≤200时，y=3.2x,令3.2x= 868,解得x=271.25,不符合题意；当200<x≤300 时，y=3.2X200+3.8×(x-200)=3.8x-120,令3. 8x-120=868,解得x=260,符合题意；当x>300时， y=3.2×200+3.8×(300-200)+4.8×(x-300)=4.8x 49 -420,令4.8z一420=868，解得x=805<30,不符合 3 题意.综上，x=260. 2.ABD提示：由题图知，0≤x0.2时图象过点(0,0)， (0.2,1)且y与x成正比，即函数y=5x,因此A正 确：由题图知，x>0.2时过点(0.2,1)即02=1，可得 a=0.2即函数y之因此B正确：令y=5c=0,25, 得x=0.05,令y==0.25,得x=0.8,故教室内持 续有效杀灭病毒的时间为0.75h,C错误；由C知从 0.05h开始有效杀灭病毒，即3min后开始有效杀灭 病毒，因此D正确 3提示：对于A,令f)=易4-65+0 [5,9],则f(t)在[5,6.5]内单调递减，在(6.5,9]内单 调递增，所以m=1 25(—6.5)2+1十10在L5,9]内先 增后减，故A错误；对于B,因为∫(t)是二次函数，当 t=6.5时，f(t)取得最小值，所以f(6)=f(7),所以 早上6时和早上7时通过该路口的车辆数m相等，故 B正确：对于C,因为f)的最小值是f(65)=0,所 以当t=6.5时，m取得最大值20+10=30，即在任意 时刻，通过该路口的车辆数m不会大于35，故C正确； 对于D,因为f6)=云×G-65r+0-014,f9)- 需×g-652+0=0.3,即f⑤)<f9,所以当 =9时，m取得最小值3十10≈13,3，此时通过该路 口的车辆数m小于16，故D错误. 4.BCD提示：对于A选项，P(x)=R(x)一C(x) 一20x2+2500x一4000，二次函数P(x)的图象开口 向下，对称轴为直线x=2500=62.5,因为xCN,所 40 以P(x)取得最大值时每月产量为63台或62台，A错 误；对于B选项，MP(x)=P(x十1)一P(x)=[一20 (x+1)2+2500(x+1)-4000]-(-20x2+2500x-4 000)=2480一40x(x∈N),B正确；对于C选项，P (x)mx=P(62)=P(63)=74120,因为函数MP(x)= 2480-40x为减函数，则MP(x)mx=MP(1)=2 440,C正确；对于D选项，函数MP(x)=2480一40x 为减函数，说明边际利润函数MP(x)随着产量的增 50 加，每台利润与前一台利润差额在减少，D正确 5.4.提示：设移动x秒时，面积最大，此时BP=(8一 x)cm,BQ=2xem(0<x<8),所以Sm=号PB· B0=28-x)·2z=-2+8x=-(2-402+16, 故当x=4时，面积最大. 655提示当0<号时y=+1= 2-20+12当=0时y=-0,当x=2时， ym=12>20,当x=号时y=30>20,所以当0K x<2时，饮酒后体内每100mL血液中的酒精含量逐 渐增大并大于20mg/10nL,当2<号时，饮酒后 体内每100mL血液中的酒精含量逐渐减少，但始终大 于0n/10mL当≥号时，函数y-少单满递 x =110=20→x=5.5,因此饮酒后5.5h体内 减，令y=x 每100mL血液中的酒精含量等于20mg/100mL. 7.(1)由题意知 120x2-10x+20,0≤x≤2， f(x)=10w-4红-6x=160x-10x,2<x≤5. 1+x 20x2-10x+20,0≤x≤2， (2)f(x)= 160z-10z,2<x≤5 1+x 2(e-广+要o2. 179-5 当0≤x≤2时，f(x)≤f(2)=80; 当2x≤5时，f)=10-10[+1+]≤ 170-10×2√/16=90， 当且仅当9=1十，即x=8时等号成立。 因为80<90，所以f(x)mx=f(3)=90, 所以当施用肥料量为3千克时，该水果的单株利润最 大，单株利润最大值为90元. 8.(1)由题意知，当10≤t≤19时，列车满载，故f(t)= 640, 当2≤t<10时，载客量f(t)=640一m(t)=640 k(10-t)2, 因为f(3)=493,所以493=640一k(10一3)2，解得 k=3, 因此当2t<10时，载客量f(t)=640一3(10一t)2, 640-3(10-t)2,2≤t<10, 综上，f(t)=〈 640,10t≤19. (2)因为载客量至少达到532人，所以f(t)≥532， 当10≤t≤19时，f(t)=640≥532，满足题意， 当2≤t<10时，由640-3(10-t)2≥532，解得4t<10, 综上，列车发车时间间隔至少为4分钟. (3)因为净收益g)=2f0)-734-12 t (546-12,10≤≤19， t 54+108,2≤1<10. -6t- 当10≤t19时，函数g(t)在[10,19]上单调递减， 所以当1=10时，g)取得最大值g10)=546-12= 10 42.6, 当2≤t<10时，g(t)=-6t- 54+108≤ -26t .54+108=108-36=72, t 当且仅当66=54，即=3时，等号成立， t 所以当t=3时，g(t)取得最大值72， 因为72>42.6，所以当发车时间间隔为3分钟时，净收 益最大，最大值为72元 C拓展拔高练 1.方法一不妨设水杯的高为1个单位. (1)装入半杯水后，杯子的质量：水的质量=2：3，杯 子的重心位置（这里的重心位置指重心到水杯底面的 距离)为号，水的重心位置为子，所以装入半杯水后的 2x号+3 水杯的重心位置为 4 7 2+3 201 (2)当装人水后的水杯的重心最低时，重心恰好位于水 面上，设装人x克水，这时杯子的质量：水的质量= 。:x,杯子的重心位置为号，水的重心位置为后，水面 1 a· 的位登为云，于是 2+x·2 a十x 2=云，解得x √a2+ab-a. 方法二不妨设水杯的高为1个单位. (1)由题意可知，当装了半杯水后，杯子的质量：水的 质量=a:名.因为b=3a,所以杯子的质量：水的质 量=2：3，即杯子占总质量的号，水占总质量的号.又 因为杯子的重心位置（这里的重心位置指重心到水杯 底面的距离)为分，水的重心位置为子，所以装入半杯 水后的水杯的重心位置为号×号+日×？-易，故 装入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯 高度的比值为品：1一0 7 (2)设装入x克水后的水杯的重心位置为y,将问题转 化为：求当x为何值时，y最小. 当装入x克水后，杯子的质量：水的质量=a：x,即 杯子占总质量的，千7水占总质量的，千2杯子的重 心位置为2.因为装入b克水，水的高度为1，所以装 入x克水，水的高度为后，放x克水的重心位置为元 所以装入x克水后水杯的重心位置为y一x)一号× a2+品×千2+a>0,6>0>0以 当x1>x2>√a2+ab-a时，x1x2>(√a2+ab-a)2= 2a2+ab-2a va+ab,x1+x2>2 VaHab-2a, ∴x1x2-ab十a(x1+x2)>(√a2+ab-a)2-ab+ a(2/a2+ab-2a)=0: xiHab xiHab ∴f(x1)-f(x2）-2bx1+2ab2br+2ab _xj+ab)(z:+a)-(zj+ab)(zj+a) 2b(x1十a)(x2十a) =x1-x2)[x1x2-ab+a(x十x2)门 2b(x1+a)(x2+a) >0, .f(x)在（√a2十ab-a,十o∞）上单调递增. 同理，f(x)在(0，√a十ab一a)上单调递减. 故当x=√a2十ab-a时，即装入（√a2+ab-a)克 水使装入水后的水杯的重心最低。 单元学能测评 1A提示：署函数f✉)=x的图象过点(，）， 51