第3.2节 函数的基本性质 综合训练-【重难点手册】2026-2027学年高中数学必修第一册同步练习册（人教A版）浙江专用

重难点手册高中数学必修第一册（上）？J(浙江专用) 第3.2节综合训练 A学考过关练 测试时间：10分钟 6.已知函数f(x)=x1+1 1.函数y=f(x)为定义在R上的减函数，若a≠ (1)用定义证明：函数f(x)在(0，十∞)上是增 0,则( 函数. A.f(a)>f(2a) (2)解不等式：f(2a2+5a)+f(-4a-6)<0. B.f(a2)>f(a) C.f(a2+a)<f(a) D.f(a2+a)>f(a+1) 2.(2026·淅江温州学业水平考试模拟)设f(x) =|x一3引，则f(x)的单调递减区间为 3.函数f(x)满足下列条件：①函数f(x)的定义 域为（一1,1）；②函数f(x)的图象关于y轴对 称；③函数f(x)在区间(0,1)上单调递减.写 出一个函数f(x)的解析式： |ax2-(2a+4)x+1,x>-1, 4.已知函数f(x) -x+2,x≤-1 是R上的减函数，则实数a的取值范围是 B高考提能练 ●测试时间：15分钟 1.若函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的 5.已知函数f(x)=x 1 x 解析式可能是( . (1)请用定义证明函数f(x)在(0,1)上单调递减。 ②若存在x∈是，引，使得-ax+1≥0 A.f(z)=lz-1l x 成立，求实数a的取值范围. B.f(x)=TzI-1l Cf(x)=11x-1 D.f(x)=llz1+1l x 2.(2025·浙江省学业水平考试)已知定义在R 上的函数f(x)满足：f(x+1)=2f(x),且当 x∈[0,1]时，f(x)=x(1-x),若f(x)≤1在 (一∞，a]上恒成立，则实数a的最大值为 (). A号 B.3 c 72 D.2+4 40 第三章函教的概念与性质么 3.(2026·湖南石门第一中学检测)已知函数 7.已知函数f(x)的定义域为R,且满足对任意 f(x)=xxl,若对任意x∈[t,t+1,使得关 x,y∈R,都有f(x十y)=f(x)+f(y),且当 于x的不等式f(2x+2t2)>9f(x)成立，则实 x>0时，f(x)<0,f(1)=-3. 数t的取值范围是(). (1)求f(0)与f(3)的值， (2)判断f(x)的奇偶性. A(-2 (3)判断f(x)的单调性，并证明. B.(-∞，0U(2,+∞） C.(-∞，-2)U1,+∞) D(-,0u[2+) 4.(2025·浙江衢州高一期末)已知f(x)是定义 在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函 数，且f(x),g(x)在（一∞，0]上单调递增，则 下列不等关系恒成立的是() A.g(g(1)>g(g(2) B.g(f(1)<g(f(2)) 8.定义在（一∞，0）U(0,十∞)上的函数f(x)满 C.f(g(1)>f(g(2) 足：f(x)十f(y)=f(xy),当x>1时，f(x)<0. D.f(f(1)>f(f(2) (1)求f(一1)的值，判断函数f(x)的奇偶性， 5.(多逸)已知函数f红一1)-2，则下列说法正 并说明理由. (2)若f(2)=一4，解关于x的不等式f(2x 确的是(). 1)+8<0. Af(-)-3 2 Bfx)=z千x≠-1） C.函数f(x)是奇函数 D.函数f(x)的图象关于点（一1,0）中心对称 6.(2025·上海交通大学附属中学期中)已知函 数f)=x+15xg+15(g≠0)，若存 2+2x2 在正实数a,使得函数f(x)在区间[一a,a]上 有最大值M及最小值m,则M+m= 41 重难点手册高中数学必修第一册（上）？J(浙江专用) C拓展拔高练 2.函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对 测试时间：10分钟 称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数， 1.已知函数f(x)=2+1 ax+b 是定义在(-∞，0)U 可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点 (0,十∞)上的奇函数，且f(1)=2,g(x)= P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数 x2十x-2 y=f(x十a)一b为奇函数，给定函数f(x)= (1)求函数f(x)的解析式. x2十x-6 x+1 (2)判断并证明函数f(x)在(0，十∞)上的单 (1)求f(x)的对称中心. 调性。 (2)已知函数g(x)同时满足：①g(x十1)一1 (3)令h(x)=g(x)-2mf(x)(m<0),若对任 是奇函数；②当x∈[0,1]时，g(x)=x2 意的1，∈[}，2都有1k(x,-A(x,) mx十m(m>0).若对任意的x1∈[0,2]， <,求实数m的取值范围， 总存在x2∈[1,5]，使得g(x1)=f(x2), 求实数m的取值范围. 42即g(x1)<g(x2), 故g(x)在(0，十∞)上为增函数，根据偶函数的对称性 可知，该函数在（一∞，0）上为减函数， 因为f(2026)=2026,则g(2026)=g(-2026)= f2026)=1, 2026 当x>0时，由f(x)-x>0得fC①>1，即g(x)> g(2026),解得x>2026; 当x<0时，由fx)-x>0得f)<1,即g(x)< g(-2026),解得-2026<x<0. 综上所述，不等式f(x)-x>0的解集为(-2026,0)U (2026,+∞). 第3.2节综合训练 练习册答案 A学考过关练 1.C提示：y=f(x)是定义在R上的减函数，a≠0，a与 2a的大小关系不能确定，从而f(a),f(2a)关系不确 定，故A错误；a2-a=a(a-1),a<0或a>1时，a2> a;0<a<1时，a2<a,故f(a2),f(a)关系不确定，故 B错误；a2+a-a=a2>0,∴.a2十a>a,∴.f(a2+ a)<f(a),故C正确；a2+a-a-1=a2-1=(a十1)· (a-1),a<-1或a>1时，a2+a>a+1;-1<a<1 时，a2+a<a+1,故f(a2+a),f(a十1)关系不确定， D错误 -x十3，x3, 2.(-∞，3].提示：因为f(x)=x-3= x-3,x>3, 所以它的递减区间为（一∞，3]. 3.f(x)=-x2(-1<x<1).(答案不唯一)提示：，函 数f(x)的图象关于y轴对称，∴.f(x)为偶函数. ,函数f(x)在区间(0,1)上单调递减，且定义域为 (-1,1),∴.f(x)可能为f(x)=-x2(-1<x<1) (答案不唯一)。 4[,] 提示：当a≠0时，由题意可得 a<0, -(2a+1≤-1， 2a -(-1)+2a-(2a+4)×(-1)+1, 解得-1a≤子， 42 |-4x+1,x>-1, 当a=0时，f(x)= 不是R上的减 -x十2，x≤-1 函数敌。的取值范固为[1，一号]， 5.(1)任取x1,x2∈(0,1)且x1<x2,则f(x2)-f(x1) x1).1x21 因为x1,x2∈(0,1)且x1<x2, 所以x2-x1>0,且0<x1x2<1,所以x1x2-1<0, 所以fx)-fx)=(x2-x1）.1-1<0, x1X2 即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在(0,1)上单调递减. ②由xe[只，号]可得不等式x-u+1≥0可化 因为有在x[片】使得-ax十1≥0成立，所 以a≤(+）e[]， 由0蜘，函数)=x十上在[经， 上单调递减， 所以当x []时，e)=(）+4 1 17 ,所以a≤4， 即实数。的取值范用为(-∞，， 6a当x∈(0，+o)时，f)=z有希任取 x1,x2∈(0，+∞)，且x1<x2,可得f(x1)-f(x2) x1x2x1(x2十1)-x2(x1十1) x1一x2 +1x2十1(x1十1)(x2十1)(x1十1)(x2十1) 因为x1,x2∈(0，十∞)，且x1<x2,可得x1-x2<0, (x1+1)(x2+1)>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),所以函数∫(x)在(0，十o∞)上是增函数 (2)因为函数f(x)=z中的定义域为R,函数的图 象关于原点对称， -x 一x 又因为f(-x)=-x+=x十1=-fx), 所以函数f(x)为定义在R上的奇函数. 由(1)可得函数f(x)在(0，十∞)上是增函数，所以函 数f(x)在（一∞，0）上也是增函数. 又因为f(0)=0,所以函数f(x)在R上是增函数，由 f(2a2+5a)+f(-4a-6)<0, 即f(2a2+5a)<-f(-4a-6), 即f(2a2+5a)<f(4a+6),所以2a2+5a<4a+6,即 2a+a-6<0,解得-2<a<号，即实数a的取值范 周是(-2，)： B高考提能练 1.C提示：根据函数图象的对称性可知f(x)为奇函数， 对于A选项，f)=不是奇函数，放排除：对 于B选项，x可取0，故排除；对于D选项，f(1)= 山1+1=2≠0，故排除。 2.C提示：f(x)为类周期函数，在[0,1]上的最大值是 0.25,在[1,2]上的最大值是0.5，在[2,3]上的最大值 是1，在[3,4幻上的最大值是2，所求的a在[3,4]上，在 [3,4]上的函数表达式为f(x)=8(x一3)(4一x)= -8x2+56x-96,解f(x)=1,得x1=2-4,x1 |x2,x≥0， 3.C提示：f(x)=xx= -x2,x<0, 在区间[0，十∞) 和（一∞，0）上都是增函数，且f(0)=0,所以函数在R 上单调递增，且9f(x)=f(3x),所以不等式f(2x+ 2t2)>9f(x)台f(2x+2t2)>f(3x),即2x+2t2> 3x,在x∈[t,t十1]上恒成立，即2t2>x,在x∈[t,t+1] 上恒成立，即2>4+1，得>1或K- 4.C提示：由题意可知f(x)在(-∞，0]上单调递增，在 (0,十∞)上单调递减，g(x)在R上单调递增，且g(0)= 0,所以f(1)>f(2),g(2)>g(1)>0.对于A,因为 g(2)>g(1)>0,g(x)在R上单调递增，所以g(g(2)> g(g(1),故A错误；对于B,因为f(1)>f(2),g(x) 在R上单调递增，所以g(f(1)>g(f(2),故B错 误；对于C,因为g(2)>g(1)>0,f(x)在(0，+∞)上 单调递减，所以f(g(1)>f(g(2),故C正确；对于 D,因为f(1),f(2)正、负不知，所以f(f(1)与 f(f(2))的大小关系不定，故D错误. 点ABD提示：由化u-1D=子-一品百，可得) x x千x≠-10，故B正确：f(-3）=1 3,放A正确，函数f:)异≠一)的定义域不 关于原点对称，所以函数f(x)不是奇函数，故C错误； 由y=是≠0)的图象关于坐标原点中心对称，可得 函数f(x)的图象关于点（一1,0）中心对称，故D正确. 6.15.提示：fx)=px)士51+)-5+ 2(1+x2) 2 令)-骨其定文越为风 g(一x)=丰9-一g(x,即gx)为奇函数， 2(1+x2) 即函数g(x)在区间[一a,a]上满足g(x)m十g(x)m= 0,又fx)s=gx）m+5,fx）h=gx)m十5， 1515=15. 所以M+m=2+2 7.(1)令x=y=0,则f(0)=f(0)十f(0),故f(0)=0. 令x=y=1,则f(2)=2f(1)=-6, 令x=1,y=2,则f(3)=f(1)+f(2)=-9. (2)f(x)的定义域为R,关于原点对称. 令y=-x,则f(0)=f(x)十f(-x)=0,即f(-x)= 一f(x),故f(x)为奇函数. (3)f(x)是R上的减函数.证明如下： 任取x1,x2∈R,设x1<x2,则x2一x1>0, 则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2一x1), 因为当x>0时，f(x)<0,且x2一x1>0,所以f(x2 -x1)<0, 即f(x2)十f(-x1)<0,即f(x2)-f(x1)<0,即 f(x1)>f(x2),则f(x)是R上的减函数. 8.(1)由题意知，函数f(x)满足f(x)+f(y)=f(xy), 令x=y=1,则f(1)+(1)=f(1),解得f(1)=0, 令x=y=-1,则f(-1)十f(-1)=f(1),解得 f(-1)=0. 函数f(x)为偶函数，理由如下： 由题意，函数f(x)的定义域为(-∞，0)U(0,十∞)， 令y=-1,则f(x)+f(-1)=f(-x),即f(x)= f(-x),所以函数f(x)为（一∞，0）U(0,十∞)上的 偶函数. (2)任取x>a1>0,令x=x1y=2,则f(x1)+ 43 f(）=f(·）,即fx)-fx)=f() 因为x2>x1>0,则2>1， 由题意知f(爱)<0，所以f,)一f,)=f(货) 0,即f(x2)<f(x1),所以函数f(x)在(0，十∞)上单 调递减. 由f(2x-1)+8<0,得f(2x-1)<-8; 令x=y=2,则f(2)十f(2)=f(4),所以f(4)=-8. 因为函数f(x)为偶函数，所以f(一4)=一8，当x>0 时，因为函数∫(x)在(0，十∞)上单调递减，所以由 f(2x-1)<-8,得f(2x-1)<f(4),即2x-1>4, 解得>号 因为函数f(x)为偶函数，且函数f(x)在(0，+∞)上 单调递减，所以函数f(x)在（一∞，0）上单调递增， 当x<0时，由f(2x-1)<-8,得f(2x-1)<f(-4), 所以2x-1K-4,解得x<一之】 综上所述，不等式f(2x-1)+8<0的解集为xx< -2取x>引： C拓展拔高练 2 1.(1)f(1)=2, “a千b=2,即a+b=1. 又函数f(x)= +6是定义在(-∞，0U(0,+6网 上的奇函数， .f(-1)=-f(1)=-2, =-2,即a-b=1, 解得a=1,b=0, ÷)-中1=+，满足题意 x (2)函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调 递增，证明如下： 取x1,x2∈(0,1)且x1<x2, f,)=(+）-(+)= ) x1,x2∈(0,1)且x1<x2, ∴.x1-x2<0,0<x1x2<1,即x1x2-1<0, 44 ∴.f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), ∴.函数f(x)在(0,1)上单调递减； 同理可证得函数f(x)在(1，十∞)上单调递增. (3):h(x)=g(x)-2mf(x)(m<0), h)=+是-2m(+》 令t=x+1, y=t2-2t-2, 由(2)可知函数1=x+士在[分1]上单调递减，在 1,2上单调递端，∈2，引， :函数y=t2一2mt一2的对称轴t=m<0, ÷函数y=-2m-2在2，]上单调适增， 当t=2时，ymm=-4m十2； 当：=号时wm=-5m+兴。 5」 即h(x)am=-4m+2,(x)am=-5m+12, 4； 又对任意的∈[2习都有h红，)一h小≤ 号恒成立， ih-h 即一-5m+号-（一n+2)<号解得-音<m<0, :实数m的取值范围是[0小 2.1)f)=+6-+1+1)=6=x x+1 x+1 6 x+1' 设f(x)的对称中心为(a,b), 由题意得，函数y=f(x十a)一b为奇函数， 则f(-x十a)-b=-f(x十a)十b, 即f(x+a)+f(-x+a)-2b=0, 6 6 即(z+a）c+a+t(-x+a）--z十a+1-2b=0, 整理得(a-b)x2-[(a-b)(a+1)2-6(a+1)]=0, 所以a-b=(a-b)(a+1)2-6(a+1)=0,解得a= -1,b=-1, 所以函数f(x)的对称中心为（一1，一1）. (2)因为对任意的x1∈[0,2]，总存在x2∈[1,5]，使得 g(x1)=f(x2),所以函数g(x)的值域是函数f(x)的 值域的子集， 因为质数y=y=年1,51上都是增函数。 6 所以函数f(x)=xx十在[1,5]止是增函数， 所以f(x)的值域为[-2,4幻， 设函数g(x)的值域为集合A,则原问题转化为A二 [-2,40, 因为函数g(x十1)一1是奇函数，所以函数g(x)关于 (1,1)对称， 又因为g(1)=1,所以函数g(x)恒过点(1,1)， 当%>≥1即m≥2时，g(x)在[0,1]上递减，则函数 g(x)在(1,2]上也是减函数， 所以函数g(x)在[0,2]上递减， 则A=[2-m,m],又A=[2-m,m]二[-2,4]， m≥2， 所以2-m≥-2，解得2≤m≤4； m≤4， 当0<%<1即0<m<2时，g(x)在(o,)上递减， 在(？，1)上递增， 又因函数g(x)过对称中心(1,1)， 所以函数g(x)在(1,2-)上递增，在(2-%，2)上 递减， 故此时g(x)m=ming(2),g(2)}, g(z).-max(g(0),g(2-2), 要使A二[-2,4]， g(2)=2-g(0)=2-m≥-2， g受）=-实+m≥-2， 只需要g(0)=m≤4， (2罗）=2-s份)-四m+长4， 0<m<2, 解得0<m<2. 综上所述，实数m的取值范围为(0,4幻. 3.3幂函数 变式训练答案 [变式1](1)，y=x在[0，十∞)上为增函数，且23<24， 2.3<2.4 (2:y=x音在(0，十∞)上为减函数，且2<3， (W2)>(3)是 (3)y=x3在R上为偶函数，(-0.31)号=0.313】 又：函数y=x号在[0，十0)上为增函数，且0.31<0.35， 0.31号<0.35，即(-0.31)号<0，.353 [变式2](1)由f(x)为幂函数知-2m2+m十2=1，解 得m=1或m=一2当m=1时，fx)=,符合题 意；当m=-弓时，x）=2,不符合题意，合去。 ∴.函数f(x)的解析式为f(x)=x2. (2)由(1)得f(x)=x2, .y=x2-2(a-1)x+1, 即函数图象的对称轴为直线x=a一1. y=x2一2(a一1)x+1在(2,3)上为单调函数， ∴.a-1≤2或a-1≥3，解得a≤3或a≥4. ∴.实数a的取值范围是（一∞，3]U[4,十∞）. 真题演练答案 1.D提示：y=x十1为一次函数，是增函数，但不是奇函 数，选项A不符合. y=x3是奇函数且是增函数，所以y=一x3是减函数， 选项B不符合： =x1是奇函数，但在定义域内不是增函数，选 项C不符合. x2,x≥0， y=xlx|= 为奇函数且是增函数，选项D -x2,x<0 符合 2A提示：因为03-0，且0<号<号，由幂两数y z导在[0，十o∞)上单调递增可知6<c<a. 练习册答案 A学考过关练 1.D提示：由幂函数的定义得m2-4m十5=1，解得m=2. 2.B提示：，f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数，.m2 m-1=1,解得m=2或m=-1,当m=2时，f(x)=x2, 图象与x轴有公共点(0,0)，不符合题意；当m=一1 时，f(x)=x1,图象与x轴没有公共点，符合题意.综 上，m=-1. 45