3.2.2 奇偶性-【重难点手册】2026-2027学年高中数学必修第一册同步练习册（人教A版）浙江专用

3.2.2 A学考过关练 ● 测试时间：10分钟 1.[题型1门(2022·浙江省学业水平考试)已知函 数y=2x3,则此函数是( A.偶函数且在（一∞，十∞）上单调递减 B.偶函数且在（一∞，十∞）上单调递增 C.奇函数且在（一∞，十∞）上单调递减 D.奇函数且在（一∞，十∞）上单调递增 2.[题型3](2021·浙江省学业水平考试)设a, b∈R,ab≠0，函数f(x)=a.x3-bx+1,若 f(x|)十f(x)≥2恒成立，则( A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.a<0,b>0 D.a<0,b<0 3.[题型2](2025·浙江温州学业水平考试模拟) 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+ 2)+f(-x)=2,则f(0)+f(6)=(). A.1 B.2 C.0 D.4 4.[题型2](2025·浙江省“9十1”高中联盟学业 水平考试模拟)（多选）已知函数f(x)是定义 域为R的奇函数，当x>0时，f(x)=x(a十 x),则下列选项正确的是( A.图象过定点(0,0) B.值域为R C.在定义域上单调 D.函数一定存在单调增区间 5.[题型3]设偶函数f(x)在区间（一∞，一1]上 单调递增，则( Af(-)<f(-1)<f(2) Bf2<f(-)<f(-1) C.f2)<f(-1)<f(-) D.f(-1D<f(-)<f2) 6.[题型3](2023·淅江省学业水平考试)已知 f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x)十 f(2-x)=4,则f(2023)= 第三章函数的概念与性质 么翅 奇偶性 7.[题型1]判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=x5-x. 2)f)=+x2,x∈-1,0)U(0,1] W1-x2 (3)g(x)=z+21-2 (x2-2x+3,x>0, (4)f(x)=0,x=0, -x2-2x-3,x<0. 8.[题型2]已知函数f(x)是定义在R上的奇函 数，且当x≥0时，f(x)=x(x-4). (1)求函数f(x)的解析式. (2)在如图所示的平面直角坐标系中作出函数 f(x)的图象，并根据图象指出f(x)的单 调递增区间 (3)求fx)在区间[-5，司引上的最值 y 37 重难点手册高中数学必修第一册（上）/ B高考提能练 测试时间：15分钟 1.[题型2]已知函数f(x)的图象如图所示，则 y=f(x)十1的大致图象是(). =f(x) 3f2-11 2.[题型3]已知函数f(x)=x3,则不等式f(1 m)+f(1-m2)<0的解集为(）. A.(0,1) B.(-∞，-2)U(1,+∞) C.(-∞，-1)U(2,+∞) D.(-2,1) 3.[题型3]已知函数f(x)是定义在R上的偶函 数，在（一∞，0]上单调递增，且f(2)=0,则不 等式(x十2)f(x)<0的解集为(). A.(2,+∞) B.(-2,0)U(2,+∞) C.(-2,0) D.(-∞，-2)U(0,2) 4.[题型3]设奇函数f(x)的定义域为R,对任意 的x1,x2∈(0，十∞)，且x1≠x2,都有不等式 x1fx)-x2fx2>0,且f(-2)=-1,则 C1x2 不等式xf(x)>2的解集是( A.(-2,2) B.(-2,0)U(0,2) C.(-∞，-2)U(0,2) D.(-∞，-2)U(2,+∞) 38 (浙江专用) 5.[题型2]f(x)为定义在R上的奇函数，f(x十 2)是偶函数，且f(3)=1,则f(一1)+f(0)= |-x2-4x,x≤0 6.[题型3]已知函数f(x)= ”为 x2+az,x>0 奇函数. (1)求f(2)和实数a的值. (2)求方程f(x)=f(2)的解. 7.[题型3]定义在（一1,1）上的函数f(x)满足：对 任意的x,y∈(-1,1)，都有f(y)-f(x)= f(y号)，且当x∈(-1,0)时，fx)<o. (1)求证：f(x)是奇函数 (2)判断f()+f()的正负，并说明理由。 8.[题型1、3]已知f(x)是定义在[一1,1]上的奇 函数，满足f(1)=1,且当m,n∈[-1,1]， m十n≠0时，有fm)士fm>0. m十n (1)判断函数f(x)的单调性.（结论不要求证明） (2)解不等式f(x+2)<f(2x+1), (3)若f(x)≤t2-2at+1对任意x∈[-1,1]， a∈[一1,1]恒成立，求实数t的取值范围. 第三章函数的概念与性质 么超 C拓展拔高练 测试时间：5分钟 1.(2025·陕西西安中学期中)我们知道，y= f(x)的图象关于原点成中心对称图形的充要 条件是y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将 其推广为y=f(x)的图象关于(a,b)成中心 对称图形的充要条件是y=f(x十a)一b为奇 函数.若f(x)=x3十3x2的对称中心为(m, n),则f(2019)+f(2017)+f(2015)+…+ f(3)+f(1)+f(-3)+f(-5)+…+ f(-2017)+f(-2019)+f(-2021)= (). A.8080B.4040 C.2020 D.1010 2.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x1,x2∈ (0,十o∞)且x1≠，时，都有f）-f2） x1一x2 0成立，f(2026)=2026,则不等式f(x) x>0的解集为(). A.(-∞，-2026)U(2026,+∞) B.(-2026,0)U(2026,+∞) C.（-2026,2026) 11 D.（-2026'2026 39故A正确。 B选项，令F(x)=f(x)g(|x),F(-x)=f(-x)· g(-x|)=-f(x)g(xl)=-F(x), F(x)为奇函数，故B错误 C选项，令F(x)=f(g(x),∴.F(-x)=f(g(-x)= f(g(x)=F(x),故C正确。 D选项，令F(x)=g(f(x),F(-x)=g(f(-x)= g(-f(x)=g(f(x)=F(x),故D正确. [变式2]C提示：f(x)是定义在R上的奇函数， .f(0)=0. 又：当x≤0时，f(x)=3x2-2x十m, ∴f(0)=0=m,.当x≤0时，f(x)=3x2-2x. 设x>0,则-x<0,则f(-x)=3x2十2x,则f(x) 一f(-x)=一3x2-2x,即当x>0时，f(x)=一3x2一 2x,∴f(x)在[1,2]上单调递减， ∴.f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)=一5. 真题演练答案 1①当a=0时，fx)-士f)显然是奇函数： 当a≠0时，f(1)=a+1,f(-1)=a-1,f(1)≠ f(-1),且f(1)+f(-1)≠0， 所以此时f(x)是非奇非偶函数. (2)设Hx1<x2,且x1,x2∈[1,2]， 则f(x1)-f(x)=a(x1-x2)(x1十x2)+?二 E1X2 =aw[t] 因为x1<x2,且x1,x2∈[1,2]，且1<a<3, 所以x1-x2<0,2<x1十x2<4,1<x1x2<4, 1☑0， 所以a(x1十z2)一x1 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 故函数f(x)在[1,2]上单调递增， 2.A提示：f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y), 令x=1,y=0得2f(1)=f(1)f(0),.f(0)=2. 再令x=0得f(y)+f(-y)=2f(y), f(y)=f(-y). f(x)为偶函数. 再令y=1得f(x十1)+f(x-1)=f(x), f(x+2)+f(x)=f(x十1)，从而得f(x+2)= -f(x-1),f(x-1)=-f(x-4), 故f(x十2)=f(x-4), ∴.f(x)=f(x十6)，∴f(x)的周期为6. 又f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1,f(3)=f(2)- f(1)=-1-1=-2,f(4)=f(-2)=f(2)=-1, f(5)=f(-1)=f(1)=1,f(6)=f(0)=2, ∴.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(6)=0.由于22除以6 余4，·2f)=f1)+f(2+f3)+4= 1-1-2-1=-3. 3.D提示：：函数f(x)在R上单调递减，且f(1)=一1， ..f(一1)=一f(1)=1, 由-1≤f(x-2)≤1得-1≤x-2≤1，.1≤x≤3. 练习册答案 A学考过关练 1.D 2.B提示：令G(x)=ax3-bx,则G(|x)+G(x)≥0 恒成立，故x≥0时，G(|x|)十G(x)=2G(x)≥0→ G(x)≥0(x≥0)，故x(a.x2-b)≥0→ax2-b≥0，故 a>0,b<0;当x≤0时，由于G(x)为奇函数，所以 G(|x)十G(x)=0,上式成立. 3.B提示：f(x十2)十f(-x)=2,则对称中心为(1,1)， 又因为f(x)为偶函数关于y轴对称，所以周期为4， f(6)=f(2),所以f(0)+f(2)=2. 4.ABD提示：A项，f(x)是定义域为R的奇函数，所以 f(0)=0,图象过(0,0)，故A正确. B项，a<0时，x>0时，f(x)=x2十ax的值域为 (-片，+)：z<0时，了)=-+a证的值较为 (-,]汉0)=0，值城为e≥0时>0时， f(x)=x2十ax的值域为(0，十∞)；x<0时，f(x)= 一x2+ax的值域为(-∞，0)，又f(0)=0,值域也为 R,故B正确. C,D项，当x>0时，f(x)=x2十ax,其单调性取决于 对称轴；x<0时，f(x)=-x2+ax,并非在定义域上 单调递增，但当x足够大时，一定存在增区间，故C错 误，D正确. 5.B提示：因为f(x)为偶函数，所以f(2)=f(-2).又 f在区间(-60，-1上单调递增，-2<-8<-1， 所以f(-2)<f(-多)<f(-1D,即f2<f(-3)< f(-1). 6.2.提示：由f(x)+f(2-x)=4,则f(x+2)+ 39 f(一x)=4,又因为f(x)为偶函数，则f(一x)= f(x);所以f(x+2)=f(2-x)→f(x+4)=f(x), 所以T=4所以f2023)=f(-1D=f1)=号×4=2 7.(1)f(x)的定义域为R,关于原点对称. 又f(-x)=(-x)5-(-x)=-x5十x=-f(x),故 f(x)为奇函数， (2)因为函数f(x)的定义域为（一1,0）U(0,1],不关 于原点对称，所以函数∫(x)为非奇非偶函数. (3)由1-x2≥0，得-1≤x≤1， 由|x十2|一2≠0，得x≠0，所以g(x)的定义域为 {x|一1≤x≤1且x≠0}，关于原点对称，则x十2>0， 所以g(x)= √1-x2√1-x2 x+2-2 x 因为g(-x)=1-(-x)乎 =-1-x =一g(x), x 所以g(x)为奇函数. (4)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称 ①当x=0时，一x=0, 所以f(-x)=f(0)=0,f(x)=f(0)=0,所以f(-x) =-f(x); ②当x>0时，-x<0, 所以f(-x)=-(-x)2-2(-x)-3=-(x2-2x+ 3)=-f(x); ③当x<0时，-x>0,所以f(-x)=(-x)2-2(-x) +3=-(-x2-2x-3)=-f(x). 综上，函数f(x)为奇函数 8.(1)当x<0时，-x>0,所以f(-x)=-x(-x- 4)=x(x十4)， 又因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=一∫(x),所以 f(x)=-x(x+4), x(x-4),x≥0， 所以f(x)= -x(x十4)，x<0 (2)作出函数f(x)的图象如图所示. yA 40 由图可知，函数f(x)的单调递增区间为（一∞，一2）和 (2,+∞)， (3)由图可知，f(x)在[一5，一2)上单调递增，在 (-2,]上单调递减。 所以当x=-2时，f(x)在区间[-5，]上取得最大 值4. 当x=-5时，f(-5)=5×(-5十4)=-5， 当x=2时，（日）=2×(}-4)=-子 因为一5<一 ,所以当x=-5时，f(x)在区间 7 [-5,】上取得最小值-5 综上，f)在区间[一-5，]上的最大值为4，最小值 为-5. B高考提能练 1.D提示：在y轴左侧作函数f(x)的图象关于y轴对 称的图象，得到y=f(x)的图象，再将y=f(x) 的图象向上平移一个单位长度，得到y=f(|x)十1 的图象 2.B提示：f(x)=x3的定义域为R,易知f(x)为奇函 数且为增函数.由f(1-m)+f(1-m2)<0,得f(1 m)<-f(1-m2)=f(m2-1),则1-m<m2-1,即 m2+m-2>0,解得m<-2或m>1. 3.A提示：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，在 (-∞，0]上单调递增，所以f(x)在(0，+∞)上单调递 减，又因为f(2)=0,所以f(-2)=f(2)=0,所以当 x<-2或x>2时，f(x)<0,当-2<x<2时，f(x)>0. 由(x+2)fx)<0,得+2>0 x十2<0， 或 所以 (x)<0f(x)>0, x>-2, 或-2， 解得x>2,所以不等 x<-2或x>2-2<x<2, 式(x十2)f(x)<0的解集为(2，十∞). 4.D提示：因为对任意的x1,x2∈(0，十∞)，且x1≠ x4,都有)fz>0,所以g(x)=对(x) x1一x2 在(0，十∞)上是增函数.又f(x)是奇函数，所以g(x) 是偶函数，所以g(x)=xf(x)在(-∞，0)上是减函 数，所以g(2)=g(-2)=-2f(-2)=2,所以不等式 xf(x)>2,即为g(x)>g(2),即g(x)>g(2),所 以x|>2,所以x<-2或x>2. 5.一1.提示：因为f(x)为定义在R上的奇函数，则 -f(x)=f(-x),则f(0)=0,f(-1)=-f(1).又 因为f(x十2)是偶函数，所以f(2-x)=f(2十x),所 以f(1)=f(3)=1,所以f(-1)=-f(1)=-1,所以 f(-1)+f(0)=-1. 6.(1)设x>0,则-x<0.因为x≤0时，f(x)=-x2一 4x,所以f(-x)=-(-x)2-4(-x)=-x2+4x. 因为f(-x)=-f(x)=-x2十4x,所以f(x)= x2-4x=x2+a.x,所以a=-4,f(2)=-4. x>0, x≤0， (2)原方程等价于 或 x2-4x=-4-x2-4x=-4, 解得x=2或x=-2-22. 7.(1)函数f(x)的定义域为(-1,1)，关于原点对称. 令x=y=0,得f(0)-f(0)=f(0),即f(0)=0,令 y=0,可得f(0)-f(x)=f(-x),即一f(x)= f(一x),所以f(x)为奇函数， (2)f(公)+f(-)>0,理由如下： 因为f(x)为定义在（一1,1）上的奇函数， 所以f(2)+f(-3)=(2)-f(3) 小 当x∈(-1,0)时，f(x)<0,即f(-号)<0， 所以（分）+f(-）=-(-)>0, 8.(1)因为f(x)为奇函数，所以f(-x)=一f(x), 所以f(n)=-f(-n), 则fm)+fom-fm）f二n>0, m十n m-(-n) 当m,n∈[-1,1]时，-n∈[-1,1]， 则△y=f0m）-f(-,ar=m-(-),2>0, 则△y与△x同号，即函数f(x)在[一1,1]上单调递增， (2)由(1)知函数f(x)为[一1,1]上的增函数， 又f(e+2)<f2x+, +2<2z+1, 2 则 1 -1≤x+2≤1， 得 3 2≤x≤2， -1≤2x+1≤1， -1≤x≤0， 即2<x≤0，所以不等式f(x+)<f2x+1D的 解集为(-20]： (3)若f(x)≤t2-2at+1对任意x∈[-1,1]恒成立， 则f(x)mx≤t2-2at十1. 又f(x)mx=f(1)=1, 所以t2-2at≥0对任意a∈[-1,1]恒成立. Ag(a)=t2-2at=-2ta+t2, 则8（-1)≥0，即2+2≥0， 即 g(1)≥0， t2-2t≥0， 解得t≤-2或t≥2或t=0, 故实数t的取值范围是(-∞，一2]U[2,十∞)U{0}. C拓展拔高练 1.B提示：若函数f(x)=x3+3x2图象的对称中心为 (m,n),则y=f(x十m)一n为奇函数，即y=(x十 m)3+3(x+m)2-n=x3+(3m+3)x2+(3m2+6m)x 十m3+3m2-n为奇函数，必有3m+3=0且m3+ 3m2-n=0,解得m=一1，n=2, 则f(x)的对称中心为（一1,2）， 所以f(-2十x)十f(-x)=4, 设S=f(2019)+f(2017)十f(2015)+…+f(3)+ f(1)+f(-3)+f(-5)+·+f(-2017)+ f(-2019)+f(-2021), 则S=f(-2021)+f(-2019)+f(-2017)+…+ f(3)+f(5)+…+f(2017)+f(2019), 由-2021=2019-2(n-1),得n=2021,去掉 f(-1)项，共2020项， 则两式相加得2S=[f(2019)+f(一2021)]+[f(2017) +f(-2019)]+…+[f(-2021)+f(2019)]=4+ 4+…+4=4×2020, 所以S=2×2020=4040. 2.B提示：因为f(x)为奇函数，则f(-x)=一f(x), 令g(x)=f xx≠0， 则g（-x)=f二-f四）=gx, 一x x 故函数g(x)为偶函数，当x1,x2∈(0，十∞)且x1≠ 时，都有2fa)二f》>0成立， x1一x2 不妨设x1<x2,则x2f(x1)一x1f(x2)<0, 则fa）-x1fx）_f）_fx)<0, 41 即g(x1)<g(x2), 故g(x)在(0，十∞)上为增函数，根据偶函数的对称性 可知，该函数在（一∞，0）上为减函数， 因为f(2026)=2026,则g(2026)=g(-2026)= f2026)=1, 2026 当x>0时，由f(x)-x>0得fC①>1，即g(x)> g(2026),解得x>2026; 当x<0时，由fx)-x>0得f)<1,即g(x)< g(-2026),解得-2026<x<0. 综上所述，不等式f(x)-x>0的解集为(-2026,0)U (2026,+∞). 第3.2节综合训练 练习册答案 A学考过关练 1.C提示：y=f(x)是定义在R上的减函数，a≠0，a与 2a的大小关系不能确定，从而f(a),f(2a)关系不确 定，故A错误；a2-a=a(a-1),a<0或a>1时，a2> a;0<a<1时，a2<a,故f(a2),f(a)关系不确定，故 B错误；a2+a-a=a2>0,∴.a2十a>a,∴.f(a2+ a)<f(a),故C正确；a2+a-a-1=a2-1=(a十1)· (a-1),a<-1或a>1时，a2+a>a+1;-1<a<1 时，a2+a<a+1,故f(a2+a),f(a十1)关系不确定， D错误 -x十3，x3, 2.(-∞，3].提示：因为f(x)=x-3= x-3,x>3, 所以它的递减区间为（一∞，3]. 3.f(x)=-x2(-1<x<1).(答案不唯一)提示：，函 数f(x)的图象关于y轴对称，∴.f(x)为偶函数. ,函数f(x)在区间(0,1)上单调递减，且定义域为 (-1,1),∴.f(x)可能为f(x)=-x2(-1<x<1) (答案不唯一)。 4[,] 提示：当a≠0时，由题意可得 a<0, -(2a+1≤-1， 2a -(-1)+2a-(2a+4)×(-1)+1, 解得-1a≤子， 42 |-4x+1,x>-1, 当a=0时，f(x)= 不是R上的减 -x十2，x≤-1 函数敌。的取值范固为[1，一号]， 5.(1)任取x1,x2∈(0,1)且x1<x2,则f(x2)-f(x1) x1).1x21 因为x1,x2∈(0,1)且x1<x2, 所以x2-x1>0,且0<x1x2<1,所以x1x2-1<0, 所以fx)-fx)=(x2-x1）.1-1<0, x1X2 即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在(0,1)上单调递减. ②由xe[只，号]可得不等式x-u+1≥0可化 因为有在x[片】使得-ax十1≥0成立，所 以a≤(+）e[]， 由0蜘，函数)=x十上在[经， 上单调递减， 所以当x []时，e)=(）+4 1 17 ,所以a≤4， 即实数。的取值范用为(-∞，， 6a当x∈(0，+o)时，f)=z有希任取 x1,x2∈(0，+∞)，且x1<x2,可得f(x1)-f(x2) x1x2x1(x2十1)-x2(x1十1) x1一x2 +1x2十1(x1十1)(x2十1)(x1十1)(x2十1) 因为x1,x2∈(0，十∞)，且x1<x2,可得x1-x2<0, (x1+1)(x2+1)>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),所以函数∫(x)在(0，十o∞)上是增函数 (2)因为函数f(x)=z中的定义域为R,函数的图 象关于原点对称， -x 一x 又因为f(-x)=-x+=x十1=-fx), 所以函数f(x)为定义在R上的奇函数. 由(1)可得函数f(x)在(0，十∞)上是增函数，所以函 数f(x)在（一∞，0）上也是增函数.