2.3 二次函数与一元二次方程、不等式-【重难点手册】2026-2027学年高中数学必修第一册同步练习册（人教A版）浙江专用

重难点手册高中数学必修第一册（上）？J(浙江专用) 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 A学考过关练 (1)求a,b的值 。测试时间：10分钟 (2)解不等式ax2-(ac+2)x+2c<0. 1.[题型1们(2026·浙江温州学业水平考试模拟) 一元二次不等式2x2一x十1<0的解集是 (). A{|-o<z<- 或x>1 B{-2<x<1 c.0 D.R 2.[题型1](2022·浙江省学业水平考试)不等式 B高考提能练 x2-4x<0的解集是(). ●测试时间：15分钟 A.{x|0<x<4} B.{x|-4<x<0} 1.[题型4]“不等式mx2+x+m>0在R上恒成 C.{xx<4} D.{xlx<0或x>4) 立”的m的取值范围是(). 3.[题型4](2024·浙江省“9十1”高中联盟学业 Am>号 B.0<m<1 水平考试模拟)若关于x的不等式x一0<0 2 C.m D.m>1 (a∈R)在区间1<x<2上恒成立，则a的值 2.[题型5]设a∈R,若关于x的不等式x2- 可能是(). a.x+1≥0在1≤x≤2上有解，则(). A.-2 B.1 C.2 D.4 A.a≤2 B.a≥2 4.[题型2](2025·浙江温州高一期中)若a<0, ca≤i ne≥ 则关于x的不等式a(x+2)(x+)<0的解 3.[题型2、3]已知不等式mx<x-1(m>0) 集为() 解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围 为(). A{<<-2 A.0<m≤1 Bm< B-2<》 C.15m D.m 2 c>-或x<-2 4.[题型5]已知2≤x≤2时，y1=x2十bx十c D.{x>-2或x<-是 (6,c∈R)与y,=十+在同-一点取得相同 5.[题型2]已知不等式ax2-3x+b>4的解集 的最小值，关于x的不等式ax2一(c十b)x十 为{xx<1或x>2. 3a<0在0<x≤2上有解，则实数a的取值范 22 第二章一元二次函数、方程和不等式么出 围是(). 8.[题型2]已知集合A={x|x2+(2-m)x十 Aa<号 Ra<号 3-m=0},集合B={x1,x2},B二A. (1)若x号十x号=6，求实数m的值， C.a Da>号 (2)若0<x1<x2<2,求实数m的取值范围. 3 5.[题型1]（多选）已知关于x的不等式a.x2十 红+2≤0a≠0)的解梨为一引，下列选项 中正确的是( A.a>0 B.ab=4 C.a+2b的最小值为4 D若a>6,侧则中名的最小值为4 6.[题型2]（多选）若关于x的不等式x2+(a 2)x-2a<0的解集中恰有两个整数，则a的 值可能为(). A号 C.0 D.1 7.[题型1、2]已知不等式ax2十bx十c<0的解 集为{x|-2<x<3}, (1)解不等式cx2+bx+a<0. (2)若a=1,当m<0时，解关于x的不等式 m.x2-(m-2b)x+2a>0. C拓展拔高练 ●测试时间：5分钟 1.(2025·湖北武汉二中高一年级数学竞赛训 练)当x≥0时，关于x的不等式(x-a十2)· [x2-(a+a)x+a3]≥0恒成立，则实数a的 值为 2.(2025·武汉大学强基计划招生考试)设实数 x,y满足5x2-4xy-y2=5,则2x2+y2的最 小值为() 5 A.0 B.2 c号 D.6 23当a≥}时，不等式的解集为心.， [度式D提示异≥1，是-1≥0， 37千0，即号0，等价于红-2+10 或x-2=0,故-1<x≤2. [变式7]B提示：由“3x∈R,(m-1)x2+2(1-m)x+ 3≤0是假命题”可得“Hx∈R,(m-1)x2+2(1一m)x十 3>0是真命题”. 当m一1=0，即m=1时，不等式3>0恒成立； m-1>0, 当m-1≠0，即m≠1时， [2(1-m)]2-4(m-1)×3<0, 解得1<m<4. 综上可得，1≤m<4.又“m>0”是“1≤m<4”的必要不 充分条件，所以“m>0”是“3x∈R,(m-1)x2+2(1一 m)x十3≤0是假命题”的必要不充分条件. [变式8]D提示：本题即mx2一m.x+m-5<0对于 任意的1≤x≤3恒成立. 令y=m.x2-mx十m-5,1≤x≤3， 若m=0,-5<0恒成立； 若m<0,当x=1时y最大，且ymax=m-5<0, 解得m<5,.m<0; 若m>0,当x=3时y最大，且ymax=7m-5<0, 解得m<号，∴0<n<号。 综上所述，实数m的取值范周为mm<号}。 [变式]{a-2<a≤2}.提示：命题“存在实数x,使 得(a-2)x2+2(a一2)x-4≥0成立”是假命题，则其 否定“H实数x,都能使得(a-2)x2+2(a-2)x-4< 0成立”是真命题. 当a=2时，原不等式化为一4<0恒成立； a-2<0, 当a≠2时， 4=4(a-2)2+16(a-2)<0, 解得-2<a<2. 综上，-2<a≤2.故答案为{a-2<a≤2. [变式10]ABC提示：不等式x2-4x-a-1≥0在 x∈{x|1≤x≤4}有解等价于a≤(x2-4x一1)m.设 y=x2-4x-1,1≤x≤4，即y=(x-2)2-5,而当x= 1时，y=-4;当x=4时，y=-1,故y=x2-4x-1 在x∈{x1≤x≤4}时的最大值为-1，故a≤-1. 真题演练答案 1.A提示：P={xx≤-1或x≥3}，故P∩Q={x|3≤ x<4} 2.{x|-4<x<1.提示：-x2-3x+4>0→(x+4)(x- 1)<0→-4<x<1. 3a百<a≤}.提示：不等式可化为4-a) 49 4x十1<0， ① 由原不等式的解集中的整数恰有3个， 得->0， 即0<a<4, 116-4(4-a)>0, 由①得1 <<。1,又<1< 2+√a 2-a 42+a2 所以解集中的3个整数必为1,2,3， 所以3<，<4，解得日<a≤银 2-√a 练习册答案 A学考过关练 1.C提示：△=1一8<0，该方程无解，解集为空集， 2.A提示：x2-4x<0→x(x-4)<0→0<x<4. 3.D提示：不等式x-只<0在1<x<2上恒成立，即 x2<a恒成立.1<x<2时，1<x2<4,所以a≥4. 4C提示：a<0,a(x+2)(x+是)<0， x+2(e+日）>0，又-2>0， 不等式的解集为x<-2或x>- a 5.(1)因为不等式ax2-3x十b>4的解集为{x|x<1或 x>2}, 所以x=1,x=2是方程a.x2-3x十b-4=0的根， 3=1十2， a=1, 根据韦达定理得 解得 b-4=1×2, b=6. a (2)由(1)可将不等式化为x2-(c+2)x+2c<0, 即(x-c)(x-2)<0. 当c>2时，不等式的解集为{x2<x<c}； 当c=2时，不等式的解集为☑； 当c<2时，不等式的解集为{xc<x<2}. B高考提能练 1.A提示：关于x的不等式mx2十x十m>0在R上恒 21 成立，若m=0,即x>0,不符合题意，若m≠0，则 m>0, .1 1-4m2<0, 解得m>2· 2.C提示：由x2-a.x十1≥0在1≤x≤2上有解，得 (x2-ax十1)ma≥0，由二次函数的性质可知y=x2 ax+1在1≤x≤2上的最值在x=1或x=2时取得， 故1-a+1≥0或4-2a+1≥0，解得a≤2或a≤号， 由于是有解问题，故a≤号 3.B提示：由mx|<|x-1|,则(m.x)2<(x-1)2, (m2-1)x2+2x-1<0,易知m≠1，可得[(m-1)x+ 1][(m+1Dx-1]<0,当0<m<1时，解得x>1=m 或x<十m则不等式有无数个整数解，合去.当m> 1时，解得n<<n由0n<号则3个 整数应为-2，一10，可得-n<-2解得号≤ 4A提示=+中1=x++1>22·十 x 1=3,当且仅当z=是，即x=1时取得最小值3， 当题意可知号<x<2时=x+bz十c6,c∈R)在 x=1时取得最小值3，则有b=一2，c=4, 则关于x的不等式a.x2-(c十b)x十3a<0在0<x≤2 上有解，可转化为关于x的不等式a.x2-2x十3a<0 在0<x≤2上有解， 因为0<x≤2时，不等式可转化式为az+30<2,当 a=0时，不等式为0<2，满足题意；当a>0时，不等式 化为x+2<名，则>+2≥22豆=25， x 当且仅当x=5时取等号，所以a<号即0a<号， 当a<0时，不等式化为x十三>名此时不等式恒 成立 综上可知，实数a的取值范围是a<, 5.ACD提示：选项A中，因为关于x的不等式ax2+ 4r+2b≤0(a≠0)的解集为{- 2 ，所以判断二次函 22 数y=ax2+4x十2b的图象开口向上，即a>0,选项A 正确；选项B中，因为方程ax2十4x十2b=0只有一个 解，得△=16-8ab=0,解得ab=2,选项B错误；选项 C中，因为a>0,且ab=2,所以b>0,a+2b>≥2√2ab= 4,当且仅当a=2b,即a=2,b=1时，a十2b取到最小 值4，选项C正确；选项D中，若a>b,则a一b>0, a4+女-a2时2咖-a-b1+。6≥2=4，当 a-b a-b 且仅当a-b=2,即a=1+√3，b=-1十√3时等号成 立，选项D正确。 6.BD提示：不等式x2+(a-2)x-2a<0曰(x十a)(x一 2)<0,显然a≠一2，当a<一2时，原不等式的解集为 {x|2<x<一a},由于解集中恰有两个整数，则4< 一a≤5，解得-5≤a<一4；当a>一2时，原不等式的 解集为{x|一a<x<2},由于解集中恰有两个整数，则 -l≤-a<0,解得0<a≤1，因此a的取值范围是 -5≤a<-4或0<a≤1，显然选项A,C不可能，B,D 可能 7.(1)不等式a.x2+bx十c<0的解集为{x|-2<x<3}, .a>0,且-2,3是方程ax2+bx十c=0的两根， 则1=一6一6=8，可得b三一a,c=一6a,则不等 式cx2+bx十a<0即为-6ax2-ax十a<0, 6a+z-1D0,解得<-名或>号 放不等式cr2+br+a<0的解架为{zx<-号或 >》 (2)若a=1,则b=-a=-1, 故不等式mx2-(m-2b)x十2a>0即为x2-(m+ 2)x+2>0, 即为(mx-2)(x-1)>0,又m<0, ÷不等式可化为(-异)红-1D0, 方程（号）：-1=0的两根为1= x2=1,又 <0<1，所求不等式的解集为员<x<: m 8.(1)由题意可知，方程x2十(2-m)x+3-m=0有两 个不等实根x1,x2, 所以△=(2-m)2-4(3-m)=m2-8>0,解得m< -2√2或m>2√2. 由根与系数的关系可得x1十x2=m一2，x1x2=3-m, 所以x+x号=(x1十x2)2-2x1x2=(m-2)2-2(3- m)=m2-2m-2=6, 即m2-2m-8=0,解得m=-2(舍去)或m=4,故实 数m的值为4. (2)由题得方程x2+(2一m)x+3-m=0在区间(0， 2)上有两个不等实根， △=m2-8>0, 所以 "22. 3-m>0, 4+2(2-m)+3-m=11-3m>0, 解得2√2<m<3, 因此，实数m的取值范围是2√2<m<3. C拓展拔高练 1.0或1.提示：由已知可得(x一a十2)(x一a)(x一a2)≥ 0,易知该不等式对应方程的三个根为x1=a一2<x2= a,x3=a2≥0，且a2>a-2恒成立； 已知x≥0时，不等式(x-a+2)[x2-(a十a2)x十 a3]≥0恒成立，则需满足当a2=0时，解得a=0成立； 当a2>0时，a=a2,-a十2>0，解得a=1成立. 综上可得a=0或a=1. 2.C提示：设2x2+y2=m,则y2=m-2x2,,5x2 4xy-y2=5,.4xy=5x2-y2-5,.16x2y2 (5.x2-y2-5)2,.16x2(m-2x2)=（-m-5+ 7x2)2,.81x4-(30m+70)x2+(m+5)2=0,设 x2=t,∴.81t2-(30mm+70)t+(m+5)2=0,.△= (30m+70)2-4×81(m+5)2≥0，即576m2+960m- 320≥0，解得m≥号或m<-9（舍去)，22+ y的最小值是号 单元学能测评 1.C提示：由-x2-x十2>≥0，得x2+x-2≤0，即(x+ 2)(x-1)≤0，解得-2≤x≤1，∴.解集为{x|-2≤ x1} a>0, 又b>c,ab>ac,故 c<0. A一定成立.b-a<0,c<0,∴c(b-a)>0,故 B不成立.若b2=0,则可验证C不成立，而ac<0,a c>0,.ac(a-c)<0,故D不成立. 3.D提示：m-n=x2+y2-2(x十y-1)=(x-1)2+ (y-1)2≥0，所以m≥n,当且仅当x=y=1时取 等号 4C提示：由题意≥1时，x十≥2，条件必要：a十 ≥2令1i>0a≥(2=1，条件充分 5.D提示：因为不等式ax2十bx+c≥0的解集为{x| -2≤x≤3}，所以a<0且-2,3是a.x2+bx+c=0的 (_b=-2+3, a 根，所以仁=一2×3， 所以b=-a,c=-6a,a<0, a a<0, 侧中合0可转化为千。≥0，脚≤0，解 得-1K≤-合 6.A提示：依题意，命题“3x∈{x|-1≤x≤4}，x2 2x-a≤0”为真命题，所以a≥(x2-2x)mn,由于x2 2x=(x-1)2-1,所以当x=1时，x2-2x取得最小 值为一1，所以a≥一1. 7.C提示：由题可知，a十b=8,a>0,b>0,则a+b≥ 2√ab,即8≥2√ab,所以ab≤16，当且仅当a=b=4 时，等号成立，又“赵爽弦图”的面积为c2=a2十b2= (a十b)2-2ab=64-2ab>64-2×16=32,所以当a= b=4时，“赵爽弦图”的最小面积为32cm2. 8D提示：由题知（得+）≥-2x+2因为a, b为正实数，所以由2a十b(1-a)=0得2a十b=ab,即 会+1，所以2(+)-2[（日)+(g门≥ (日)+（层）}'+2×号×是-（层+日）°-1当且 仅当号-日且2a十b=ab,即a=2,6=4时，等号成 立，所以2（侵+）≥1，即+会≥，所以≥ x2-2x+2,整理得x-2x<0,则0≤x<2,结合x 为正数，得0<x≤2，所以正数x的最大值为2. 9.BCD提示：由0<a<b<c,得b-a>0,c-a>0,c 6>0A选项，。-6。=88 c-a)6-a<0,即1<，1 b一c 即c一aC6二a,A选项错误；B选 项名牛-+a-8g>0即 a(a十c) 23