3.1.1 函数的概念-【重难点手册】2026-2027学年高中数学必修第一册同步练习册（人教A版）浙江专用

第三章函数的概念与性质 3.1函数的概念及其表示 3.1.1函数的概念 A学考过关练 ②y=√x-1·√1-x; 测试时间：10分钟 1.[题型3](2025·浙江省学业水平考试)函数 ③y=(x+1)0 √x-x f(x)=√x2-9的定义域为(). √4-x A.(-3,0) ④y=1-1x-2T B.(-3,0)U(0,3) (2)已知f(x一1)的定义域为{x|2≤x≤3}， C.(-∞，-3]U[3,+∞) 求f(3x十2)的定义域， D.(-3,3) 2.[题型3](2023·浙江省学业水平考试)函数 y/2 的定义域是(). A2+) c(合，+∞ n(,》 3.[题型1、2]下列函数中不满足f(2x)=2f(x) B高考提能练 。测试时间：15分钟 的是(). 1.[题型3]已知函数y=f(x十1)的定义域为 A.f(x)=x B.f(x)=x-xl [-2,3],则y= f(2x+1) C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x 的定义域为(). w√x-1 4.[题型1门（多选）下列对应关系是集合A到集 A.[-5,5] B.(1,5] 合B的函数为(). A.A=Z,B=Z,f:x→y=x2 c1,引 B.A=R,B=(yly>0),f:xy=x 2.[题型3]若函数f(x)= 的定义 C.A={-1,2,1},B={0},f:x→y=0 kx2+kx十1 D.A=Z,B=Z,f:x→y=2x 域为R,则实数的取值范围是( 5.[知识点3]（多选）下列函数中，与函数y=x十 A.(0,4) B.[0,4) 1是同一个函数的是(). C.[0,4] D.(0,4] A.y=(Wx+1)2 B.y=9x+1 3.[题型3]已知函数f 的定义域为（一2， C.y=9(x+1) Dy=22+1 0),则f(2x-1)的定义域为( x-1 6.[题型3](1)求下列函数的定义域. A(,》 B.(-5,-1) √-x ①y=2x2-3x-2 c,》 D.(-3,-3) 27 重难点手册高中教学必修第一册（上）UA(浙江专用) 4.[知识点3]（多选）若一系列函数的解析式和值 域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同 7[颈型2肥知队数)千 族函数”，例如函数y=x2,x∈[1,2]与函数y )求f2,(2)f3),f(3)的值 =x2,x∈[一2，一1]为“同族函数”，下面函数 (2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与 解析式中能够被用来构造“同族函数”的是 (). ∫(）之间有什么关系？证明你的发现。 AG) B.f(x)=xl (3)求f(2)+f()+f3)+f(3)+…寸 C)-I D.f(x)=lx-1 f2025)+f(2025)的值 5.[题型4门高斯是德国著名的数学家，近代数学 奠基者之一，享有“数学王子”的美誉.函数y =[x]称为高斯函数，其中x∈R,[x]表示不 超过x的最大整数，例如：[一2.1]=一3， 3.=3.已知函数f(x)中3十4+8 则函数y=[f(x)]的值域是 6.[题型4](1)求下列函数的值域。 ①f(x)=x2-2x-2,x∈[-2,2]； ②y=√x2-4x+6; C拓展拔高练 ③y=5x+4 测试时间：5分钟 x-1 1.(2025·华中师范大学一附中期中)已知a,b∈ ④y=1+x+√1-2x N*,f(a+b)=f(a)f(b),f(1)=2,则 (2)若函数y=f(x)的值域是[一1,3]，求函数 f(4),f(6) +.+f2022) f(2024= f(2)f(4) f(2020) f(2022) g(x)=3-2f(x+1)的值域. 2.(2025·中国科学技术大学强基计划招生考 试)已知f(x)=x3十ax2-x十1-a,求所有 a∈R,使得对任意x∈[-1,1]，都有f(x)|≥ x|恒成立. 28(一∞，1]，故CRM=(1,+∞). 02x2, 2.B提示：要使g(x)有意义，则 x一1≠0， 解得0≤x<1,故所求的定义域为[0,1). 3.3.提示：由f(2)=1+|22-a=1可得a=4, 所以f(1)=11-1|+11-4=3. 4.-2;1.提示：因为f(x)-f(a)=x3+3x2-a3 3a2,(x-b)(x-a)2=(x-b)(x2-2a.x+a2)=x3 (2a+b)x2+(a2+2ab)x-a2b, 3=-2a-b, a=-2, 所以a2+2ab=0, 解得 b=1. -a3-3a2=-a2b, 练习册答案 A学考过关练 1.C2.C 3.C提示：对于选项A,f(2x)=|2x=2x=2f(x). 对于选项B,f(x)=x一|x|= 0(x≥0，当x≥0 2x(x<0). 时，f(2x)=0=2f(x);当x<0时，f(2x)=4x=2· 2x=2f(x),恒有f(2x)=2f(x). 对于选项C,f(2x)=2x+1=2f(x)一1. 对于选项D,f(2x)=一2x=2(一x)=2f(x) 4.ACD提示：根据函数定义，集合A中的每一个元素 对应集合B中的唯一元素.对于选项A,符合函数的定 义，是从A到B的函数，故A正确；对于选项B,A中 有元素0，在对应关系下y=0,不在集合B中，不是函 数，故B错误；对于选项C,A中任意元素，在对应关系 下y=0,都在集合B中，是从A到B的函数，故C正 确；对于选项D,符合函数的定义，是从A到B的函 数，故D正确 5.BC提示：由题意知函数y=x十1的定义域为R,值 域为R.y=(√x十1)2的定义域为[-1，十o∞)，与函 数y=x十1的定义域不同，不是同一个函数，故A错 误；y=x+1=x十1的定义域为R,定义域和对应 关系与y=x十1均相同，是同一个函数，故B正确；y =(x十1)了=x十1的定义域为R,定义域和对应关 系与y=x十1均相同，是同一个函数，故C正确；y= 十的定义域为(x∈Rx≠1，与函数y=x+1的 定义域不同，不是同一个函数，故D错误。 -x≥0， 6.(1)①由题意知， 2x2-3x-2≠ 解得0且x≠-一， “其定义域为口≤0且x≠-} /x-1≥0， ②由题意知， 解得x=1, 1-x≥0， 其定义域为{xx=1. x+1≠0， ③由题意，xl一z70, 解得x<0,且x≠-1， .其定义域为{xx<0且x≠-1. 4-x≥0， ④由题意知， 解得x≤4且x≠1且 1-|x-2l≠0， x≠3，其定义域为{xx≤4且x≠1且x≠3}. (2)在函数f(x-1)中，2≤x≤3，则1≤x-1≤2， 因此在函数f3x+2中，13x+22,解得-子<x<0, 所以函数f(3x+2)的定义域为{女|-弓<x≤0。 B高考提能练 1.C提示：由题意可知函数y=f(x十1)的定义域为 [-2,3],即-2≤x≤3，故-1≤x+1≤4，则y=f(x) 的定义域为[-1,4]，则对于y=f(2x+1 ,需满足 W/x-1 1-1≤2x+1≤4 x-1>0, 解得1<≤号，即y=2少的 x-1 定义域为1，] 2.B提示：由函数f(x)= 1 的定义域为R, √kx2+kx+1 可知kx2十kx十1>0的解集为R.若k=0,则不等式为 k>0, 1>0恒成立，满足题意；若≠0，则 解 △=2-4k<0, 得0<k<4.综上可知，实数k的取值范围是0≤k<4. 3C提示：函数f()的定义域为(-2,0，即一2< <0,-1+(1，) x-1=x-1 2 又：-1<2x-1<3,解得0x<3, f2z-1)的定义城为(0，号）》 4.ABD提示：选项A,当定义域分别为(-1,0)和(0,1) 时，f()=是的值域均为(1，十∞)，所以fx)-之能 27 被用来构造“同族函数”，A正确； 选项B,当定义域分别为[-1,0]和[0,1]时，f(x)=x| 的值域均为[0，]，所以∫(x)=|x|能被用来构造“同 族函数”，B正确； 选项Cfx)-的定义域为(-0,0U(0,十∞)， 函数图象在第一象限内f(x)随着x的增大而减小，在 第三象限内∫(x)随着x的增大而减小，且在两个区间 上f(x)的取值一正一负，不满足定义域不同时值域相 同，C错误； 选项D,当定义域分别为[0,1]和[1,2]时，f(x)=x 一1|的值域均为[0,1]，所以f(x)=|x-1|能被用来 构造“同族函数”，D正确。 5.{-1,01以.提示：令y+x+4由x∈R得 +(3y一1)x十4y=0,当y=0时，有x=0;当y≠0 时，有△=(3y-1)2-16y2=-7y2-6y+1=-(7y -1D(3+1D≥0，解得-1≤y≤7，又y≠0，所以-1≤ y<0或0<≤7.综上可得-1≤y≤7，则f(x)= ++号-y+8e[阁]放y-U 的值域是{-1,0,1}. 6.(1)①f(x)=x2-2x-2=(x-1)2-3,因为x∈ [-2,2],所以x-1∈[-3,1]，所以(x-1)2∈[0,9]， 所以f(x)的值域为[-3,6]. ②令t=x2-4x十6，得t=(x-2)2+2,故t∈[2，十∞)， 所以函数的值域为[√2，十∞). ③因为函数的定义域为{xx≠1，y=5x十4=5十 x-1 、 x-1' 所以函数的值域为{y|y≠5. ④由题意y=1十z十V1-2江=-名(1-z)+ 1-2a+8, 令√1-2z=t,t∈[0，+o∞)， 则=++2， 由一元二次函数的图象和性质可知y=一十：十 28 号在[0,1门上y随x的塔大而增大，在1，十0)上y 随x的增大而减小， 所以y≤-合×1+1+2=2. 即函数y=1+x+√1-2x的值域为（一∞，2]. (2)因为函数y=f(x)的值域是[一1,3]， 所以函数y=f(x十1)的值域是[-1,3]， 则y=-2f(x十1)的值域是[-6,2]， 所以函数g(x)=3-2f(x十1)的值域为[-3,5]. 22 1 7.1)因为fx)=1+x=1-x2+1' 所以fe=1-=r()=1- 1 4+15, f(3)=1- 10 (2)由(1)中求得的结果发现f(x)+f()=1. 1十 x2+1=1,. (3)由2奥f)+f(2）=1,所以f2②+/（合）=1， f3)+f(3）=1,f④)+f(4)=1,,f2025)+ f(202s）=1, 所以f(2)+f(3)+f3)+f(号)++f2025)+ f(202s)=2o24 C拓展拔高练 1.4044.提示：令a=b=1,则f(1十1)=f(2)=f(1)· 22024) f1)=4,所以f④+f6 f(2) f(2020) f(2022) f2+2+f4+2) f2020+2》+f202+2- f(2) f(4) +… f(2020) f(2022) f2)f2)+f2)f4) 十…十 f(2020)f(2) f(2) f(4) f(2020) f202)f②)-1011f(2)=4044,故答案为4044. f(2020) 2a<2提示：由题可得f产()≥，代入整理可 得(x+1)(x-1)[x2+(a-1)x+1-a][x2+(a+ 1)x+a-1]≥0. 当x=士1时，a∈R, 当x∈(-1,1)时，可得[x2+(a-1)x+1-a][x2+ (a十1)x+a-1]≤0. a++)(e+a-中)≥o0 分类讨论，参变量分离法，转化成求解函数最值， a≥-(（+）a≥-(e-x中)： 2a<-(+马)a≤-(e-) 综上可求得a≤-号 3.1.2函数的表示法 变式训练答案 [变式】（冬，2）.提示：，∈A,即0，<号， fu,)=+日，g+日1. 即2<f,)1,即fx)B, ∴.f(f(xo)=2[1-f(xo)]=1-2xo∈A, 即01-2，<号解得}<，<号 又0≤<分，<<号 [变式2]-2-1.提示：令f(a)=t,则f(t)-t+ 2=0.当t≤0时，f(t)=t2+2t, t2十21=t-2,则t2十t十2=0，此方程无解. 当>0时，f(t)=-t2,.-t2=t-2, .t2+t-2=0,∴.t=1或t=-2(舍去). .f(a)=1,可得a≤0且a2+2a=1, 解得a=-√2-1. 真题演练答案 1.-子.提示：由题意可得f()=f(-号) }+a(2）=(分）=层-2引=0 则-号+a=0a=号， 故f5a)=f3)=f(-1D=-1+号=-号 5 2.C (xl,xm, 3.(3,十∞).提示：f(x)= x2-2mx+Am,x>m, 当x>m时，f(x)=x2-2m.x+4m=(x-m)2+ 4m-m2,其顶点为(m,4m-m2). 当x≤m时，函数f(x)的图象与直线x=m的交点为 (m,m). m>0, ①当{ 即0<m≤3时，函数f(x)的图象 4m-m2≥m, 如图1所示，易得直线y=b与函数f(x)的图象有一 个或两个不同的交点，不符合题意； m>0, ②当 即m>3时，函数f(x)的图象如 4m-m2<m, 图2所示，则存在实数b满足4m一m2<b≤m,使得直 线y=b与函数∫(x)的图象有三个不同的交点，符合 题意.综上所述，m的取值范围为(3，十o∞). =b 图1 图2 练习册答案 A学考过关练 1.D提示：观察函数y=f(x)的图象，得f(2)=1,由表 格得g(1)=4,所以g(f(2)=g(1)=4. 2.B提示：1档：36000×3%=1080<5617.19； 2档：144000×10%-2520=11880>5617.19. 3A提示因为f-）=2+-(e-)°+2， 所以f(x)=x2+2. 4.(4);(1);(3);(2) 5.0.提示：当a∈[-1,1]，f(a)=0,f(f(a)=f(0)=0; 当a∈(-∞，-1U1,+∞)，fa)=是ffa》= f(日）=0，综上ffa》=0, 6.(1)y=2x-1的定义域为{-4，-3，-2，-1,0,1,2， 3,4},函数图象如图1所示. 29