第11章 整式的乘除（举一反三单元自测·拔尖卷）数学新教材沪教版五四制七年级上册

**基本信息** 新教材沪教版五四制七年级下册第11章整式的乘除拔尖卷，28题覆盖选择（6/12）、填空（12/36）、解答（10/52），通过基础巩固、能力提升、创新应用梯度设计，融合数形结合与新定义问题，可量化学生抽象能力、运算能力及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|幂的运算、代数式求值|结合连续整数乘积（第2题）考查推理意识| |填空题|12/36|完全平方、整式化简|含参数问题（第13题完全平方式）提升抽象能力| |解答题|10/52|乘法公式、新定义运算|数形结合（第26题几何验证公式）及“和谐数”（第6题）培养模型意识|

第11章 整式的乘除·拔尖卷 【新教材沪教版五四制】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1．（25-26七年级下·山东聊城·期末）若，是正整数，且满足9个相加等于4个相乘，则与的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，再根据，结合同底数幂乘法和幂的乘方运算法则求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·广东佛山·期末）有五个连续的整数，用其中最大两个数的乘积减去最小两个数的乘积，所得的差一定含有因数（     ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】通过设未知数表示出五个连续的整数，再分别计算最大两个数的乘积和最小两个数的乘积，求出差后化简，即可判断差一定含有的因数． 【详解】解：设这五个连续的整数中最小的数为（为整数），则这五个连续的整数依次为， ∴最大两个数的乘积为， 最小两个数的乘积为， ， ∵为整数，也为整数， ∴一定是的倍数，即所得的差一定含有因数． 3．（25-26七年级下·山东济南·期末）若，则代数式的值为（     ） A． B． C．6 D．4 【答案】C 【分析】先化简所求代数式，再利用整体代入法，将已知代入化简后的式子计算，即可得到结果． 【详解】解： ， ， 原式． 4．已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先变形化简，，，，比较11次幂的底数大小即可． 【详解】因为，，，， 因为， 所以， 所以， 故即； 同理可证 所以， 故选A． 【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方及其逆运算是解题的关键． 5．如图，在长方形中放入一个边长为的大正方形和两个边长为的小正方形（正方形和正方形），其中个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算，设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得，，的长、宽及面积，根据，可整体求得的值，即长方形的面积，根据所给图形，数形结合，正确表示出相关图形的长度和面积是解题的关键． 【详解】解：设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得： 的长为，宽为， ∴； 的长为，宽为， ∴； 的长为，宽为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴长方形的面积为， 故选：． 6．（25-26七年级下·安徽亳州·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，有如下结论： ①； ②是8的倍数； ③m，n为正整数，且，若是“和谐数”，则， 其中正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】①根据 “和谐数”的定义，观察规律，即可得到的值； ②根据①中找出的规律进行计算即可判断此结论的正误； ③将整理为，把代入，求出原式的值0，然后根据“和谐数”的定义即可判断． 【详解】解：① 观察“和谐数”可知，设下标为，则被减数的底数为，减数的底数为， 即； ． 故①正确； ②根据①找出的规律知： ， 是8的倍数． 故②正确； ③ 若，则原式， 而0不是正整数，故不可能是“和谐数”． 故③错误. 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 7．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）已知，，则________． 【答案】9 【分析】把变形为，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴ ． 8．计算：（2x）3•（﹣x）4÷x2＝______． 【答案】8x5 【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则计算得出答案． 【详解】解：原式＝8x3•x4÷x2 ＝8x7÷x2 ＝8x5． 故答案为：8x5． 【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 9．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）已知单项式与的积为，则的值为__________． 【答案】 【分析】先计算与的积，再跟比较得到m、n的值，进而可知的值． 【详解】解：， ∵单项式与的积为， ∴， ∴． 10．（25-26六年级下·山东东营·期末）长方形的面积是，宽是，那么它的周长是_________． 【答案】 【分析】根据长方形面积公式求出长方形的长，再代入长方形周长公式计算即可． 【详解】解：长方形的长为：， 长方形周长为． 11．（25-26七年级下·福建三明·期末）已知，，则的值是__________． 【答案】12 【分析】先将两个完全平方式展开，再把展开后的两个等式左右分别相加，消去含的项，直接求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，得， ∴． 12．（24-25七年级下·安徽马鞍山·期末）化简：______． 【答案】 【详解】解： ． 13．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如果代数式是一个完全平方式，则常数的值是_____________． 【答案】 【分析】先展开原式得到二次三项式，再根据完全平方式的结构特征列方程，求解方程即可得到常数的值． 【详解】解：∵， 又∵代数式是完全平方式， ∴一次项系数一半的平方等于常数项，可得：， 整理得：， 解得． 14．（25-26七年级下·四川成都·期末）要使的展开式中不含项，则的值为______． 【答案】0 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握单项式乘多项式的运算是解题的关键．根据单项式乘多项式的运算，再结合展开式中不含项，即可解答． 【详解】解：， 要使的展开式中不含项， ． 故答案为：0． 15．（25-26七年级下·河北张家口·期中）小明在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中不含一次项，则被染黑的常数为________． 【答案】1 【分析】设，根据多项式乘法法则展开，再根据结果中不含一次项得出，解答即可； 【详解】解：设， 则， ∵结果中不含一次项， ∴， 解得：． 16．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知，则_________．（用含k的代数式表示） 【答案】 【分析】先由得到，再将变形为，然后结合幂的乘方运算法则和积的乘方逆运算法则求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ． 17．（25-26八年级上·福建泉州·期末）对于任意的整数，如果，则称为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．例如：，则为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．已知“最简平方差”对应的“最佳分解数”分别为、，且，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算及平方差公式，关键是对定义的理解；根据定义可得关于的表达式，再结合得到的关系式，最后根据为整数，求出的最小值． 【详解】解：∵“最简平方差”对应“最佳分解数”， ∴； 同理， ∵， ∴，即， ∴， ∵、均为整数，且由， ∴ 当时，； 当时，； 因此的最小值为， 故答案为：． 18．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知实数a，b，c满足，则的值为_____． 【答案】4053 【分析】本题考查同底数幂的除法运算，代数式求值，正确掌握运算法则是解题关键． 根据题意，利用同底数幂的除法运算法则，由已知条件求出与的值，然后将原代数式变形，代入所求值即可得到结果． 【详解】解： ． ∵，，， ∴，， ∴， 原式． 故答案为：4053． 三、解答题（本大题共10小题，满分52分） 19．（4分）（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）计算： (1)； (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2)化简结果为，值为 【分析】（1）依据同底数幂乘除、幂的乘方法则分别化简三项，再合并同类项得出结果； （2）套用平方差、完全平方公式展开括号内的整式，去括号后合并同类项，做整式除法化简式子，最后代入数值计算求值． 【详解】（1）解： ； （2） ， 当，时，原式． 20．（4分）（25-26七年级下·陕西西安·期末）根据幂的运算，完成下列问题． (1)已知，，求． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）逆用幂的乘方运算法则，进行计算即可； （2）根据幂的乘方运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵， ∴ ． 21．（4分）在计算时，小泉同学看错了b的值，计算结果为；小张同学看错了a的值，计算结果为． (1)求a，b的值． (2)计算的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的乘法运算，正确的计算是解题的关键． （1）化简，对比结果，分别求出的值； （2）将（1）的的值代入代数式求解即可． 【详解】（1） ∵小泉同学看错了b的值，计算结果为； ∴解得 ∵小张同学看错了a的值，计算结果为． ∴， ∴ （2） 22．（4分）（25-26七年级下·江苏泰州·期中）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如 (1)填空：当，时， ； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干中的新定义法则求解； （2）首先根据新定义法则得到，，然后求出，，然后将原式变形后代入求解即可． 【详解】（1）解：当，时，； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（4分）（25-26七年级下·广东佛山·期末）已知，． (1)化简； (2)若是整数，求满足什么条件时，能被4整除； (3)若且，求的值． 【答案】(1) (2)当为除以余的整数（或,k为整数）时，能被整除 (3) 【分析】（1）根据整式的乘法运算，展开后，再合并同类项即可； （2）将原式变形为，根据整除的意义，解答即可； （3）根据题意，得，对进行化简求解即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， 故当为除以余的整数（或,k为整数）时，能被整除； （3）解： ， 且， ， 整理，得， ． 24．（4分）已知：设 (1)求的值 (2)试写出三者之间的关系 (3)根据以上得出的结论，求 【答案】（1），，；（2）；（3）521. 【分析】（1）首先求出，，然后将S3变形得，整体代入可求其值，同理可求和； （2）观察（1）中的结果，总结规律可得； （3）根据（2）中的规律，依次求解，可得. 【详解】解：（1）∵，， ∵， ， ， ， ； （2）∵，，，，， ∴，，， 总结规律可得：； （3）∵，， ∴， ， ， ， ， ， . 【点睛】本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式的运用，关键在于根据题意求出S2＝3，S3＝4，S4＝7，分析归纳出规律：． 25．（6分）（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）定义：把多项式化简后的项数记为，例如多项式，则．一个多项式乘以多项式，化简得到多项式（即），若，则称是的“增项式”；若，则称是的“恒项式”． (1)若，均为关于的多项式，求证：是的“增项式”； (2)若，均为关于的多项式，且是的“恒项式”，求的值． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴是的“增项式”． (2) 【分析】（1）分别计算出与，根据“增项式”的定义进行判断即可； （2）先计算出，分两类讨论，当时，为单项式，为二项式，不符合题意；当时，则和都是二项式，因此，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ①当时， ∴，， ∴，， ∵， ∴是的“增项式”，与题意矛盾； ②当时，则， ∵是的“恒项式”， ∴，即多项式为二项式， ∵，且， ∴， 解得． 26．（6分）（25-26七年级下·四川成都·期末）华罗庚先生指出：“数无形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题．如图1，是一个面积为的图形，同时此图形中有个边长为的正方形，个边长为的正方形，个两边长分别为和的长方形，从而可以得到乘法公式． (1)如图2，若，，则图中阴影部分的面积为________． (2)观察图3， ①从图3中得到________． ②根据得到的结论，解决问题： 若，，，求代数式的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据乘法公式，将，代入计算即可； （2）①根据图中正方形面积的两种表示方法，即可求解； ②根据①中的结果，代入求出，根据多项式乘多项式的运算法则求出，将，，代入计算，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 将，代入，可得， 整理得， ． （2）解：①图是一个面积为的图形， 同时此图形中有个边长为的正方形，个边长为的正方形，个边长为的正方形，个两边长分别为和的长方形，个两边长分别为和的长方形，个两边长分别为和的长方形， 从而可以得到公式． ②∵， ∴， 将，代入，可得， 整理得； ∵， ， ， ， 故， 将，，代入，可得， 整理得． 27．（8分）阅读并思考： 计算时，山桂娜同学发现了一个简单的口算方法，具体步骤如下： 第一步：47接近整十数50，； 第二步：取50的一半25，； 第三步： 第四步：把第二、三步综合起来，． (1)依此方法计算49： 第一步：49接近整十数50，； 第二步：取50的一半25，； 第三步： 第四步：把第二、三步综合起来，． (2)请你根据山桂娜同学的方法，填写出一个正确的计算公式． ． (3)利用乘法运算说明第（2）小题中这个公式的正确性． (4)写出利用这个公式计算的过程． (5)计算也有一个简单的口算方法，具体步骤如下： 第一步：； 第二步：； 第三步：前面两步的结果综合起来，的结果是4221． 写出上述过程所依据的计算公式_______________________． (6)利用乘法运算说明第（5）小题中这个公式的正确性． 【答案】(1)25，1，1 (2)25，， (3)见详解 (4)见详解 (5) (6)见详解 【分析】（1）根据山桂娜同学的简便运算步骤解答即可； （2）根据（1）的规律书写公式即可； （3）利用整式乘法运算法则进行计算，即可说明（2）中公式的正确性； （4）利用（2）中得到的公式求解即可； （5）分析的简单运算，书写计算公式即可； （6）利用整式乘法运算法则进行计算，即可说明（5）中公式的正确性． 【详解】（1）解：根据题意，计算49： 第一步：49接近整十数50，； 第二步：取50的一半25，； 第三步： 第四步：把第二、三步综合起来，． 故答案为：25，1，1； （2）根据山桂娜同学的方法，填写出正确的计算公式如下： ． 故答案为：25，，； （3）∵， ， ∴公式正确； （4） ； （5）计算的口算方法，具体步骤如下： 第一步：； 第二步：； 第三步：前面两步的结果综合起来，的结果是4221． 结合上述计算过程，可书写计算公式为． 故答案为：； （6）∵ ， 又∵ ， ∴公式是正确的． 【点睛】本题主要考查了数字类规律探索、含乘方的有理数混合运算、整式混合运算等知识，理解题意，正确书写简便运算公式是解题关键． 28．（8分）（25-26七年级上·上海杨浦·期中）如图，线段长度为，在线段上截取线段，再延长至，使，，分别做正方形、正方形和正方形． (1)分别计算图中长方形和阴影部分图形的面积，可以发现一个乘法公式_________； (2)如果已知图中正方形、正方形的面积分别是7和3，计算长方形的面积； (3)分别连接、、、，如果已知正方形的面积是，正方形的面积是，用含、的代数式表示四边形的面积． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题考查了整式运算的应用． （1）根据题意可以得到； （2）由题意得，，计算得到，据此求解即可； （3）根据四边形的面积等于中间小正方形的面积和四个直角三角形面积和，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，长方形的面积， 阴影部分图形的面积， ∴可以发现一个乘法公式为； 故答案为：； （2）解：∵正方形、正方形的面积分别是7和3， ∴，， ∴， 整理得，，即， 长方形的面积； （3）解：∵正方形的面积是，正方形的面积是， ∴，， ∴四边形的面积 ． ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 整式的乘除·拔尖卷 【新教材沪教版五四制】 时间：90分钟 满分：100分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共28题，单选6题，填空12题，解答10题，满分100分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1．（25-26七年级下·山东聊城·期末）若，是正整数，且满足9个相加等于4个相乘，则与的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·广东佛山·期末）有五个连续的整数，用其中最大两个数的乘积减去最小两个数的乘积，所得的差一定含有因数（     ） A．4 B．6 C．8 D．9 3．（25-26七年级下·山东济南·期末）若，则代数式的值为（     ） A． B． C．6 D．4 4．已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在长方形中放入一个边长为的大正方形和两个边长为的小正方形（正方形和正方形），其中个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·安徽亳州·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，有如下结论： ①； ②是8的倍数； ③m，n为正整数，且，若是“和谐数”，则， 其中正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 7．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）已知，，则________． 8．计算：（2x）3•（﹣x）4÷x2＝______． 9．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）已知单项式与的积为，则的值为__________． 10．（25-26六年级下·山东东营·期末）长方形的面积是，宽是，那么它的周长是_________． 11．（25-26七年级下·福建三明·期末）已知，，则的值是__________． 12．（24-25七年级下·安徽马鞍山·期末）化简：______． 13．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如果代数式是一个完全平方式，则常数的值是_____________． 14．（25-26七年级下·四川成都·期末）要使的展开式中不含项，则的值为______． 15．（25-26七年级下·河北张家口·期中）小明在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中不含一次项，则被染黑的常数为________． 16．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知，则_________．（用含k的代数式表示） 17．（25-26八年级上·福建泉州·期末）对于任意的整数，如果，则称为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．例如：，则为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．已知“最简平方差”对应的“最佳分解数”分别为、，且，则的最小值为_____． 18．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知实数a，b，c满足，则的值为_____． 三、解答题（本大题共10小题，满分52分） 19．（4分）（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）计算： (1)； (2)先化简，再求值：，其中，． 20．（4分）（25-26七年级下·陕西西安·期末）根据幂的运算，完成下列问题． (1)已知，，求． (2)已知，求的值． 21．（4分）在计算时，小泉同学看错了b的值，计算结果为；小张同学看错了a的值，计算结果为． (1)求a，b的值． (2)计算的正确结果． 22．（4分）（25-26七年级下·江苏泰州·期中）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如 (1)填空：当，时， ； (2)若，，求的值． 23．（4分）（25-26七年级下·广东佛山·期末）已知，． (1)化简； (2)若是整数，求满足什么条件时，能被4整除； (3)若且，求的值． 24．（4分）已知：设 (1)求的值 (2)试写出三者之间的关系 (3)根据以上得出的结论，求 25．（6分）（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）定义：把多项式化简后的项数记为，例如多项式，则．一个多项式乘以多项式，化简得到多项式（即），若，则称是的“增项式”；若，则称是的“恒项式”． (1)若，均为关于的多项式，求证：是的“增项式”； (2)若，均为关于的多项式，且是的“恒项式”，求的值． 26．（6分）（25-26七年级下·四川成都·期末）华罗庚先生指出：“数无形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题．如图1，是一个面积为的图形，同时此图形中有个边长为的正方形，个边长为的正方形，个两边长分别为和的长方形，从而可以得到乘法公式． (1)如图2，若，，则图中阴影部分的面积为________． (2)观察图3， ①从图3中得到________． ②根据得到的结论，解决问题： 若，，，求代数式的值． 27．（8分）阅读并思考： 计算时，山桂娜同学发现了一个简单的口算方法，具体步骤如下： 第一步：47接近整十数50，； 第二步：取50的一半25，； 第三步： 第四步：把第二、三步综合起来，． (1)依此方法计算49： 第一步：49接近整十数50，； 第二步：取50的一半25，； 第三步： 第四步：把第二、三步综合起来，． (2)请你根据山桂娜同学的方法，填写出一个正确的计算公式． ． (3)利用乘法运算说明第（2）小题中这个公式的正确性． (4)写出利用这个公式计算的过程． (5)计算也有一个简单的口算方法，具体步骤如下： 第一步：； 第二步：； 第三步：前面两步的结果综合起来，的结果是4221． 写出上述过程所依据的计算公式_______________________． (6)利用乘法运算说明第（5）小题中这个公式的正确性． 28．（8分）（25-26七年级上·上海杨浦·期中）如图，线段长度为，在线段上截取线段，再延长至，使，，分别做正方形、正方形和正方形． (1)分别计算图中长方形和阴影部分图形的面积，可以发现一个乘法公式_________； (2)如果已知图中正方形、正方形的面积分别是7和3，计算长方形的面积； (3)分别连接、、、，如果已知正方形的面积是，正方形的面积是，用含、的代数式表示四边形的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $