3.3 幂函数-【重难点手册】2026-2027学年高中数学必修第一册同步练习册（人教A版）浙江专用

第三章函数的概念与性质么出 3.3幂函数 A学考过关练 6.[题型3]已知函数f(x)=(m2十m一1)xm是 测试时间：10分钟 幂函数，且在(0，十∞)上单调递减. 1.[题型1]已知函数f(x)=(m2-4m+5)xm (1)求实数m的值. (m∈R)为幂函数，则m=(). (2)请在图中画出f(x)的大致图象。 A.-1 B.1 C.-2 D.2 2.[题型1]已知幂函数f(x)=(m2一m-1)xm 的图象与x轴没有公共点，则m=(). A.-2 B.-1 C.1 D.一2或1 3.[题型1]（多选）函数f(x)=a.x2十2x+1与 g(x)=x“在同一平面直角坐标系中的图象可 能为(). 1 4.[题型1门已知a∈-3，-2，-1,21,2,3， 若幂函数f(x)=x为偶函数，且在(0，十∞) 上单调递减，则α的值为 B高考提能练 测试时间：15分钟 5.[题型2]比较下列各组数的大小： (1)5.3-5和5.4-5 1[题型2]若a=2,6-(号) ,c=3产，则它们 (2-83和-（日）月： 的大小关系是( A.c>a>b B.c>b>a 3(-)和(-）)， C.a>c>b D.b>a>c 2.[题型1]“幂函数y=(m2十m一5)xm的图象 分布在第一、二象限”是“m=一3或m=2”的 (). A.充要条件 B.必要不充分条件 43 重难点手册高中教学必修第一册（上）UA(浙江专用) C.充分不必要条件 7.[题型3]已知幂函数f(x)=(m2+3m一9)· D.既不充分也不必要条件 xm-1在(0，+o∞)上单调递减，m∈R. 3.[题型3]如图所示是函数y=x(m,n∈N*且 (1)求f(x)的解析式 互质)的图象，则(). (2)若(2-a)m>(2a-1)m,求实数a的取 y 'y=x 值范围。 y=x A.m,n都是奇数，且<1 B.m是偶数，n是奇数，且m<1 C.m是偶数，n是奇数，且”>1 77 D.m,n都是偶数，且m>1 4.[题型2]已知幂函数f(x)=x,且b>a>1, 则下列选项中正确的是(). Af)<f()<fa2)<f6) B.f点)f()<f6)<fa2) c.ra<<f)<f) D.fa)<f6)<f()f() 5.[重难点1]（多选）已知函数f(x)=x“的图象 经过点(3,3)，则( Af(x)的图象经过点(9，号) B.f(x)的图象关于y轴对称 C.f(x)在定义域上单调递减 D.f(x)在(0，十∞)内的值域为(0，+∞) 6.[题型3]已知幂函数f(x)过点(4,2)，若0< 则 f(x1)+f(x2) 2 (填“>”、“<”或“=”) 44 第三章函数的概念与性质么出 C拓展拔高练 (3)若函数h(x)=n一f(x十2)，是否存在实 测试时间：10分钟 数a,b(a<b),使函数h(x)在[a,b]上的 1.设函数p(x)的定义域为D,如果存在区间[a, 值域为[a,b]?若存在，求出实数n的取值 b]∈D,使得p(x)在[a,b]上的取值范围为 范围；若不存在，请说明理由. [a,b]且单调，则称[a,b]为函数o(x)的保值 区间.已知幂函数f(x)=(p2十力一1)x在 (0,十∞)上单调递增. (1)函数f(x)的解析式为f(x)= (2)若函数p(x)=2f(x+1)-k存在保值区 间，则实数飞的取值范围是 2.(2025·清华大学附属中学期中)已知幂函数 f(x)=(p2-2中+1)x-0+立，满足f(1)< f(2): (1)求函数f(x)的解析式. (2)若函数g(x)=f2(x)+mf(x),x∈ [1,9],是否存在实数m使得g(x)的最小 值为10？ 45值域的子集， 因为质数y=y=年1,51上都是增函数。 6 所以函数f(x)=xx十在[1,5]止是增函数， 所以f(x)的值域为[-2,4幻， 设函数g(x)的值域为集合A,则原问题转化为A二 [-2,40, 因为函数g(x十1)一1是奇函数，所以函数g(x)关于 (1,1)对称， 又因为g(1)=1,所以函数g(x)恒过点(1,1)， 当%>≥1即m≥2时，g(x)在[0,1]上递减，则函数 g(x)在(1,2]上也是减函数， 所以函数g(x)在[0,2]上递减， 则A=[2-m,m],又A=[2-m,m]二[-2,4]， m≥2， 所以2-m≥-2，解得2≤m≤4； m≤4， 当0<%<1即0<m<2时，g(x)在(o,)上递减， 在(？，1)上递增， 又因函数g(x)过对称中心(1,1)， 所以函数g(x)在(1,2-)上递增，在(2-%，2)上 递减， 故此时g(x)m=ming(2),g(2)}, g(z).-max(g(0),g(2-2), 要使A二[-2,4]， g(2)=2-g(0)=2-m≥-2， g受）=-实+m≥-2， 只需要g(0)=m≤4， (2罗）=2-s份)-四m+长4， 0<m<2, 解得0<m<2. 综上所述，实数m的取值范围为(0,4幻. 3.3幂函数 变式训练答案 [变式1](1)，y=x在[0，十∞)上为增函数，且23<24， 2.3<2.4 (2:y=x音在(0，十∞)上为减函数，且2<3， (W2)>(3)是 (3)y=x3在R上为偶函数，(-0.31)号=0.313】 又：函数y=x号在[0，十0)上为增函数，且0.31<0.35， 0.31号<0.35，即(-0.31)号<0，.353 [变式2](1)由f(x)为幂函数知-2m2+m十2=1，解 得m=1或m=一2当m=1时，fx)=,符合题 意；当m=-弓时，x）=2,不符合题意，合去。 ∴.函数f(x)的解析式为f(x)=x2. (2)由(1)得f(x)=x2, .y=x2-2(a-1)x+1, 即函数图象的对称轴为直线x=a一1. y=x2一2(a一1)x+1在(2,3)上为单调函数， ∴.a-1≤2或a-1≥3，解得a≤3或a≥4. ∴.实数a的取值范围是（一∞，3]U[4,十∞）. 真题演练答案 1.D提示：y=x十1为一次函数，是增函数，但不是奇函 数，选项A不符合. y=x3是奇函数且是增函数，所以y=一x3是减函数， 选项B不符合： =x1是奇函数，但在定义域内不是增函数，选 项C不符合. x2,x≥0， y=xlx|= 为奇函数且是增函数，选项D -x2,x<0 符合 2A提示：因为03-0，且0<号<号，由幂两数y z导在[0，十o∞)上单调递增可知6<c<a. 练习册答案 A学考过关练 1.D提示：由幂函数的定义得m2-4m十5=1，解得m=2. 2.B提示：，f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数，.m2 m-1=1,解得m=2或m=-1,当m=2时，f(x)=x2, 图象与x轴有公共点(0,0)，不符合题意；当m=一1 时，f(x)=x1,图象与x轴没有公共点，符合题意.综 上，m=-1. 45 3.ACD提示：对于A和B,若函数g(x)=x正确，可 得出a<0,此时二次函数图象开口向下，对称轴x= ->0,所给图象符合这一特征的可能是A,不可能 是B;对于C,若函数g(x)=x正确，可得出a>0,此 时二次函数图象开口向上，对称轴工=一工<0，所给 图象符合这一特征，故可能是C;对于D,若函数g(x)= x“正确，可得出a>0,此时二次函数图象开口向上，对 称轴工=一是<0，所给图象符合这一特征，放可能是D 4.一2.提示：幂函数f(x)=x在(0，十∞)上单调 递减，.a<0. 当a=-3时，fx)=x1=号定义域为(-0,0儿 0+of)-= 1 -=-f(x),f(x) 为奇函数，不符合题意。 当。-2时，)--号定义娘为(-0,0U 0,+-)=-fe)fe)为 函数，符合题意 当a=-1时，f)=x1=子定义坟为(-0,0U (0,+o∞)，f(-x)=2=-是=-f),fx)为奇 函数，不符合题意， 综上得，a=一2. 5.(1)函数y=x5在(0，十o∞)上单调递减， 因为5.3<5.4，所以5.35>5.4-5 (②)-8=-（日）”，函数y=x2在0，+)上单调 递增， 因为日>号，所以（日）>（号）°， 所以-8<-（日）月 3()-(),()-(),函数 y=x2在(0，十∞)上单调递减， 因为号>石所以（号）<(）， 即()<() 6.(1)由函数f(x)是幂函数，知m2十m-1=1,解得 46 m=-2或m=1. 因为f(x)在(0，十∞)上单调递减，所以m=一2. (2)由1知，fx)=-定义坡为(-，0U (0,十∞)，满足f(x)=f(一x), 结合描点法，则f(x)的大致图象如图所示. y B高考提能练 1,A提示：因为y=x立在(0，十∞)上单调递增，所以 1<22<3,即c>a>1.又（日）川 <1,即b<1.综 上，c>a>b. 2.C提示：因为y=(m2十m-5)xm是幂函数，所以m2+ m-5=1,解得m=2或m=-3.当m=2时，y=x2, 其图象如图1所示，图象经过第一、二象限 y-f(z) 0 图1 图2 当m=一3时，y=x3,其图象如图2所示，图象分布 在第一、三象限.故可得“幂函数y=(m2十m一5)x" 的图象分布在第一、二象限”等价于“m=2”,于是“m= 2”可推出“m=-3或m=2”,而“m=一3或m=2”推 不出“m=2”,于是“幂函数y=(m2十m一5)xm的图 象分布在第一、二象限”是“m=一3或m=2”的充分不 必要条件 3.B提示：由图象可看出y=x”为偶函数，且在[0，十∞) 上单调递增，故∈(0,1)且m为偶数，又m,n∈N 且互质，故n是奇数. 4A提示：由b>a>1,则b>a>1>>6>0,又 fx)=x在[o,十∞)上单调递增，所以f()< f()<fa2)<f6). 5.AD提示：将(3,3)代入f(x)=x,可得a=-1, 则fx)=二，所以f(x)的图象经过点(9，})，A正 确；根据幂函数的图象与性质可知f(x)=二为奇函 数，图象关于原点对称，在定义域上不具有单调性，函 数fu)=在0十o∞)内的值城为0，十e∞)放B.C 错误，D正确。 6.>.提示：设f(x)=x,将点(4,2)代入得a=2, 1 ∴f(x)=√元，再根据图象（图略）可知填“>” 7.(1)因为函数f(x)=(m2+3m-9)xm-1是幂函数， 所以m2+3m-9=1,解得m=2或m=-5. 因为函数f(x)在(0，十∞)上单调递减， 所以m一1<0，即m<1,所以m=一5，故f(x)= x-6. (2)由(1)可知m=一5， 所以不等式为(2-a)言>(2a-1)言】 设函数g()=x言， 则函数g(x)的定义域为(0，十∞)，且函数g(x)在(0， 十∞)上单调递减， 2-a>0, 所以2a-1>0,解得1<a<2, 2-a<2a-1, 所以实数a的取值范围为(1,2). C拓展拔高练 1.(1)W元.(2)[1,2). 提示：(1)因为幂函数f(x)=(b2+p-1)x立在(0， (p2+p-1=1, 十∞)上单调递增，所以( 解得p=1, 所以函数f(x)的解析式为f(x)=x立=E】 (2)函数(x)=2√x十1-k在[-1，十o∞)上是增函 数，若存在保值区间[a,b1a≥-1D,则pa）=a'即 p(b)=b,1 p(x)=x,也就是方程2√x+I-k=x在[-1，十∞) 上有两个不等的实根，令√x十1=t≥0，则x=t一1，所 以t2-2t一1十k=0在[0，十∞)上有两个不等的实根. 令g(t)=t2-2-1+k,则 0，即 4-4(-1+k)>0, g0)≥0,1-1+k≥0， 解得1≤k<2,故实数k的取值范围是[1,2). 2.(1)f(x)是幂函数，p2-2p十1=1，解得p=0 或p=2, 当p=2时，f(x)=x在(0，十∞)上单调递减，不满 足f(1)<f(2), 当p=0,f(x)=√（在(0，+∞）上单调递增，满足 f(1)<f(2), ∴p=0时，函数f(x)的解析式为f(x)=√无， (2)由函数g(x)=f(x)十mf(x),得g(x)=(√元)2 十mx, 令t=√x,x∈[1,9]，.t∈[1,3]， 记()=十m,其开口向上，对称轴为直线1=一受， ①当-受≤1，即m≥-2时y=()在[1,3]上单调 递增，则k(t)mm=k(1)=1十m=10,解得m=9; ②当1<-受<3，即-6<m<-2时，y=()在 [1,一]单调递减，在[受]单调递增，则k(x) =(-空）=T=10,无解； 4 ③当-受≥3，即m≤-6时，y=k()在[1,3]单调 递减， 则)=(3)=3r十9=10，解得m=弓>一6，合去 综上所述，存在m=9使得g(x)的最小值为10. (3)由函数h(x)=n-f(x十2)=n-√x+2在定义 域内为单调递减函数， 若存在实数a,b(a<b),使函数h(x)在[a,b]上的值 n-√a+2=b, ① 域为[a,b],则 n-√b+2=a, @ ②-①可得，√a+2-√b+2=a-b=(a+2)-(b+ 2)=√(a+2)2-√(b+2)2=(√a+2+√6+2)· (√a+2-√b+2), ∴.Wa+2+√b+2=1, ③ 将③代入②得，n=a+√b+2=a+1-√a+2, 令q=√a+2,a<b,v√b+2=1-√a+2, 即b+2=1+a+2-2√a+2,b=1+a-2√a+2> 47 a,2√a+2<1, 即a+2<分，0<g<2: m=g2-g-1-(Q-2)》°-号在[0，]上单调递 诚，当g=0时m=-1,当g=合时，n=-号， .5 所以，实数n的取值范围为（是，一] 3.4函数的应用（一） 变式训练答案 [变式1]5.提示：设仓库与车站的距离为x千米， 由题意可设y=:, y2=k2x, 把x=10,y1=2与x=10,y2=8分别代入上式，得 k1=20,k2=0.8,放y1=20 y2=0.8x, 这两项费用之和y=y+y=0.8z+20≥ x 2/0.8xx20 =8, 当且仅当0.8x=20,即x=5时等号成立， x 故要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站 5千米处 [变式2】(1)根据题意知，空闲率是”m,故y关于x 的函数关系式是y=kx.m二，0≤<m 2电a咖x·-点+w=点气安)” m mk 0心<m,则当z受时y取得最大值yam 所以鱼群年增长量的最大值为”， [变式3](1)设两类产品的收益与投资额x的函数关 系式分别为f(x)=k1x(x≥0)，g(x)=k2W元(x≥0)， 结合已知得f(1)=8=k1g(1)=2=k2, 所以fx)=日x(e≥0，gx）)=2丘（≥0. (2)设投资稳健型产品的金额为x万元，则投资风险型 产品的金额为(20一x)万元，依题意知获得的收益为 y=fx)+g20-x)=营+号V2070<≤20. 令t=√20-x(0≤t≤25)，则x=20-t2, 48 所以-20g+号-2+8 所以当t=2,即x=16时，y取得最大值，ymmx=3. 故当投资稳健型产品的金额16万元，风险型产品的 金额4万元时，可使投资获得最大收益，最大收益是 3万元 [变式4]由已知单价 {在+22(0≤t<40,t∈N0, f(t)= +52(40≤t≤100，teND, 2 日销售量g(t)= 号+0S≤10,4∈0， 1 3 .日销售额为S(t)=f(t)g(t), 即当0<0时，5)-（会+2）(+号) 1212+26+2464 1 3 此时函数的对称轴为t=12, 最大值为S(12)=2500 35 当40≤≤100时，s)=(-+52)×(-3:+ 号)=后一3+5，此时函数的对称轴为 t=108>100,最大值为S(40)=768. 由768<2500可得这种商品日销售额S()的最大值 3 为2500 3 [变式5]160.提示：由题意知，长方体的底面积为4m, 设该长方体容器的长为xm,则宽为m 设该容器的总造价为y元， 则y=20×4+2(x+4)×10, 即y=80+20(e+)u>0. 方法一 因为函数g(x)=x+1在区间(0,2]上单调 递减，在区间[2，十∞)上单调递增，所以g(x)血 g(2)=4,所以ym=80+20×4=160(元). 方法=80+20(+1)≥0+20×2,2·是 160,当且仅当x2=4,即x=2时取等号，所以最低总 造价为160元. 真题演练答案 1.(1)D(2)B提示：(1)对于A,从题图中可以看出当