第二十九章圆单元检测卷2026-2027学年九年级数学上册人教版

**基本信息** 九年级数学圆单元检测，覆盖圆的性质、计算及应用，基础题巩固概念辨析与基础运算，综合题结合石拱桥实际情境与“内半点”新定义，培养几何直观、推理能力及应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/24|圆的基本性质、圆周角、圆锥侧面积|如第1题辨析三点定圆等概念，第3题计算圆锥侧面积，夯实基础| |填空题|10/30|扇形面积、圆心角、点与圆位置关系|如第13题结合量角器考圆心角，第17题求圆锥表面最短路径，体现空间观念| |解答题|9/96|切线证明、弦长计算、新定义应用|分层设计，如第23题石拱桥建模考垂径定理，第27题“内半点”新定义题，发展创新意识与推理能力|

2026-2027学年九年级数学单元检测—圆 分值：150分 时间：120分钟 范围：第29章圆 一、单选题（共24分） 1．（本题3分）下列说法： ①三点确定一个圆； ②平分一条弦的直径垂直于这条弦； ③长度相等的弧是等弧； ④三角形只有一个外接圆． 其中真命题有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【详解】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ②平分一条弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ③长度相等的弧不一定是等弧，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ④三角形只有一个外接圆，正确，是真命题，符合题意． 真命题有1个． 2．（本题3分）如图，A、B、C是上的点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角定理得到，即可直接得出答案． 【详解】解：∵， ∴． 3．（本题3分）如图是扎西自制的一个无底锥形纸帽的示意图（圆锥的母线和底面图形的直径都是），围成这个纸帽的纸的面积（不含接缝）是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆锥的母线和底面图形的直径都是， ，， ． 4．（本题3分）已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 【答案】B 【详解】的半径，点到圆心的距离， ． 点在内． 5．（本题3分）如图，是的直径，是上一点，若，，则的长为（     ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先利用直径所对的圆周角为直角确定为直角三角形，再结合角的性质与勾股定理计算的长度． 【详解】解：∵是的直径，点C在上， ∴，即是直角三角形． 在中，， ∴， ∴． 6．（本题3分）如果将扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径缩小为原来的，那么所得扇形的面积为原来的（     ） A．4倍 B．1倍 C． D． 【答案】C 【分析】根据扇形面积公式计算判断即可 【详解】解：扇形面积，圆心角变为 ，半径变为， 变化后的扇形面积为： 7．（本题3分）如图，已知线段，以点为圆心，长为半径作，交线段的延长线于点，分别以点、为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧相交于点，作直线，交于点、，连结、、、，、若，则四边形的面积为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】B 【分析】根据尺规作图痕迹可知垂直平分，结合圆的性质可知、为互相垂直的直径，利用对角线互相垂直的四边形面积公式求解． 【详解】解：由作图痕迹可知直线是线段的垂直平分线． 点为的圆心，点、在上 为的直径，为中点 直线过点，且 点、在上 为的直径 ． 8．（本题3分）如图，在中，，，，是以斜边为直径的半圆上一动点，为的中点，连接，则 的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的中点为O，连接，，先根据直角三角形斜边上的中线性质和勾股定理得到，，进而推导出，根据三线合一得到，则点M在以为直径的圆上运动，设圆心为，连接，当M在线段上即点处时，最小，过作于H，证明是等边三角形得，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，进而可得答案． 【详解】解：如图，设的中点为O，连接，， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵是以斜边为直径的半圆上一动点， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 则点M在以为直径的圆上运动，设圆心为，连接，当M在线段上（即点处）时，最小， 过作于H，则， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴的最小值为． 二、填空题（共30分） 9．（本题3分）一个扇形的圆心角为，扇形的面积为，则扇形半径是______． 【答案】 【分析】根据扇形面积公式列方程求解，舍去不符合题意的负根即可． 【详解】解：设扇形的半径为， 根据题意，得， 则 解得或（不符合题意，舍去）， 扇形的半径是． 10．（本题3分）如图，中，，点C、D是弧上任两点，则的度数是________°． 【答案】 【分析】根据圆周角定理得到，再求它们的和即可． 【详解】解：∵，和都是所对的圆周角，点C、D是弧上任两点， ∴， ∴． 11．（本题3分）已知的半径为，是内一点，，则点到上各点的最大距离是_________． 【答案】 【分析】根据点到圆心的距离与半径的大小关系，判断点在内，点在圆内时，点到圆上各点的最大距离为半径与点到圆心距离的和． 【详解】解：的半径为，， ，即点在内， 点到上各点的最大距离为． 12．（本题3分）如图，内接于，，若，则的长为___． 【答案】π 【分析】连接，根据圆周角定理求出的度数，再根据勾股定理求出圆的半径，最后利用弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， ， ， ， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得， 设的半径为，则 ， 解得（舍负）， 的长为 ． 13．（本题3分）如图，直角中，，，将点放至量角器左侧刻度位置．斜边经过量角器的中心点，边与量角器的交点为，连接，则_________度． 【答案】 【分析】根据题意可知为圆心，、为圆上的点，利用等边对等角及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ， ，即， ， ． 14．（本题3分）如图，已知三角形为等腰直角三角形，米，以为圆心，8米长为半径画弧，以为直径作半圆，形成图形（阴影部分），此阴影部分的面积__________．（结果保留） 【答案】平方米 【分析】设与的交点为D，过点D作，垂足为O，连接，先证明，由等腰三角形三线合一的性质得出，再根据计算即可． 【详解】解：如图，设与的交点为D，过点D作，垂足为O，连接， ∵为直径， ∴，即， ∵三角形为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴米， ∴ 平方米． 答：阴影部分的面积为平方米． 15．（本题3分）如图，在矩形中，点为上一点，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的周长为__________． 【答案】 【分析】由矩形性质得，，且，故为等腰直角三角形，，由，弧为半径 、圆心角的圆弧，再求出各段长度相加即可． 【详解】四边形是矩形， ，，，． ， 为等腰直角三角形， ，， ， 的长为． 阴影部分的周长为． 16．（本题3分）如图所示，四边形是菱形，经过点A，C，D，与相交于点E，连接，．若，则的度数为_____． 【答案】/12度 【分析】首先根据菱形的性质得到，，然后求出，然后利用圆内接四边形的性质求出，然后结合三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形 ∴， ∴ ∵四边形内接于 ∴ ∴ ∴． 17．（本题3分）如图，圆锥的母线长是8，底面半径是2，点A是底面圆周上任意一点，一只蚂蚁从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是________． 【答案】 【分析】沿过点A的母线将圆锥侧面展开，根据底面半径求出侧面展开的扇形的圆心角，再由两点之间线段最短确定最短路线，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：沿过点A的母线将圆锥侧面展开，如图所示，则的长是最短的路线长， 底面半径是2， 底面圆的周长为， 即圆锥侧面展开得到的扇形弧长为， 圆锥的母线长是8， 圆锥侧面展开得到的扇形半径为8， 设圆锥侧面展开的扇形圆心角为，则， 解得， 即扇形的圆心角为． ， 在中，由勾股定理得， 即最短的路线长是． 18．（本题3分）如图，在矩形中，，，点为的中点，动点在矩形内部，连接，，且，点为上一个动点，连接，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】作的外接圆，连接、、，延长到点F，使得，连接，，在优弧上取一点H，连接，，证明是等边三角形，求得圆的半径，过O作于G，连接，求得，证明O、G、E三点共线，由勾股定理求得，根据知，当O、M、N、F四点共线时，取最小值为，进而求得的最小值． 【详解】解：作的外接圆，连接、、，延长到点，使得，连接，，在优弧上取一点，连接，，如图， 则，， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ， 过作于，连接， ， 四边形是矩形， ，， 是的中点， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，， ， 、、三点共线， ， ， ， ， ， 当、、、四点共线时，取最小值为， 的最小值为． 三、解答题（共96分） 19．（本题8分）如图，在中，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧与弦之间的关系，全等三角形的性质与判定，熟知圆的相关知识是解题的关键。 （1）可证明，则可证明； （2）先证明，再利用证明，则可证明． 【详解】（1）略 （2）略 20．（本题8分）如图，在中，弦垂直平分半径． (1)求的度数； (2)若的半径为，求弦的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是垂径定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键． （1）由已知条件得出，证出，得出，证出是等边三角形，即可得出结果； （2）由垂径定理得出，由勾股定理得出方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：弦垂直平分半径． ，， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：的半径为， 垂直平分半径， ，， 在中，， 即， 解得：或（舍去）， 弦的长为． 21．（本题8分）如图，是的弦，点D是的中点，连接并反向延长交于点C．若，求的半径． 【答案】10 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，连接，由垂径定理得，设的半径为r，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解∶连接，如图所示∶ ∵点D是的中点，， ∴， 设的半径为r，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得∶， 即， 解得∶， 即的半径为10． 22．（本题10分）图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．经过A，B，C三点（其中点O，A，B为格点），只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中的上找一点D，使得． (2)在图②中的上找一点E，使得平分． (3)在图③中的上找一点F，使得． 【答案】(1) 如图所示．（答案不唯一）      (2) 如图所示．（答案不唯一）， (3) 如图所示．如图，，点F即为所求， 【分析】本题考查了格点作图，圆周角定理． （1）根据圆周角定理即可解答； （2）根据网格的特点取格点N，可得，根据等腰三角形三线合一性质可证，最后根据垂径定理即可解答； （3）取格点，使得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 23．（本题10分）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一．如图①，某石拱桥的桥拱是圆弧形，其示意图如图②所示，其中桥顶到水面的距离，桥拱的半径．求此时水面的宽度AB． 【答案】此时水面的宽度AB为8m 【分析】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理的应用． 连接OA，根据垂径定理可知，再利用勾股定理即可求出的长，进而可得出的长，此题得解． 【详解】解：如图，连接OA，则． 由题意可知，， ． 在中，，， ， ． 故此时水面的宽度AB为m． 24．（本题12分）如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，根据等角对等边及三角形内角和得，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得答案； （2）如图，过点作于点，根据等角对等边推出，证明得，然后根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵在中，所对的圆周角为、， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 由（1）知：，， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即的长为． 25．（本题12分）如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E，F是延长线上的一点，且． (1)如图1，求证：为的切线： (2)如图2，连接、、，G为的中点，若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接， ， ； D是的中点， ， ， ，， ， ， ， ， ， 为的切线； (2) 【分析】（1）连接，证明，可得，证明即可； （2）连接，过点G作于点H， 设的半径为，根据勾股定理，可得，可得的半径，证明，可得，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，过点G作于点H，则， 由（1）得， ，， ， ， G为的中点， ， ， 设的半径为， ，，， 根据勾股定理，得， ， ， 解得， ， ， ， ，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 26．（本题14分）如图，四边形内接于，直径与弦相交于点P，连接，． (1)若，求的大小； (2)若，且，求的半径长； (3)记，，的面积分别为，，，设，，求y关于x的函数解析式． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补求得，再根据圆周角定理求解即可； （2）过O作于G，根据垂径定理得，设，根据可得，证明是等腰直角三角形得到，则，进而可求解； （3）利用三角形的面积公式可得，，，进而可求解． 【详解】（1）解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，过O作于G，则， 设，则，， ∵， ∴， 整理，得，即， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， 在中，， ∴，即的半径长为3； （3）解：如图，过B作于E，过D作于F， ∴， ， ， ∵， ∴，则， 又∵，，， ∴， ∴， 即． 27．（本题14分）定义：在平面直角坐标系中，对于内的一点P，若在外存在点，使得，则称点P为的“内半点”． (1)当的半径为4时， ①在点，，中，是的“内半点”的是 ； ②已知一次函数，若一次函数在第二象限的图象上的所有点都是的“内半点”，求k的取值范围； (2)已知点，的半径为6，若线段上存在的“内半点”，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①；②； (2)m的取值范围为或 【分析】先明确“内半点”的判定条件：若点是的内半点，则首先在内，其次满足（为半径），即的范围是． （1）①计算每个点到圆心的距离，判断是否落在区间内，符合的即为内半点； ②先确定一次函数过定点，再结合“内半点”的范围，得到直线上第二象限的点到的距离需满足，据此找到边界临界情况：一是直线上的点到的最小距离，二是直线与轴交点的纵坐标满足限制，联立求解的范围． （2）由，得到，因为的半径为6，设点P为的“内半点”，所以．当点M在x轴的负半轴时，，令，令；当点M在x轴的正半轴时，，令，令．分情况讨论． 【详解】（1）解：①设点P为的“内半点”， ∵的半径为4， ∴， ∵，，， ∴， ∴是的“内半点”的有：． 故答案为：； ②∵一次函数， ∴令，则，令，则， ∴一次函数与x轴交于点，与y轴交于点， 当时，一次函数在第二象限的图象为从A向左上方延伸的射线，不可能所有点都是的“内半点”，不合题意； 当时，一次函数在第二象限的图象为线段，如图， 过点O作于点H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵一次函数在第二象限的图象上的所有点都是的“内半点”， ∴， ∴， ∴． ∴k的取值范围为． （2）解：∵， ∴， ∵的半径为6，设点P为的“内半点”， ∴， ①当点M在x轴的负半轴时，，令，如图， ∵， ∴， ∴， 令，过点C作轴于点D，如图， 则， ∴， ∴， ∵若线段上存在的“内半点”， ∴． ②当点M在x轴的正半轴时，，令，过点C作轴于点D，如图， 则， ∴， ∴， ∴； 令，如图， ∵， ∴， ∴， ∵若线段上存在的“内半点”， ∴． 综上，若线段上存在的“内半点”，m的取值范围为或． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学单元检测一圆 分值：150分时间：120分钟范围：第29章圆 一、单选题（共24分) 1.(本题3分)下列说法： ①三点确定一个圆： ②平分一条弦的直径垂直于这条弦： ③长度相等的弧是等弧： ④三角形只有一个外接圆. 其中真命题有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2.(本题3分)如图，A、B、C是⊙0上的点，若∠A0B=60°，则∠ACB的度数为() A B A.60° B.50 C.40° D.30° 3.(本题3分)如图是扎西自制的一个无底锥形纸帽的示意图（圆锥的母线和底面图形的直径都是10©m ),围成这个纸帽的纸的面积（不含接缝）是() 10cm A.50πcm2 B.100πcm2 C.20πcm2 D.200πcm2 4.(本题3分)已知⊙0的半径为l0cm,点A为平面内一点，且OA=8cm,则点A与⊙0的位置关系是 () A.点A在⊙0上B.点A在⊙0内C.点A在⊙0外 D.无法判断 5.(本题3分)如图，AB是⊙0的直径，C是⊙0上一点，若∠BAC=30°，BC=2,则AC的长为 () B A.2 B.4 C.25 D.4v5 1 6.(本题3分)如果将扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径缩小为原来的2，那么所得扇形的面积为原 来的() c. 5 A.4倍 B.1倍 D. 7.(本题3分)如图，已知线段AP,以点P为圆心，PA长为半径作⊙P,交线段AP的延长线于点B, 分别以点A、B为圆心，大于AP长为半径作圆弧，两弧相交于点Q,作直线PQ,交⊙P于点C、D,连 结AD、DB、BC、CA,、若AP=2,则四边形ADBC的面积为() P D A.16 B.8 C.4 D.2 8.(本题3分)如图，在R△A8C中，∠4C8=90,BC=2,4C=25,P是以边4B为直径的半园 上一动点，M为PC的中点，连接BM,则BM的最小值为() 2 A.25-4 B.5-1 c.23-2 D.5-2 二、填空题（共30分） 9.(本题3分)一个扇形的圆心角为60°，扇形的面积为3π，则扇形半径是一 10.(本题3分)如图，⊙0中，∠AOB=100°，点C、D是弧AmB上任两点，则∠C+∠D的度数是 0 D 11.(本题3分)已知⊙O的半径为5cm,P是⊙O内一点，OP=3cm,则点P到⊙0上各点的最大距离 是 cm 2.(本题3分)如图，△C内接于o0.∠A=45”,名c=25.则C的K为一 .0 B 13.(本题3分)如图，直角△ABC中，∠CAB=90°，∠ABC=60°，将点B放至量角器左侧0刻度位置. 斜边BC经过量角器的中心O点，边AB与量角器的交点为D,连接OD,则∠BOD=」 度 B C 14.(本题3分)如图，已知三角形ABC为等腰直角三角形，AC=BC=8米，以C为圆心，8米长为半 径画弧，以BC为直径作半圆，形成图形（阴影部分），此阴影部分的面积 (结果保留π) 8厘米 B 8厘米 15.(本题3分)如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，CD=DE=42,AD=10,以点C为圆 心，CE长为半径画弧，交BC于点F,则图中阴影部分的周长为 E D B 16.(本题3分)如图所示，四边形ABCD是菱形，OO经过点A,C,D,与BC相交于点E,连接AC, AE.若∠D=68°，则∠EAC的度数为一。 0 17.(本题3分)如图，圆锥的母线长是8，底面半径是2，点A是底面圆周上任意一点，一只蚂蚁从点A 出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是 8.（(本超3分》氨布矩形48CD中，B=4.40=25.点5为8C的中点，动高M在能彩内部， 连接AM,DM,且∠ADM+∠DAM=30°，点N为AB上一个动点，连接MN,EN,则MN+EN的最小 值为 O E M B 三、解答题（共96分） 。(本题8分)勿图，在00中，丽=C,4=∠D,求正： 0中， A O (1)AB=CD: (2)BE=CE 20.(本题8分)如图，在⊙0中，弦AB垂直平分半径0C. B 1)求∠C的度数： (②)若⊙O的半径为r,求弦AB的长. 21.(本题8分)如图，AB是⊙O的弦，点D是AB的中点，连接OD并反向延长交OO于点C.若 AB=CD=16,求⊙0的半径. 0 B 22.(本题10分)图①，图②，图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.⊙0经过 A,B,C三点（其中点O,A,B为格点），只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图. 图① 图② 图③ (I)在图①中的⊙O上找一点D,使得∠CDB=∠CAB (2)在图②中的⊙0上找一点E,使得OE平分AC. 3)在图③中的⊙0上找一点F,使得∠ACF=45° 23.(本题10分)石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图①，某石拱桥的桥拱是圆弧形，其示 意图如图②所示，其中桥顶到水面的距离CD=8m,桥拱的半径OC=5m.求此时水面的宽度AB. B 图① 图② 由题意可知， D B CD⊥AB AD=BD=1 在RteAD0中，OD=CD-OC=3m,∠ADO=90°， ÷AD=V0A2-0D2=V52-32=4(m) ∴.AB=2AD=8m 24.(本题12分)如图，A,B,C,D是⊙O上的四个点，AC为⊙O的直径，且AB=BC,连接AB, BC,BD,CD,过点A作AE⊥BD,垂足为E. B E (1)求∠BDC的度数： Q)考BE-V ,求CD的长 25.(本题12分)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AB的中点，CD与AB交于点E,F是AB延 长线上的一点，且CF=EF」 D D F B F B A EO 图1 图2 ()如图1，求证：CF为⊙0的切线： )如图2，连接BD、AC、BC,G为BD的中点，老AG=3V 2,OE=1,求BC的长 26.(本题14分)如图，四边形ABCD内接于⊙O,直径AC与弦BD相交于点P,连接OB,OD B B D 备用图 (1)若∠DCB=110°，求∠BOD的大小： (②)若∠APB=45°，且PD2+PB2=18,求⊙0的半径长： )记△4BD,ABCD,O8D的面积分别为，S,S,设=x,内-S=y,求y关于x的函数解折 式 27.(本题14分)定义：在平面直角坐标系xO中，对于⊙M内的一点P,若在⊙M外存在点P，使得 MP=2MP,则称点P为OM的“内半点”. 养 养 6 6 4 3 3 2 2 1 1 -4-3-2-1Q 123456 -4-3-2-1Q 123456 3 3 -4 图1 图2 (1)当⊙0的半径为4时， ①在点P(-20）,B(5万)，B(1w5)中，是o0的“内半点”的是； ②已知一次函数y=x+4k,若一次函数在第二象限的图象上的所有点都是⊙0的“内半点”，求k的取 值范围； (2)已知点 M(m,0B0,-少C(2,-),OM的半径为6，若线段BC上存在OM的“内半点”，直接写出 的取值范围.