2.1 等式性质与不等式性质-【重难点手册】2026-2027学年高中数学必修第一册同步练习册（人教A版）浙江专用

第二章一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质 A学考过关练 A策略P 测试时间：10分钟 B.策略Q 1.[题型1](2025·浙江省学业水平考试)（多选） C.平均总成本相同 对于实数a,b,c,d,下列选项中正确的是 (). D.需根据价格波动幅度判断 A.若a>b,则a十c>b+c 6.[题型1、知识点1]在如图所示的两种广告牌 B.若a>b,c>d,则a+c>b十d 中，图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2 C.若a>b,则ac>bc 是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积 D.若a>b,c>d,则ac>bd 的大小关系，并将这种关系用含字母a,b的不 2.[题型1们]a,b,c∈R,b>c,下列不等式恒成立 等式表示出来： 的是(). A.a+b2>a+c2 B.a2+6>a2+c C.ab2>ac2 D.a2b>a2c 3.[题型1]“x>y”是“x3-y>x2y-x”的 图1 图2 (). B高考提能练 A.充分不必要条件 测试时间：15分钟 B.必要不充分条件 1.[题型2]已知实数x,y满足一4≤x一y≤-1， C.充要条件 一1≤4x一y≤5，则6x一3y的取值范围是 D.既不充分也不必要条件 (). 4.[题型2]（多选）已知1<a<2且一5<b<3,则 A.-9≤6.x-3y≤3B.-7≤6x-3y≤26 (). C.4≤6.x-3y≤15 D.1≤6.x-3y≤15 A.-4<a+b<5 B.-1<a-b<6 2.[考向3]杠杆原理是使用天平称物品的理论基 C.-5<ab<6 D-5<名<3 础，当天平平衡时，由杠杆原理可推出：左臂长 5.[考向3](2024·浙江省“9十1”高中联盟学业 与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物 水平考试模拟)某商品当前价格为100元/件， 品质量的乘积.一家商店使用一架两臂不等长 预计下个月价格上涨15%或下跌20%（两种 的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为 情况概率各50%)，若需在当前和下个月各购 λ()>0)，一位顾客到店里购买10克黄金，售 买1件（共2件），有两种策略： 货员先将5克砝码放在天平左盘中，取出一些 策略P:按需购买，当前买1件(100元)，下个 黄金放在天平右盘中使天平平衡，再将5克砝 月按当时价格买1件： 码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天 策略Q:当前一次性购买2件，享受总价95折 平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金 (即两件总价为2×100×0.95=190元).不考 交给顾客，则顾客购得的黄金质量(). 虑资金时间价值，预计哪种策略的平均总成本 A.大于10克 B.小于10克 更低？（). C.等于10克 D.无法确定 18 第二章一元二次函散、方程和不等式型 3.[题型1门(2026·广东东莞高一检测)（多选）若 案的平均价格，说明选择哪种加油方案比 x>y>之，且x十2y十之=0，则(). 较经济划算，并给出证明. A.x>0 B.之<0 C.xyyz D.之 "x一yx一2 4.[题型1]已知a=√10一√6，b=√6一√2，则 a b.（填“>”或“<”) 5.[题型1]能够说明“若a,b,m均为正数，则 b十m<b"是真命题的一组数a,b可以为a a+tm a ,b= C拓展拔高练 6.[题型2]已知b>0,且-4b≤a-c≤-b≤ 测试时间：5分钟 4a一≤5动，则。的取值范围是 1.(2025·厦门大学强基计划招生考试)A,B均 为实数，x为任意正数时，|A一B|≤x恒成 7.[题型1门(1)设a,b为实数，比较a2+b2与4a 立，则可得( -2b-5的值的大小. A.A=B ②若a>0,b>0,求证：么+4 十6≥a+h. B.A<B C.A>B D.无法确定A与B的大小关系 2.已知b克糖水中有a克糖(b>a>0),往糖水 中加入m(m>0)克糖（假设全部溶解），糖水 更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明 这个不等式 8.[考向3]港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港 (②)利用0)的结论比较M-引影2N= 澳三地的刘先生采用自驾出行.某次出行，刘 先生全程需要加两次油，由于燃油的价格有升 器8的大小 也有降，现刘先生有两种方案，第一种方案：每 次均加30升的燃油；第二种方案：每次加200 元的燃油， (1)若第一次加油时燃油的价格为5元/升，第 二次加油时燃油的价格为4元/升，请计算 出每种加油方案的平均价格（平均价格= 总价格÷总升数) (2)分别用m,n(m≠n)表示刘先生先后两次 加油时燃油的价格，请计算出每种加油方 19时，2=<y<x<4,不满足条件；当之=3时，3=之< y<x<6,y=4,x=5,满足条件.所以该小组人数的最 小值为3+4+5=12. 练习册答案 A学考过关练 1.AB提示：由不等式性质可知A,B正确.当c≤0时， C错误.当a=1,b=一1，c=0,d=一1时，D错误 2.B提示：对于A,若c<b<0,则b2<c2,选项不成立， 故A错误；对于B,因为b>c,故a2+b>a2十c,故 B成立；对于C,D,若a=0,则选项不成立，故C,D 错误 3.C提示：x3-y-(x2y-x)=x3-x2y十x-y x2(x-y)十(x-y)=(x2+1)(x-y).若x>y,则 (x2+1)(x-y)>0,即x3-y>x2y-x;若x3-y> x2y-x,即(x2+1)(x-y)>0,则x>y.所以“x>y” 是“x3-y>x2y-x”的充要条件 4.AD提示：1<a<2且-5<b<3,∴.1-5<a+ b<2十3，即一4<a十b<5,故A正确； 取a=1.8,b=一4.8，则a一b=6.6>6,故B错误； 取a=1.8,b=-4,则ab=-7.2<-5,故C错误； 1<a<2,.5<5a<10.又-5<b<3,.0<b+ 5a<13,名-(-5)=6t50>0,-5<点 1<a<2,.-6<-3a<-3.又-5<b<3, .-11<b-3a<0,:.2-3=6-8u<0,b<3. 综上，-5<<3，故D正确。 5.B提示：先分析策略P(分两次购买)： 当前成本：100元（第1件）. 下个月价格：上涨15%后为100×(1+15%)=115元， 下跌20%后为100×(1一20%)=80元，概率各50%， 则下月购买第2件的平均成本为115×0.5十80×0.5= 97.5元，所以总平均成本为100十97.5=197.5元. 再看策略Q(一次性囤货2件)： 无论下个月价格如何波动，总成本固定为2×100×0. 95=190元（享受折扣后无价格风险）. 所以策略P的平均总成本197.5元>策略Q的固定 成本190元， 尽管价格波动非对称，但策略Q通过固定折扣直接降 低了总成本，且折扣后的单价(95元/件)低于策略P 的预计单价(97.5元/件)，因此策略Q更优. 6含口+6)>a山。提示：由题图可知，第一个矿告牌 的面积5，=合（。2+6)，第二个广告牌的面积S:= ab,显然S,>S,即2(a2+b2)>ab. B高考提能练 1.A提示：6x-3y=2(x-y)+(4x-y),因为-4≤ x-y≤-1，所以-8≤2(x-y)≤-2，又-1≤4x y≤5，所以-9≤2(x-y)+(4x-y)≤3，即-9≤ 6x-3y≤3. 2.A提示：设天平的左臂长为a,右臂长为6，则分= 入(>0)，所以a=b.设先称得的黄金的实际质量为 m1,后称得的黄金的实际质量为m2,则bm1=a×5, m2=bX5,解得m1三6，m2=。,所以m1十m2 号+2，所以(m:+m:)-10=号+的-10 b a 56-a)=56-62_51-2)',因为入>0，所以 ab λ62 5(1-1)2 λ >0,即m1十m2>10,所以顾客购得的黄金 质量大于10g 3.ABD提示：对于A,由x>y>之且x+2y十之=0得 x十2y+之<x十2x+x=4x,所以4x>0,x>0,A正 确；对于B,x十2y十之>x十2x十之=4z,所以4z<0, 之<0，B正确；对于C,取x=1,y=0,之=一1，则xy= yz,C错误；对于D,由x>y>z得0<x一y<x-z, 所以与因为0所以台，亡D 正确. 4.<.提示：a=0-6=0-6)(0+6) √10+√6 V0+后，6=6-E-w6-26+2 4 √6+√2 6十2因为而>，所以1而+6>6+2>0. 4 1 .1 4 .4 所以0+后6十2所以 而+6下6+2即 a<b. 5.1;2.(答案不唯一)提示：因为命题“若a,b,m均为 正数，则土m<名”是真命题，所以2_6十” a+m a aa+m 6一a)m>0,可得0<a<b,所以可取a=1,b=2. a(a+m) 15 6-1≤a。≤20提示：由-46≤a-c≤-6长a -4b≤a-c≤-b, c≤5b可得{ -b≤4a-c≤5b, 9a-c=m(a-c)+n(4a-c), 整理可得9a一c=(m十4n)a一(m十n)c, 5 m+4n=9, m=- 31 所以 解得 （m+n=1, 8 n=3' 所以0u-6=-号a-0+号4a-0 将一仙<。-(<-6两边同时乘-号， ⊙ 将一<a-6≤6两边同时乘8， ② ①2两式相加可得80-号6C-号a-) 8(4a c)≤96+9，即-b≤9u-6<206, 因为b>0,所以-1≤9a≤20. b 7.(1)因为a2+b2-(4a-2b-5)=a2-4a+4+b2+2b+ 1=(a-2)2+(b+1)2≥0， 故a2+b2≥4a-2b-5. (②因为a>0,6>0,所以a+6>0又答+号 a3+6_a+b)a2-ab+b2),因为a2+b≥2ab,所以 ab ab 有2+凭-+e的a+0e-山 b ab ab a6,当a=6时，等号成立，因此会+号a+6 8.(1)第一种方案，两次加油共花费30×5+30×4= 270(元)，两次共加了60升燃油， 所以平均价格为 =4.5(元/升)： 第二种方案，两次加油共花费200十200=400（元），两 次共加了(g0+2婴）=90升燃渝， 所以平均价格为0-智元/升。 (2)由题意可得，第一种方案，两次加油共花费(30m+ 30m)元，两次共加了60升燃油， 16 所以平均价格为30m+30m_m十”（元/升）； 60 2 第二种方案，两次加油共花费200+200=400（元），两 次共加了 200+200)升燃油， m 400 所以平均价格为20020T元/升。 因为”士“严-器 2(m+n) 2(m+n)>0, 所以选择第二种加油方案比较划算 C拓展拔高练 1A提示：假设A≠B,则1A-B>0,令=A,B 2 0,由条件知A一B≤A,B,即1A一B1≤0，从而 2 A=B,与假设矛盾.因此只能是A=B. 2.1)g<4tm(m>0,6>a>0). bb+m 正明：子一十-b十am二ob-加abm b(6+m) b(6+m)' 因为b>a>0,m>0,所以a-b<0,b+m>0, 所以号一+州<0，即号” b 6+m (2)M= 2023202420232021+3N=012017 2019202020192017+3 20232021' 所以由(1)中的结论可得20232021+320232021' ,20192017+3、20192017 即M>N. 2.2基本不等式 变式训练答案 [变武门由√得v+8号a+6. 同理得+号6+0，v8≥号c+a）. 所以V后+8+v6+2+V+8≥号a+b)+ (b+c)+(c+a)]=2(a十b+c). 故√a2+b2+√6+c2+Wc2+a≥2(a+b+c), 当且仅当a=b=c时，等号成立. [变式2]由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca, 得a2+b2+c2≥ab+bc十ca, 当且仅当a=b=c时，等号成立. 由题意得(a十b十c)2=1, a2+62+c2+2ab+26c+2ac=1,