3.2.2 奇偶性(含误区20、21)-【重难点手册】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版）浙江专用

重避点手册高中数学必修第一册（上）RUA(浙江专用) 3.2.2奇偶性 重点和难点 课标要求 1理解函数奇偶性的概念 重点：奇偶性的概念。 2.了解函数奇偶性的几何意义. 难点：奇偶性的判断及应用. 3.掌握函数奇偶性的应用. 口01必备知识梳理。 基础梳理 知识点1函数的奇偶性 图明梅念 1.奇函数和偶函数的定义 如何理解函数的奇偶性？ 从函数奇偶性的定义可以 偶函数 奇函数 看出，具有奇偶性的函数有以 下特点： 般地，设函数f(x)的定义域 一般地，设函数∫(x)的定义 1.定义域关于原点对称 为I,如果Hx∈I,都有-x∈ 域为I,如果Hx∈I,都有 定义 在偶函数和奇函数的定义中， I,且f(-x)=f(x),那么函 -x∈I,且f(-x)=-f(x), 若x是定义域中的一个数值， 数f(x)就叫作偶函数 那么函数f(x)就叫作奇函数 则一x必然也在定义域中，也 定义域 就是说，一个函数无论是奇函数 关于原点对称 特征 还是偶函数，它的定义域一定关 于坐标原点对称，否则这个函数 2.函数奇偶性的运算性质 不满足奇函数或偶函数的条件， 设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,在它们的公共定义 即这个函数既不是奇函数也不 域上有下列结论： 是偶函数.例如f(x)=x2在区 间R上是偶函数，但在区间 f(x) g(x) f(x)十g(x) f(x)-g(x) f(x)g(a) [-1,2]上却无奇偶性可言. 偶函数 偶函数 2.满足定义域关于原点对 偶函数 偶函数 偶函数 称时，函数f(x)=0既是奇函 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 数又是偶函数，因为既满足 f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) f(x)g(x) f(-x)=f(x),又满足f(-x) =-f(x). 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 3.若奇函数在原点有定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 义，则f(0)=0. 4.函数按奇偶性分类：奇 3.复合函数的奇偶性 函数（如y=x3,y=x);偶函数 复合函数F(x)=f(g(x)的奇偶性如下表： (如y=x2);既是奇函数又是 100 第三章 函教的概念与性质么出 f(x) g(x) F(x) 偶函数（如f(x)=0,x∈R);既 不是奇函数又不是偶函数，即为 偶函数 偶函数 偶函数 非奇非偶函数（如y=2x十1）. 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 在f(g(x)中，g(x)的值域是f(x)的定义域的子集， 重难拓展 重难点1奇、偶函数图象的特征 卫记方法司 1.奇函数的图象特征 判断函数奇偶性的基本方法 若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中 1定义法：若函数的定义 域不关于原，点对称，则可判断 心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中 该函数既不是奇函数也不是偶 心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. 函数：若函数的定义域关于原 2.偶函数的图象特征 点对称，再判断f(一x)是否等 若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称 于土f(x). 轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个 2.验证法：即在定义域关于 函数是偶函数. 原点对称的基础上，验证f(一x) 3.奇、偶函数的单调性 根据奇、偶函数的图象特征，我们不难得出以下结论， 士fe)-0,-士1是 否成立.这是因为若∫（一x)十 (1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函 f(x)=0,则f(-x)=-f(x), 数在关于原点对称的区间上有相反的单调性.上述结论可简记为 所以f(x)为奇函数.其他的可 “奇同偶异” 类似推知 (2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值， 3.图象法：奇（偶）函数的充 取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上 要条件是它的图象关于原，点（或 的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数 y轴)对称，则通过函数的图象 4.函数图象的对称性 可直观地看出函数的奇偶性， f(x)在定义域内恒满足的条件 f(x)的图象的对称轴（对称中心） 4.性质法：利用性质来判 断，即利用奇、偶函数的和、差、 f(a+x)=f(a-x) 直线x=a 积、商的奇偶性，以及复合函数 轴对称 f(x)=f(a-x) 直线x-号 的奇偶性来判断。 直线x=a十 5.判断f(x)不是奇函数， f(a+x)=f(b-x) 2 只需在定义域内找出一个值 f(a+x)+f(a-x)=0 点(a,0) x0,使f(-x)+f(xo)≠0即 可.判断函数f(x)不是偶函 心 f(a+x)+f(b-x)=0 点（eo 数，类似地，只需在定义域内找 称 出一个值x0,使f(-xo)一 f(a+x)+f(b-x)=c 点生，) f(xo)≠0即可. 101 重滩点手细高中数学必修第一册（上）RUA(浙江专用) 例①已知y=f(x)是偶函数，y=g(x)是奇函数，它们的定 义域都是[一3,3]，且它们在x∈[0,3]上的图象如图1所示，则 刀拓视野7 不等式f）<0的解集是 两个重要结论 g(x) 1.函数y=f(x)的图象 y y-g(x) y-g(z) 关于点P(a,b)成中心对称 0外123元 图形的充要条件是函数y= y=f(x) y-f(x) f(x十a)一b为奇函数， 图1 图2 2.函数y=f(x)的图象关 于直线x=a成轴对称图形的 [点拨本题可以借助函数图象的奇偶性，画出y=f(x),y=g(x)在 充要条件是y=f(x十a)十b 区间[一3,0]上的图象，结合图象可以看出使得f(x),g(x)大于0或小于 是偶函数. 0的区同，从而求品的部朵 解析由于y=f(x)是偶函数，y=g(x)是奇函数，根据函数图象的 对称性画出y=f(x),y=g(x)在区间[一3,0]上的图象如图2所示. 由图象可知，f(x)>0等价于0<x<2或-2<x<0,g(x)>0等价 于1<x<3或-1<x<0, 又x①。等价于Cx0·成C)<0, 或 g(x)<0g(x)>0, 可求得其解集是{x|一2<x<-1或0<x<1或2<x<3). 答案{x|-2<x<-1或0<x<1或2<x<3. 口02关建能力提升。 题型方法 -f(x), 题型1函数奇偶性的判定 f(x)=3x-4x3是奇函数， (2)f(x)的定义域为R,是关于原，点对称的. 例2判断下列函数的奇偶性， (1)f(x)=3x-4x3. f(-x)=(-x)4+3(-x)2=x4+3x2=f(x), .f(x)=x4+3x2是偶函数， (2)f(x)=x4+3x2. (3)f(x)的定义域为R,是关于原点对称的. (3)f(x)=x2-x3. f(1)=0,f(-1)=2, (4)f(x)=√x2-1+√1-x. ,f(1)≠f(-1)且f(1)+f(-1)≠0， W4-x2 f(x)=x2-x3为非奇非偶函数 (5)f(x)=3-1x+3 (4)f(x)的定义域为{一1,1}，是关于原点对称的. (6)f(x)=|x-2|-x十2. .f(-1)=f(1)=0, 解析(1)∫(x)的定义域为R,是关于原点对 .f(-x)=土f(x), 称的 故f(x)=√x2一1十√1一x既是奇函数又是偶 .f(-x)=3(-x)-4(-x)3=-3x十4x3=函数 102 第三童函教的概念与性质么出 (4-x2≥0， f(x),才能判定f(x)的奇偶性， (5)由 可得-2≤x≤2且x≠0， 3-|x+3≠ 例④(1)已知函数f(x),x∈R,若对于任 .定义域为[-2,0)U(0,2],关于原点对称 意实数a,b,都有f(a十b)=f(a)十f(b).求 由定义域可知f(x)= W4-x2 √4-x 证：f(x)为奇函数. 3-(x+3) (2)设函数f(x)定义在（一m,m)(m>0) 又f-+fz+-4乙-0. 上，求证：f(x)十f(-x)是偶函数，f(x)一 ∴f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数. f(一x)是奇函数. (6)f(x)的定义域为R,关于原点对称 点拨对于(1)，因为对于任意实数a,b,都有 又.f(-x)=|-x-2|-|-x+2 f(a十b)=f(a)十f(b),所以可令a,b为某些特殊 =|x+2|-|x-2 值，得出f(-x)=-f(x). =-(|x-2-|x+2|) 证明(1)设a=0,则f(b)=f(0)十f(b), =-f(x), .f(0)=0. .f(x)为奇函数. 又设a=一x,b=x,则f(0)=f(一x)十f(x). 22+1,x>0, f(-x)=-f(x). 例3已知函数f(x)= f(x)是奇函数 22-1,x<0, (2)由于x∈(-m,m), 则(). 因此也必有-x∈（一m,m). A.f(x)是奇函数 可见f(一x)的定义域是（一m,m). B.f(x)是偶函数 若设F(x)=f(x)十f(-x),G(x)=f(x) C.f(x)既是奇函数又是偶函数 f(-x), D.f(x)既不是奇函数也不是偶函数 则F(x)与G(x)的定义域也是（一m,m),显然 是关于原点对称的， 解析函数的定义域为（一∞，0）U(0,十∞)，关 而且F(-x)=f(-x)+f(-(-x)=f(x)+ 于原点对称 f(-x)=F(x), 当x>0时，-x<0,f(-x)=- 2--1 G(-x)=f(-x)-f(-(-x) -(2x2+1)=-fx): =f(-x)-f(x) =-[f(x)-f(-x)] 当x<0时，-x>0,f(-x)=2(-x)2+1= =-G(x), 所以F(x)为偶函数，G(x)为奇函数， 22+1=-(←2x-1)-fx. 即f(x)十f(-x)是偶函数，f(x)一 综上可知，函数∫(x)是奇函数， f(一x)是奇函数. 答案A ◆变式1（多选）已知奇函数f(x)和偶函 点评用定义法判断分段函数的奇偶性：首先， 数g(x)的定义域和值域均为R.则下列函数 要判断函数的定义域是否关于原点对称其次，如果 中为偶函数的有(). 其定义域关于原点对称，要分段讨论，必须判断函数 A.f(x)g(x) B.f(x)g() 是否在每一段上都满足f(一x)=一f(x)或f(一x)= C.f(g(x)) D.g(f(x)) 103 重滩点手册高中数学必修第一册（上）UA(浙江专用) 题型2函数奇偶性的应用 (2)中的方法二不难得到a=-1. 1.利用函数的奇偶性求参数值 答案(1)30.(2)4.(3)-1. 例5(1)若函数f(x)=a.x2+bx十3a十b 2.利用函数的奇偶性求函数值 是偶函数，定义域为[a-1,2a],则a= 例6(1)已知f(x)=x5+a.x3+bx-8, ,b= 且f(-2)=10,则f(2)等于(). (2)若f(x)=(x十a)(x一4)为偶函数， A.-26 B.-18 则实数a= C.-10 D.10 (3)已知函数f(x)=z+1)(x+)为奇 (2)已知f(x)为奇函数，g(x)=f(x)十 9,g(-2)=3,则f(2)= 函数，则a= (x+1)2 点拨这是一类已知函数的奇偶性，逆向探索参 (3)设函数f(x)= x2+1的最大值为 数的问题.对于这类问题可以根据定义进行求解，但 M,最小值为m,则M+m= 我们更提倡利用常见奇、偶函数的特征来解决. 点拨本题组的函数有一个共同的特征，即都是 解析]()因为偶函数的定义域关于原点对称， 一个奇函数与一个常数的和的形态，我们可以利用奇 所以a-1=一2a,解得a= 函数图象中心对称的性质来解决」 3 解析(1)方法一令g(x)=x5十ax3十bx,易 又函数f(x)=3x+br十b十1为二次函数，结 知g(x)是R上的奇函数，从而g(-2)=-g(2),又 合偶函数图象的特点，易得b=0 f(x)=g(x)-8, (2)方法一f(x)=(x十a)(x一4)=x2十(a ∴.f(-2)=g(-2)-8=10, 4)x-4a, …g(-2)=18, f(-x)=(-x+a)(-x-4)=x2-(a-4)x- ·g(2)=-g(-2)=-18. 4a, .f(2)=g(2)-8=-18-8=-26. 两式恒等，则a-4=0,即a=4. 方法二由已知条件得 方法二f(x)=(x十a)(x-4)=x2十(a-4)x f(-2)=(-2)5+a(-2)3+b(-2)-8, ① 一4，要使函数为偶函数，只需多项式的奇次项系数 f(2)=2+a·23+b·2-8, ② 为0，即a-4=0,则a=4. 由①+②得f(2)+f(-2)=-16. 方法三根据二次函数的奇偶性可知，形如 又f(-2)=10,.f(2)=-26. f(x)=ax2十c的都是偶函数，因而本题只需将解析 (2)易得g(2)+g(-2)=2×9,则g(2)=15,于 式看成平方差公式，则a=4. 是f(2)=6. (3)方法一因为f(x)是奇函数，f(一1)=0，所以 (3)f)=红+12-+1+2x-2z f(-1D=-f0①=0，即1+1D1+a）-0,解得a=-1. x2+1 2+1x2中1+1，其中 1 g(x)= 千为奇函数，根据其图象的对称性，函数 经检验，a=一1符合题意， 方法二注意解析式中的分母为奇函数，因此， f(x)的最大值与最小值的和为M十m=2×1=2. 要使整个函数为奇函数，只需分子为偶函数即可，由 答案(1)A(2)6.(3)2. 104 第三章 函教的概念与性质》么出型 昆方法 综上可知，f(x)的解析式为f(x) (I)已知f(x)=奇函数十M,x∈[-a,a],M为 -2x2+3x+1,x>0, 常数，则 0,x=0, ①f(x)+f(-x)=2M, 2x2+3x-1,x<0. (3)方法一当x>0时，一x<0,f(-x)= ②f(x)mx十f(x)mm=2M. (2)若f(x为奇函数，则g(x)=f(x十a)+b (-x)2+(-x)=x2-x. 又f(x)为奇函数， 的图象关于点（一a,b)对称. ∴.f(x)=-f(-x)=-x2十x, 即g(x)+g(-2a-x)=2b. 即ax2+bx=-x2+x, (3)若f(x)为偶函数，则g(x)=f(x+a)+b .a=-1,b=1,则a十b=0. 的图象关于直线x=一a对称，即g(x)=g(-2a f(2)=-f(-2), -x). 方法二由题意知 f(1)=-f(-1), 3.利用函数的奇偶性求函数的解析式 4a+2b=-2, 则 例7(1)已知函数f(x)为R上的偶函 a+b=0, b=1. 数，且当x<0时，f(x)=x(x一1)，则当x>0 当a=一1，b=1时，经检验知f(x)为奇函数，故 时，f(x)= a+b=0. (2)f(x)为R上的奇函数，当x>0时， 答案(1)x(x十1). f(x)=一2x2+3x+1,则f(x)的解析式为 -2x2+3x+1,x>0, (2)0,x=0, (3)0. f(x)= {红2十x,x<0,为奇 2x2+3x-1,x<0. (3)已知函数f(x) ax2+bx,x-0 点评事实上，对于分段函数的奇偶性问题，可 以直接利用下述结论： 函数，则a十b= f(x),x>0, [点拨]对于分段函数的奇偶性问题，只需按照对 函数F(x)= 为偶函数； f(-x),x<0 称性处理即可.注意(2)中需求出f(0). f(x),x>0, 函数G(x) 为奇函数（如果在 解析(1)当x>0时，一x<0, -f(-x),x<0 则f(-x)=-x(-x-1)=x(x+1). 原点处没有定义，可以补充x=0,F(x)=G(x) ,函数∫(x)为R上的偶函数， 题型3函数奇偶性与单调性的综合应用 ∴f(x)=f(-x)=x(x+1). 1.函数奇偶性与单调性的应用 (2)当x<0时，一x>0,则f(-x)= 例⑧如果奇函数f(x)在(0，十∞)上为 -2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1. 增函数，且f(2)=0,则不等式fx-f(一)< 由于f(x)是R上的奇函数， 故f(x)=-f(-x), 0的解集为(). .f(x)=2x2+3x-1, A.(-2,0)U(2,+∞) 即当x<0时，f(x)=2x2十3x-1. B.(-∞，-2)U(0,2) :f(x)为R上的奇函数，故f(0)=0. C.(-∞，-2)U(2,+∞) 105 重难点手册高中数学必修第一册（上）RUA(浙江专用) D.(-2,0)U(0,2) 单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，对于 解析由函数f(x)为奇函数可知f(一x) 偶函数f(x),有f(x)=f(|x),此题用到这个结 论，避免了讨论.列出不等式或不等式组，同时不能漏 -f,因此fx)--)<0可化为不等式 掉函数自身定义域对参数的影响】 2fx)<0,故有 x>0, x<0, ●变式2已知f(x)是定义在R上的奇函 或 f(x)<0f(x)>0. 数，且x≤0时，f(x)=3x2-2x十m,则f(x) 再由f(2)=0可得f(-2)=0.由函数f(x)在 在[1,2]上的最大值为( ) (0,十∞)上为增函数，可得函数f(x)在（一∞，0）上 A.1 B.8 也为增函数.结合函数f(x)的单调性和奇偶性可得 C.-5 D.-16 示意图如下，所求不等式组的解集为{x|一2<x<0 2.函数奇偶性与对称性的综合 或0<x<2. 例10(1)定义在R上的函数f(x)在 (一∞，2)上是增函数，且f(x+2)为偶函数， r(x) 则(). A.f(-1)<f(3) B.f(0)>f(3) C.f(-1)=f(3) D.f(0)=f(3) (2)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1) 答案D 与f(x一1)都是奇函数，则(). 例9已知函数f(x)是偶函数，其定义域 A.f(x)是偶函数 为(-1,1)，且在[0,1)上为增函数，若f(a一2) B.f(x)是奇函数 一f(4一a2)<0,则a的取值范围为 C.f(x)=f(x+2) 点拨本题主要考查利用函数的单调性和奇偶 D.f(x+3)是奇函数 性解不等式问题 解析(1)因为f(x十2)为偶函数，所以其图象 解析f(a-2)-f(4一a2)<0, 关于y轴对称，由于f(x十2)的图象可由f(x)的图 ∴.f(a-2)<f(4-a2). 象向左平移2个单位长度得到，故f(x)的图象关于 又.'f(x)为偶函数，f(x)=f(|x). x=2对称.因为函数f(x)在（一∞，2）上是增函数，所 ∴.f(a-2)<f(4-a21). 以在(2，十∞)上是减函数，所以f(-1)=f(5)<f(3). 又.f(x)在[0,1)上为增函数， (2)函数f(x十1)是奇函数可以从两个方面来 0≤la-2<1, la-2l<1, 理解： .∴0≤|4-a2|<1,即|4-a2|<1, ①函数f(x+1)的图象是由函数f(x)的图象向 la-2l<14-a21,(1<l2+a,a≠2. 左平移1个单位长度得到的，f(x十1)是奇函数，则 解得√3<a<2或2<a<√5！ f(x十1)的图象关于原点对称，因此f(x)的图象一 定关于点(1,0)成中心对称； 因此，a的取值范围是(W3,2)U(2,√5) ②函数f(x十1)是奇函数，由奇函数的定义知 答案（√3,2）U(2,√5). f(-x+1)=-f(x+1). [点评解抽象不等式的问题时，一定要充分利用 类似地，f(x一1)是奇函数等价于f(x)的图象 已知条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或 关于点(-1,0)成中心对称，且有f(一x一1)= f(x1)<f(x2)的形式，再根据奇函数在对称区间上 -f(x-1). 106 第三章 函数的概念与性质么型 所以f(x+3)=f(x+2)+1)=一f(-(x+ 2)+1)=-f(-x-1)=f(x-1), )-,=r 所以f(-x十3)=f(一(x-2)+1)= 又x1,x2∈(-1,1)，x1<x2, -f(x-2)+1)=-f(x-1)=-f(x+3). 0,1-1>0,小0 即f(x+3)是奇函数. 而(1-x1x2)-(x2-x1)=1-x2-x1(x2-1) 答案(1)A(2)D =(1-x2)(1十x1)>0, 记方法 88x20x20 偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关 于原点对称.这一结论可以作如下推广： -1, (1)y=f(a十x)是偶函数台f(a十x)= f）>0,f)f>0… f(a一x)台f(x)的图象关于直线x=a对称； ∴.f(x)在（一1,1）上为减函数 (2)f(a十x)=f(b-x)台f(x)的图象关于直 (3)由(2)知，f(x)在(-1,1)上为减函数，且 线x=a 2对称， ()=1. (3)y=f(a十x)是奇函数台f(a一x)= f(2）=-1a∈(-1,1D. -f(a十x)台f(x)的图象关于点(a,0)成中心 .f(x)+f(a)十1≥0， 对称. 3.函数性质的综合应用 品)≥》，号 又1+ax>0,∴.2(x+a)≤1+a.x,即(2 例11已知函数f(x)在(-1,1)上有意 a)x十2a-1≤0在(-1,1)上恒成立. 义，且对任意x,y∈（一1,1）满足f(x)+ 令h(x)=(2-a)x+2a-1, f)=f h(1)≤0， 则有 h(-1)≤0， (1)求f(0)的值，判断f(x)的奇偶性并 1(2-a)·1+2a-1≤0， 证明你的结论. (2-a)·(-1)+2a-1≤0， (2)若x∈(-1,0)时，f(x)>0,判断 ∴a≤-1. 又.a∈(-1,1)， f(x)在（一1,1）上的单调性，并说明理由， ∴.不存在实数a使得f(x)+f(a)十1≥0恒 (3)在(2)的条件下，若f(2 ）=1,请问 成立 易错警示 是否存在实数a,使得f(x)+f(a)+1≥0恒 ●易错题20（错误率42%）判断函数 成立？若存在，给出实数a的一个取值；若不 /x2+2x十3，x<0, 存在，请说明理由。 f(x)=3,x=0, 的奇偶性。 解析(1)令x=y=0,则f(0)+∫(0)=f(0), -x2+2x-3,x>0 ∴.f(0)=0. ●易错题21（错误率34%）已知函数 又令y=一x,则f(x)十f(-x)=f(0)=0, .f(-x)=一f(x),故f(x)为奇函数 f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R,a为实数， (2)Vx1,x2∈（-1,1)且x1<x2 判断f(x)的奇偶性。 令x=x1,y=-x2,则f(x1)十f(-x2)= 参考答案见《全书易错题集》第5页 107 重难点手册高中数学必修第一册（上）UA(浙江专用) 03一核心泰养聚焦一。一 考向分类 方法二。 =1+异 考向1函数奇偶性的判定 画出f(x)的图象（如图所示）.由图可知，f(x)的图 例12(2023·全国I卷改编)（多选）已 象关于点（一1，一1）对称，因而只需将f(x)的图象向 知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)十 右平移1个单位长度得函数y=f(x一1)的图象，再 x2f(y),则( 将所得图象向上平移1个单位长度，即可得奇函数y= A.f(0)=0 B.f(1)=0 f(x-1)十1的图象. C.f(x)是偶函数 D.f(x)是奇函数 [解析令x=y=0,得f(0)=0,故A正确 令x-y-1,得f(1)-f(1)+f(1),即f(1)- 0,故B正确. 当xy≠0时，由f(xy)=y2f(x)十x2f(y),得 f(xy）_f(x)+fy) x2y2 x2 y2 设F(x)=fx). ,那F(y)=F(z)+F(y),易 得F(1)=0. 答案B 令x=y=-1,得F(1)=F(-1)+F(-1)=0,则 F(-1)=0. 回归教材教材P84例6的拓展 令y=-1,得F(-x)=F(x)十F(-1)= 常考题型 选填题难度系数0.8高考热度 ★★ F(x),所以F(x)为偶函数. 核心素养 逻辑推理 素养水平水平二 由y=x2为偶函数，得f(x)=x2F(x)为偶函 数，故C正确 考向2函数奇偶性的应用 答案ABC 例14(2025·天津卷)已知函数y= 例13（经典·全国乙卷）设函数f(x)= f(x)的图象如下，则f(x)的解析式可能为 1一工，则下列函数中为奇函数的是( (). 1+x A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 }1 解机方法-fx-1)-1=1红D 2-2江，不是奇画数，故选项A不符合题意f(x一1） +1+1-2,是奇画数，故选项B符合题 1+x一1 A.f(x)=1-x :x+D-1-1-2 B.f(x)=1x1- x+2,不是奇 函数，故选项C不特合题意；f(x十1D十1=+》 c) D.f(a)=zl x2-1 1+x+1 点拨先由函数奇偶性排除A,B,再由x∈(0， 十1一千2不是奇函数，故选项D不符合题意。 1)时函数值的正负情况可得解. 108 第三章函数的概念与性质么出型 [解析由图可知函数为偶函数，而函数f(x) 因为f(x)十g(2-x)=5, 所以f(0)十g(2)=5,即f(0)=1, 1一和函数f(x)=z为奇函数，故排除选项 所以f(2)=-2-f(0)=-3. A,B; 因为g(x)-f(x-4)=7, 又当x∈(0,1)时1-x2>0,x2-1<0,此时 所以g(x+4)-f(x)-7. fx)=,x≥0f) Ix∠0 又因为f(x)十g(2-x)=5, x2-11 联立得g(2-x)十g(x+4)=12, 由图可知当x∈(0,1)时，f(x)<0,故C不符合， 所以y=g(x)的图象关于点(3,6)中心对称，因为函 D符合 数g(x)的定义域为R,所以g(3)=6. 答案D 因为f(x)十g(x+2)=5, 回归教材教材P86第11题的拓展应用 所以f(1)=5-g(3)=-1, 常考题型 选填题难度系数0.8高考热度★★★ 所以2f)=f+f2+[f3+f5+ 核心素养 数学运算 素养水平水平二 +f(21)]+[f(4)+f(6)+…+f(22)]=-1-3- 考向3函数对称性的应用 10-10=-24. 例15（经典·全国乙卷）已知函数 答案D f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)十g(2 回归教材 教材P87第13题的拓展应用 x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图 常考题型 选填题难度系数0.5 高考热度★★★ 象关于直线=2对称，g(2)=4,则立f) 核心素养 数学运算、逻辑推理 素养水平水平二 k=1 真题演练 =() 1.(经典·上海卷，考向1)已知函数f(x)= A.-21 B.-22 C.-23 D.-24 ax2+1,其中a为实数. [点拨由g(2十x)=g(2-x)和已知条件得到 (1)根据a的不同取值判断函数f(x)的 f(x)+f(x-2)=-2,从而得到f(3)十f(5)十…+ 奇偶性，并说明理由. f(21)=-10,f(4)+f(6)+…+f(22)=-10,然后 (2)若a∈(1,3)，判断函数f(x)在[1,2] 根据条件得到f(2)的值，再由题意得到g(3)=6,从 上的单调性，并说明理由， 而得到f(1)的值即可求解。 2.(经典·全国Ⅱ卷，考向3)若函数f(x) [解析因为y=g(x)的图象关于直线x=2 的定义域为R,且f(x十y)+f(x一y)=f(x)· 对称， 所以g(2-x)=g(x十2). f)=1,则2f)=(. k=1 因为g(x)一f(x-4)=7, A.-3 B.-2 所以g(x十2)-f(x-2)=7, C.0 D.1 即g(x+2)=7+f(x-2). 3.(经典·全国I卷，考向2)函数f(x)在 因为f(x)十g(2一x)=5, 所以f(x)+g(x+2)=5. (一∞，十∞)上单调递减，且为奇函数.若 代入得f(x)+[7+f(x-2)]=5, f(1)=一1，则满足一1≤f(x-2)≤1的x的 即f(x)+f(x-2)=一2， 取值范围是( 所以f(3)十f(5)+…+f(21)=(-2)×5=-10, A.[-2,2] B.[-1,1] f(4)+f(6)+.+f(22)=(-2)×5=-10. C.[0,4] D.[1,3] 109象，并根据图象指出函数的值域。 (x,-1<x<1, 正解由题意得y= -x,x<-1或x>1. 作出函数图象，如图所示。 根据图象可知函数的值域为{yy≠1且y≠一1} 易错探因本题易错的地方是在化简函数式时，只考虑 了去掉绝对值的符号，而忽略了函数的定义域为{xx≠ |x,-1x1, 士1}，从而得到y= 其图象如 -x,x<-1或x>1, 图所示.并且由图象可知，其值域为R, 误区18混淆“单调区间”和“在区间上单调” 易错题18（错误率42%）(1)若函数f(x)=x2+2(a 1)x十2的单调递减区间是（一∞，4]，则实数a的取值 范围是 (2)若函数f(x)=x2+2(a-1)x十2在区间(-∞，4幻 上单调递减，则实数a的取值范围是 正解(1)因为函数f(x)的单调递减区间为（一∞，4幻， 且函数f(x)的图象的对称轴为直线x=1一a,所以有 1一a=4,解得a=-3. (2)因为函数f(x)在区间（一∞，4]上单调递减，且函 数f(x)的图象的对称轴为直线x=1一a,所以1一a≥ 4,解得a≤一3. 答案(1){-3.(2)(-∞，-3]. 易错探因单调区间是一个整体概念，比如说函数的单 调递减区间是I,指的是该函数单调递减的最大范围 为区间I.而函数在某一区间上单调递减（增），则指此 区间是相应单调递减（增）区间的子区间.因此我们在 解决函数的单调性问题时，不能混淆“单调区间”和“在 区间上单调”这两个概念 误区19解抽象函数不等式时忽略定义域 易错题19（错误率38%）已知y=f(x)在定义域（一1,1） 上是增函数，且f(t一1)<f(1一2t),求实数t的取值 范围， -1<t-1<1, 正解 依题意可得 -1<1-2t<1,解得0<t<号. t-1<1-2t, 即实数1的取值范围是40<<号}： 易错探因(1)利用单调性解抽象函数不等式：关于抽象 函数不等式的一般解答方法是利用单调性脱掉“f”,注 意定义域对自变量的限制： (2)函数的单调区间是函数定义域的子集，故求函数的 单调区间时，必须先求函数的定义域，注意不要忽略此 步骤。 误区20判断函数的奇偶性时忽略原点值 易错题20（错误率42%）判断函数f(x)= x2+2x十3，x<0, 3,x=0, 的奇偶性」 -x2+2x-3,x>0 正解当x>0时，一x<0, f(-x)=(-x)2+2(-x)+3=-(-x2+2x-3)= -f(x) 当x<0时，-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)- 3=-(x2+2x+3)=-f(x). 而当x=0时，f(0)=3≠一f(0). 所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数 易错探因本题易出现的错误是判断出对于定义域内的 每一个不为0的x,都有f(一x)=一f(x)成立，就得 到f(x)是奇函数.事实上，当x=0时，f(0)= 3≠-f(0). 误区21未对参数进行分类讨论 易错题21（错误率34%）已知函数∫(x)=x2十|x a|十1，x∈R,a为实数，判断f(x)的奇偶性. 正解当a=0时，f(x)=x2+|x|+1, f(-x)=(-x)2+|-x|+1=x2+|x+1=f(x), 故函数f(x)为偶函数， 5 当a≠0时，因为f(a)=a2+1,f(-a)=a2十2la+1, 显然，f(-a)≠士f(a), 故此函数既不是奇函数也不是偶函数. 综上所述，当a=0时，f(x)为偶函数；当a≠0时， f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 易错探因本题易忽略参数α的不确定性，从而得到如 下错解： 因为x∈R,f(-x)=(-x)2+|-x-a|+1=x2+ |x+a|+1≠土f(x), 故此函数既不是奇函数也不是偶函数 误区22未对底数进行分类讨论 易错题22（错误率44%）若(a十1)言<(3一2a)音，试 求实数a的取值范围. 正解(a+1)寸<（3-2a)音， a+1>0, a+1<0, 3-2a>0, .3-2a>0,或3-2a<0,或{ a+1<0, a+1>3-2aa+1>3-2a 解得号<a<号或a<-1 故实数a的取值范围为(-©，-1DU(号，) 易错探因本题易产生如下错解： a+D<8-2a),∴a+1>3-2a,唧a> 3 故实数a的取值范围为（号，十∞）】 事实上，由函数y=x3的奇偶性可知，此函数的单调 递减区间有两个，即（一∞，0）和(0，十∞)，而并非在整 个定义域上单调递减.为了避免错误，应对底数进行分 类讨论。 误区23忽略实际问题中函数的定义域 易错题23（错误率28%）如图所示，在矩形ABCD中， 6 已知AB=a,BC=b(b<a),在AB,AD,CD,CB上分 别截取AE,AH,CG,CF都等于x,则当x为何值时， 四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积. D A E 正解设四边形E℉GH的面积为S,则 SASAG 1 S△E=S△cH=2(a-x)6-x), s=ab-2[2r+2a-x6-✉]， 即s=-2x+a+bz=-2(k-a）°+a, 8 由图形可知此函数的定义域为{x0<x≤b). :0<b<a,∴0<b<atb 21 若a+也≤b,即a≤36， 4 则当-士中时S取得最大值，且S二a 8 若士中>6，即a>动，则S(x)在(0,6上是增函数。 则当x=b时，S取得最大值，且Smx=ab-b2. 综上所述，当aC动，2-时，四边形EGH的面 积最大，且S-atb), 8 当a>3b,x=b时，四边形EFGH的面积最大，且 Smx-ab-b2. 易错探因本题易忽略函数的定义域从而得到错误答 案：当z-士时，S有最大值最大值为号a+6x≥0，当x∈[0,1)时，f(x)-x=4-3x>0,解得0≤ x<1;当x∈[1,2)时，f(x)-x=6-4x≥0，解得 1≤x≤2；当x∈[2,3)时，f(x)-x=3x-8>≥0，解 得≤x<3:综上所述，y=了)一x的定义域为 [o,]U[号3)放D正确， 6()当a=2时，f)=x+2,所以f2)=2+号=3. (2)f(x)在区间(0，十o∞)上单调递增，证明如下： 任取≥x>0,则fx)-fx)=(1+异） (+）=-x1-z）】 又a<0,则1-a>0,且x1-x2>0,所以f(x1)> f(x2),即f(x)在区间(0，十∞)上单调递增. |x2-x+1,-1≤x<1, 7.(1)若a=1,则f(x)= x2+x-1,1≤x≤2， 当1x<1时r)e[: 当1≤x≤2时，f(x)∈[1,5]； 所以f)的值城为[？.司： (2)若f(x)≥1对x∈[-2,2]恒成立，即ax-1≥ 1-x2对x∈[-2,2]恒成立； 当x=1时，f(x)≥1成立，a∈R; 当x∈[-2,1)时，ax-1|≥1-x2恒成立，则a(1一 x)≥(1+x)(1-x)恒成立， 所以a≥1十x恒成立，所以a≥2； 当x∈(1,2]时，ax-1≥1-x2恒成立，则a(x- 1)≥(1十x)(1-x)恒成立， 所以a≥-(1十x)恒成立，所以a≥-2. 综上可得，a≥2.故a的取值范围为[2，十∞). 8.(1)函数g(x)满足g(2x+1)=(2a-4)x十a-3, 设2z+1=,则x-号，则g0=(2a-4).分+ a-3=(a-2)t-1,即有g(x)=(a-2)x-1. 因为对任意实数x,都有f(x)十g(x)>a恒成立， 即有x2-2ax-1+(a-2)x-1>a,即x2-(a+2)x a-2>0恒成立， 所以△=(a十2)2+4(a十2)<0，解得-6<a<-2, 即a的取值范围是（一6，一2）. 38 (2)存在x∈[1,3]，使得f(x)-g(x)≤a成立， 即存在x∈[1,3]，使得x2+(2-3a)x-a≤0成立， 设h(x)=x2+(2-3a)x-a, 可得h(1)≤0或h(3)≤0，即1+2一3a一a≤0或9+ 6-9a-a<0,解得a≥或a≥号，所以a>, 即a的取值范国是[子十一) (3)若对任意x>0,都有f(x)g(x)≥0恒成立， 即 f(x)≥0， fx)0对任意x>0恒成立. g(x)≥0g(x)≤0 由于f(x)是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x=a, gx)是过点（二20）的直线a=2时不满足题意)， 且f0)=g0)=-1,所以a>2,且f(22)-=0,可 得a=+7 39 当a<2时，不满足题意. 故实数a的取值集合是4十7} 3/ C拓展拔高练 1.(-∞，-1)U(1,十∞).提示：由于是三角形的三 边，因而2f(x)血>f(x)mx,由于f(x)in=f(1)= k2,f(x)x=f(0)=b2+1,因而2k2>k2+1,解得 k∈(-∞，1)U(1,十∞). 2.0;[0,1).提示：当x∈[-2，-1)时，f(x)=x-[x]= x十2，当x∈[-1,0)时，f(x)=x-[x]=x+1,当 x∈[0,1)时，f(x)=x-[x]=x,当x∈[1,2)时， f(x)=x-[x]=x-1,当x∈[2,3)时，f(x)=x [x]=x-2,当x∈[3,4)时，f(x)=x-[x]=x-3,…, 以此类推，可得f(x)=x一[x]的图象如图所示，由图 知，函数f(x)的最小值为0，f(x)的值域为[0,1)，所 以若函数y=f(x)的图象与直线y=m有无数个交 点，则m∈[0,1). 3.2.2奇偶性 变式训练答案 [变式1]ACD提示：A选项，令F(x)=f(x)g(x), F(-x)=f(|-x)g(-x)=f(xI)g(x)=F(x), 故A正确。 B选项，令F(x)=f(x)g(|x),F(-x)=f(-x)· g(-x|)=-f(x)g(xl)=-F(x), F(x)为奇函数，故B错误 C选项，令F(x)=f(g(x),∴.F(-x)=f(g(-x)= f(g(x)=F(x),故C正确。 D选项，令F(x)=g(f(x),F(-x)=g(f(-x)= g(-f(x)=g(f(x)=F(x),故D正确. [变式2]C提示：f(x)是定义在R上的奇函数， .f(0)=0. 又：当x≤0时，f(x)=3x2-2x十m, ∴f(0)=0=m,.当x≤0时，f(x)=3x2-2x. 设x>0,则-x<0,则f(-x)=3x2十2x,则f(x) 一f(-x)=一3x2-2x,即当x>0时，f(x)=一3x2一 2x,∴f(x)在[1,2]上单调递减， ∴.f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)=一5. 真题演练答案 1①当a=0时，fx)-士f)显然是奇函数： 当a≠0时，f(1)=a+1,f(-1)=a-1,f(1)≠ f(-1),且f(1)+f(-1)≠0， 所以此时f(x)是非奇非偶函数. (2)设Hx1<x2,且x1,x2∈[1,2]， 则f(x1)-f(x)=a(x1-x2)(x1十x2)+?二 E1X2 =aw[t] 因为x1<x2,且x1,x2∈[1,2]，且1<a<3, 所以x1-x2<0,2<x1十x2<4,1<x1x2<4, 1☑0， 所以a(x1十z2)一x1 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 故函数f(x)在[1,2]上单调递增， 2.A提示：f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y), 令x=1,y=0得2f(1)=f(1)f(0),.f(0)=2. 再令x=0得f(y)+f(-y)=2f(y), f(y)=f(-y). f(x)为偶函数. 再令y=1得f(x十1)+f(x-1)=f(x), f(x+2)+f(x)=f(x十1)，从而得f(x+2)= -f(x-1),f(x-1)=-f(x-4), 故f(x十2)=f(x-4), ∴.f(x)=f(x十6)，∴f(x)的周期为6. 又f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1,f(3)=f(2)- f(1)=-1-1=-2,f(4)=f(-2)=f(2)=-1, f(5)=f(-1)=f(1)=1,f(6)=f(0)=2, ∴.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(6)=0.由于22除以6 余4，·2f)=f1)+f(2+f3)+4= 1-1-2-1=-3. 3.D提示：：函数f(x)在R上单调递减，且f(1)=一1， ..f(一1)=一f(1)=1, 由-1≤f(x-2)≤1得-1≤x-2≤1，.1≤x≤3. 练习册答案 A学考过关练 1.D 2.B提示：令G(x)=ax3-bx,则G(|x)+G(x)≥0 恒成立，故x≥0时，G(|x|)十G(x)=2G(x)≥0→ G(x)≥0(x≥0)，故x(a.x2-b)≥0→ax2-b≥0，故 a>0,b<0;当x≤0时，由于G(x)为奇函数，所以 G(|x)十G(x)=0,上式成立. 3.B提示：f(x十2)十f(-x)=2,则对称中心为(1,1)， 又因为f(x)为偶函数关于y轴对称，所以周期为4， f(6)=f(2),所以f(0)+f(2)=2. 4.ABD提示：A项，f(x)是定义域为R的奇函数，所以 f(0)=0,图象过(0,0)，故A正确. B项，a<0时，x>0时，f(x)=x2十ax的值域为 (-片，+)：z<0时，了)=-+a证的值较为 (-,]汉0)=0，值城为e≥0时>0时， f(x)=x2十ax的值域为(0，十∞)；x<0时，f(x)= 一x2+ax的值域为(-∞，0)，又f(0)=0,值域也为 R,故B正确. C,D项，当x>0时，f(x)=x2十ax,其单调性取决于 对称轴；x<0时，f(x)=-x2+ax,并非在定义域上 单调递增，但当x足够大时，一定存在增区间，故C错 误，D正确. 5.B提示：因为f(x)为偶函数，所以f(2)=f(-2).又 f在区间(-60，-1上单调递增，-2<-8<-1， 所以f(-2)<f(-多)<f(-1D,即f2<f(-3)< f(-1). 6.2.提示：由f(x)+f(2-x)=4,则f(x+2)+ 39