2.2 基本不等式-【重难点手册】2026-2027学年高中数学必修第一册同步练习册（人教A版）浙江专用

重难点手册高中数学必修第一册（上）？J(浙江专用) 2.2基本不等式 A学考过关练 测试时间：10分钟 =2,则+的最小值为 1.[题型2](2021·浙江省学业水平考试)已知正 B高考提能练 。测试时间：15分钟 实数x,y满足xy=2,则x+y的最小值是 (). 1.[题型4]若正实数a,b满足a十b=1,则 A.3 B.2√2 C.2 D.√2 ) 2.[题型2]下列几个不等式中，不能取到等号的 A日+名有整大位4 是(). B.√a十√石有最大值√2 AE+二≥2z>0) √无 C.a6有最小值子 B1+2≥88≠0) D.a2+62有最小值号 2 C-4-后21x<0) 2[题型2]设0心m<2,若+ m 1-2m ≥k恒成 D.√x2+5+- 1 ≥2(x∈R) x2+5 立，则k的最大值为( 3.[重难点1们已知a,b为互不相等的正实数，下 A.2 B.4 C.6 D.8 列四个数中最大的是(). 3.[题型2]已知a>0,b>0,若不等式 a+6 2 A.√ab B. 1 。恒成立，则m的最大值为( a2+b2 D.at6 A.4 B.6 C.8 D.9 C.2 2 4.[题型2]（数学文化）《九章算术》是中国传统数 4.[题型2]（多选）已知x,y为正数，且xy=1, 学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本 则下列说法正确的是(). 框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西 A.x十y有最小值2 七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有 B.x十y有最大值2 木，问出南门几何步而见木？”其算法为：东门 C.x2十y2有最小值2 南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘 D.x2+y2有最大值2 积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被 5.[题型2](2024·浙江省学业水平考试)已知 除数除以除数得结果，即出南门x里见到树， y均为正实数区一号-1，则生y的敏大 (9x2)×(x2》 则x .若一小城，如图所 值为 15 6.[题型4幻(2024·浙江省“9十1”高中联盟学业 示，出东门1200步有树，出南门750步能见到 水平考试模拟)已知a,b为正实数，且2a十b 此树，则该小城周长的最小值为（注：1里= 20 第二章一元二次函数、方程和不等式么出超 300步)( (8求+产，的最小值 E 0东门 南门 A.4√10里 B.6√10里 C.810里 D.10/10里 5.[题型2](2026·云南建水实验中学高一阶段 蛛习诺存在∈}<≤2，使得2x λx。十1<0成立是假命题，则实数入可能的取 值范围是 6.[题型4]已知a>0,b>0,c>1,a十2b=2,则 (侵+名)+。名的最小值为 7.[题型2]（新情境）某人要买房，随着楼层的升 高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升 C拓展拔高练 测试时间：5分钟 高.当住第n层楼时，上下楼造成的不满意度 1.(2025·浙江强基联盟高一模拟)若正实数a,b 为n.但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为 12ab 安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降 满足4如+962=1，则2a十36-的最大值是 低设住第m层楼时，环境不满意程度为号 ） A.1-2 B.1+√2 则此人应选第 楼，会有一个最佳满 意度 C.√2-1 D.√2 8.[题型3]已知x>2,y>0,xy=y十4. 2已知正数a,6e满足a+26=4,c>1,则%十 (1)求x+y的最小值 (2)求(x-1)2+y2的最小值. 合台十2的小为 21练习册答案 A学考过关练 1.B提示：x十y≥2√xy=2W2, 2.D提示：对于A,当且仅当VE=二，即x=1时等号 V 2 成立；对于B,当且仅当x=,即x=土2时等号 成立：对于C,当且仅当-一后即x=一8时等 号成立：对于D,当且仅当√+5=1 ，即 √x2+5 x2=一4时等号成立，无解，故等号不成立. 3.C提示：因为a,b为互不相等的正实数，所以由重要 不等式可得a2+b2>2ab,则2(a2+b2)>a2+b2+ 4之，则/+6 2ab=(a+b)2,所以2+b、a+6)2 > 2 2 生历，由基本不等式可得工2二<， 1 a+62√ab √ab,所以 atb>atb>/ab>2 2 2 11,因此， a2+b2 最大的数为√心2， 4.AC提示：x,y为正数，且xy=1,则有x十y≥ 2√xy=2,x2+y2≥2xy=2,当且仅当x=y=1时等 号成立，所以x十y有最小值2，x2+y2有最小值2. 5.6-4厄.提示：1-y=(生-y)(-号）=4+2 (y+8)≤6-2x8=6-42, 当且仅当xy=2W2,x>0,y>0时取等号. 6是.提示：已知2a十6=2，a,6>0,则2+方 9 2a+6(2+)=号(+2+2+)=(s+ 公+2），由基本不等式2+的≥，√会×否=4，得 a +>号5+=号，当且仅当a=6=号时取 a 等号 B高考提能练 1.B提示：，正实数a,b满足a十b=1, ÷+6-+=2++8≥4 18 放。+名有最小值4，故A错误， ,(wa+b)2=a十b+2√ab=1+2√ab≤1+a+b=2, ∴√a十√b≤√2，故√a十√石有最大值√2，故B正确； 由基本不等式可得a十b=1≥2√ab, ∴ab≤}ab有最大值子，故C错误， a2+8=a+6r-2ad=1-2h>1-号-合 故a2+6有最小值2，故D错误. 2.D提示：由于0<m<2,则得到号·2m(1-2m)≤ 名·[2m+g]=(当且仅当2m=1-2m 即-专时取等号，所以十m亡2≥ =8,又由品+2mn1-2m≥6恒成立，故 2 1 1 k≤8，则k的最大值为8. 3A提示：因为a>06>0。<古恒成立，即 m≤a_+6+2咖-号+台+2恒政立.又 ab ab a 因为+名+2≥2√合·吾+2=4，当且仅当- ，即a=b时取等号，所以m≤4，所以m的最大值为4. a 4.C提示：设GF=x步，EF=y步，由△BEF∽△FGA 利器-需所以120=高 x=。,y=心（步），所y x 小城周长为x=2(2x+2)=4x+900,000)≥4× 2√.9000-2400√D(步)=8v0(里)，当且仅 当x=900000,即x=300/10时取等号. 5入<2E。提示：由题意得，任意的2<x<2,2x2 Xx十1≥0成立是真命题，故2x+≥以在号<x<2 上恒成立由基本不等式得y-2x+士≥22x· 1 时，等号成立，故λ≤2√2. 6公提示日+号-（公+号）a+20=5+ 2+会)）≥×5+0=号，当且仅当。=6=号时 等号成立（应用基本不等式时注意等号成立的条件）， 所以（公+号）+名≥号-10+名+号≥ 2,高+号-号当且仪当2- 2 名即c-号且a-6-号时，等号成立放最小值 为卧 7.3.提示：设此人应选第n层楼，此时的不满意程度为 y由题宫知y=n十只x+员≥2n,及-4。 当且仅当n=号，即n=2v2时取等号，但考虑到n N”,当m=2时，y=2+8=6,当m=3时，y=3+ 2 弩号即此人应选3楼，不满意度最低故答案为3 8.(1)因为x>2,y>0,xy=y+4, 所以x=1+4,所以1T少→2 解得0<y<4, y y>0, y=5, 所以x+y=1+号+≥1+2√号 当且仅当号-y即y=2,=3时取等号， 所以x十y的最小值为5. 四-1+y-9+≥2停-8当且a /16 当9-)，即y=2,x=3时取等号， 所以(x-1)2+y2的最小值为8. (8因为x=1计号>2且0<4，所以4-y>0, 所以x+高，=1+号十片) 4=1++42+ y yH42=1+1+号2+六+1≥3+ 4-y y 当且仅当号2-六即y=2=3时取等号， 所以x十产与的最小值为5， C拓展拔高练 12ab 1B提示：2=2a十64如十62白 2a+3b-1 2a+3b)21=2a+36+1,因为2×2a×36≤4a2+ 2a+3b-1 9b2,所以2×2a×3b十4a2+9b2≤2(4a2+9b2),即 (2a+3b)2≤2，所以2a+3b≤√2，当且仅当2a=3b= 等号，所以2a+36+1≤2 2a十物一的最大值是v2+1, 12ab 2.5v② 2 提示：已知正数a,b,c满足a十2b=4,c>1. 》(会+)x会品号， a+2b=4,a=42-4, 当且仅当b二a即 时取等号. 2a4b1 =4-2√2 所+-+2+--1叶 +号停-1x2+号-，当且收 2w2√2、 2 当c=3时取等号. 所以会+一台+>号， ,2√2、5W2 [a=42-4, 当且仅当6=4一22，时取等号.故答案为5y3 2· (c=3 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 变式训练答案 [变式1](1)解方程x2-5x-6=0,得x1=-1,x2=6. 结合二次函数y=x2一5x一6的图象知，原不等式的 解集为{xx<-1或x>6. (2)原不等式可化为x2-7x十6<0. 解方程x2-7x十6=0，得x1=1,x2=6. 结合二次函数y=x2一7x十6的图象知，原不等式的 解集为{x|1<x<6. (3)原不等式可化为8x2-8x十4>4x一x2, 即9x2-12x十4>0. 19