3.1.1 函数的概念(含误区15、16)-【重难点手册】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版）浙江专用

3 第三章 函数的概念与性质 3.1 函数的概念及其表示 3.1.1函数的概念 重点和难点 课标要求 重点：建立在“对应关系说”观，点下用集合语言表述的函数概 1.理解函数的概念 念，在此过程中培养学生的数学抽象素养 2.会求简单函数的定义域和值域。 难点：从不同的问题情境中提炼出函数要素，并由此抽象出函 3.了解区间的概念 数概念；理解函数的对应关系f 01一必备知识梳理。 基础梳理 图明概念7 知识点1函数的概念 函数的定义 1.函数的定义 在函数的定义中，函数的 实质是从非空数集A到非空数 设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数 集B的一个特殊的对应关系. x,按照某种确定的对应关系∫，在集合B中都有唯一确定的数y A,B都是非空的数集，集合A 和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数， 为自变量x所有取值构成的集 记作 合，集合B中的元素可能是函 数值，也可能不是函数值，因此 y=f(x),x∈A. 集合B不一定是值域.若函数 其中x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；与 y=f(x)的值域为集合C,则 x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合{f(x)x∈A}叫 CCB 作函数的值域 国敲黑板 2.函数的本质含义 “∫”的含义 定义域内任意一个x值，必须有且仅有一个y值与之对应， 对应关系f是函数的本质 (1)特殊性：定义中的集合A,B必须是两个非空的数集。 特征，它好比是计算机中的某 (2)任意性：A中任意一个数都要考虑到. 个“程序”.当在“f()”的括号 (3)唯一性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应 内输入一个值时，在此“程序” 作用下便可输出某个数据，即 (4)方向性：A→B. 函数值.如f(x)=3x十5，f表 知识点2函数的三要素 示“自变量的3倍加上5”.如 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关 f(4)=3×4+5=17.需要注意 系、值域。 的是：这里的“x”既可以是一个 68 第三章函教的概念与性质》么里 1.定义域 数，也可以是一个代数式，还可 函数的定义域就是自变量x的取值范围.有时函数的定义域 以是某个函数记号，如f(x) 可以省略不写，如果未特殊说明，函数的定义域就是指能使表达 3x+5,则f(2x-1)=3(2x 1)十5中的f表示“(2x一1)的 函数的式子各部分都有意义的所有实数x的集合.在实际问题 3倍加上5”，f(p(x)=3p(x)+ 中，必须考虑自变量x所代表的具体量的实际取值范围.如函数 5中的f表示“0(x)的3倍加 y=上的定义域为xx≠0)，圆面积S与圆半径r间的函数关系 上5”. 园防误区7 为S=πr2,其定义域为{r|r>0. 1并不是所有函数的对应 2.对应关系 法则“f(x)”都能用解析式表示 对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作” 出来.如今天的某一时刻t对应 的“程序”或“方法”.按照这一“程序”，从定义域A中任取一个x, 的温度y是t的函数，但其对应 可在值域{yy=f(x),x∈A}中找到唯一的y与之对应.同一 关系f(t)是无法用解析式表示 “”可以“操作”不同形式的变量. 出来的. 3.值域 2.当a表示某个常数时， 对于定义域A内的函数y=f(x),其值域就是指集合{y 应特别注意f(x)与f(a)的区 别与联系：f(a)表示当x=a y=f(x),x∈A} 时函数f(x)的值，是一个常 知识点3函数相等 量，而f(x)是自变量x的函 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，就称 数，在一般情况下，它是一个变 这两个函数相等，即为同一函数 量.f(a)是f(x)的一个特殊 因为定义域和对应关系相同决定了这两个函数的值域也相 值.例如f(x)= 同，所以判断两个函数是否相等时只需判断定义域和对应关系是 否相同即可. 1,当=2时，f2)-手 知识点4区间 冒敲黑板 设a,b∈R,且a<b. 区间的含义及表示 定义 名称 符号 数轴表示 区间是数轴上某一段的所 有点所对应的实数组成的实数 {xla≤x≤b} 闭区间 [a,b] 集的另一种表示形式.对于区 间的理解应注意： 1.区间的左端，点必须小于 (xla<x<b) 开区间 (a,b) 右端点，有时我们将b一a称为 区间长度，对于只有一个元素 。口b 的集合，我们仍然用集合来表 {xla≤x<b} 半开半闭区间 [a,b) 示，如{a}. 2.注意开区间(a,b)与点 {xla<x≤b} 半开半闭区间 (a,b] 。6 的坐标(a,b)在具体情境中的 区别 3.用数轴来表示区间时， {x|x≥a} 无穷区间 [a,+o∞) 要特别注意实心点与空心圈的 69 重难点手册高中数学必修第一册（上）RUA(浙江专用) 续表 区别. 名称 数轴表示 4.对于一个不等式的解集， 定义 符号 我们既可以用集合形式来表示， lalx-a) 无穷区间 (a,+∞) 也可以用区间形式来表示. 5.要注意区间表示实数集 {xx≤b} 无穷区间 (-∞，b] 的几条原则：数集是连续的，左 小右大，开或闭不能混淆。用 “∞”作为区间端点时，需用开 (xx<b) 无穷区间 (-∞，b)〉 b x 区间符号 重难拓展 重难点1函数定义域的求法 当函数f(x)仅以解析式的形式给出时，函数的定义域就是 刀拓视野司 使这个解析式有意义的自变量的取值范围.具体来说，常有以下 复合函数的定义域 几种情况： 1.复合函数的定义 1.f(x)为整式型函数时，定义域为R, 如果函数y=f(t)的定义 2.由于分式的分母不为0，则当f(x)为分式型函数时，定义 域为A,函数t=g(x)的定义 域为D,值域为C,则当C二A 域为使分母不为0的实数的集合 时，称函数y=f(g(x)为 3.由于偶次根式的被开方数非负，则当f(x)为偶次根式型 f(t)与g(x)在D上的复合函 函数时，定义域为使被开方数非负的实数的集合 数，其中t叫作中间变量，t 4.函数f(x)=x°中的x不为0. g(x)叫作内层函数，y=f(t) 5.如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么 叫作外层函数 它的定义域是各个简单函数定义域的交集， 2.复合函数的定义域 [注意]定义域必须用集合或区间表示，若用区间表示，不能 (1)函数f(x)的定义域是 用“或”连接，而应用并集符号“U”连接 指x的取值范围所组成的集合 √Jx+5 例口求函数fx)=2的定义域. (2)函数f(p(x)的定义 域是指x的取值范围，而不是 x≥-5， 解析要使函数有意义，需满足 z+5>20,即 P(x)的取值范围。 川x-2≠0，x≠±2， (3)已知f(x)的定义域为 即-5≤x<-2或-2<x<2或x>2. A,求f(p(x)的定义域，其实 故盘f)-的定义域[-5，-2UK-2.2U2,+em 质是已知P(x)的取值范围为 A,求x的取值范围」 例2已知函数f(x)=√一x2+2x+3,求函数f(3x一2)的 (4)已知f(p(x)的定义 定义域 域为B,求f(x)的定义域，其 点拨函数f(3.x-2)的解析式是用3x一2去代换f(x)中的x而生 实质是已知f(p(x)中的x的 成的，所以求f(3x一2)的定义域时，可以先求f(3x一2)的解析式，再由解 取值范围为B,求P(x)的范围 析式求出函数f(3x一2)中的自变量x的范围（如方法一）.还可以先求出 (值域)，此范围就是f(x)的定 函数y=f(x)中x的范围，即为3x一2的范围，建立不等式，再求出函数 义域 70 第三章 函教的概念与性质么型 f(3x一2)中的自变量x的范围（如方法二） (5)在同一对应法则f下的 解析方法一：f(x)=√一x2十2x十3， 函数的定义域相同，即∫(t), .f(3x-2)=√-(3x-2)2+2(3x-2)+3=√-9x2+18x-5. f(p(x),f(h(x)三个函数中 由-9x2+18x-5≥0得9x2-18x+5≤0， 的t,p(x),h(x)的范围相同. .(3x-5)(3x-1)≤0， “画数fx一2》的定义城为[侣哥引 方法二，由-x2十2x十3≥0，解得-1≤x≤3， 即函数f(x)的定义域为[-1,3]， -13-23,解得日x≤号 函载f3-2)的定义城为[日，号引 重难点2求函数值域的常用方法 求函数的值域是一个较为复杂的问题，也是较为重要的问 [P拓视野司 题，方法较多，目前阶段常见的方法有以下几种： 1.分离常数法求值域 1.直接法（分析观察法） 形如y=十d ax+6（a≠0， 通过基本函数（目前主要指一次函数、二次函数和反比例函 ad≠bc)的函数，经常采用分 数)的值域及图象、性质，简单计算、推理或凭观察能直接得到一 离常数法，将2十日变形为 ax++b 千1(x≥2)的 些简单的复合函数的值域.如求函数f(x)=1十1 (ax+b)+d-bc a a 值域，可由反比例函数y=的性质观察出，f(x)的值域为 ax+b d-bc ax十b,再结合x的取值范国 a 2.配方法 d-bc 定十号的取位范国，从而确 确定 配方法是求二次函数类型函数值域的最基本的方法.一般 定函数的值域 地，像求函数f(x)=a(g(x)2+bg(x)十c(a≠0)的值域问题， 均可利用配方法.如求函数y=x一2√无十3的值域，因为y=(√元 如求函数y=2红-1 王+1的值 一1)2+2≥2，故所求函数的值域为[2，十∞). 域时， 3 3.换元法 因为y=2- 通过换元将其转化为我们所熟悉的函数求值域.如求函数 ≠0， y=x十√x-1的值域，令t=√x-1,则t≥0且x=t+1,所以y 所以y≠2，所以函数的值 域为{yy∈R,且y≠2}.所以 ++1=(+)°+≥0，面+22，所以y≥1，放所求 形如y=红十d。 ar十6的函数的值域 函数的值域为[1，+∞). 71 重滩点手册高中数学必修第一册（上）UA(浙江专用) 4.图象法 为y∈R,且y≠ a/但求 所谓图象法，就是利用函数图象的直观性求函数值域的方法。 2x-1 5.逆求法（反求法） 函数y x+1 (1≤x≤2)的值 所谓逆求法，就是用y来表示x,再由x在某个范围内有解 域时，y= 2x-1 ，x干12二x十7·弋 得到关于y的不等式，通过解不等式，得出y的范围.如求函数 1≤x≤2，所以2≤x+1≤3，所 f(x)=2x十3， x-1 2一，所以x=y十3 x≥2)的值域，可令y=2x十3， y2由 3<3 以1长年≤2，所以2≤1 22得，十≥2，解得2v≤7，所以f()的值域为(2,7力 故所水画数的位战为合门 例3求下列函数的值域。 2.判别式法求值域 x2-x 形如y= azx2+b2x+c2 (1)y=√x-2. (2)y= aix2+bix+c1 x2-x+1 (a1,a2不同时为0)的函数的值 (3)y=x-√J1-2x. (4)y= x2-4x+3 域的求法是，先把函数转化为关于 2x2-x-11 x的二次方程F(x,y)=0,通过 解析(1)直接法因为√元≥0，所以元-2≥一2， 方程有实根、判别式△≥0，得 所以y=√元-2的值域为[-2，十∞). 出原函数的值域.如求函数y= x2+x+1 (2)配方法因为y=1一2-x十 1 x2-x+1 的值域，由y= 且x+1=(e-》+≥是 4>4 --g+ 所以0所以-}y1. 1 十y一1=0.当y≠1时，因为 4 x∈R,所以△=(y十1)2-4(y 中款绮值该为行小 1Dy≥0，即3≤≤3.且y1 当y=1时，x=0.故所求函数 (3)换元法 Fa=4,则20业x1号， 的值为[习 所以y= 2+1)+1≤2≥0). 17 所以函数的值城为一○，2] (4)分离常数法y x2-4x+3(x-1)(x-3)x-3 2x2-x-1(x-1)(2x+1)2x+1' 共中1骨 22x+1D-2 1 7 2x十1 22(2x+1) x-31-3 、2 当x=1时，2x+1-2×1+13 x-341 又因为2(2x+1D≠0，所以y=2+≠21 所以孟数的值城为(-0，)U(-号，2)U(分+∞】 72 第三章 函教的概念与性质么型 口02关键能力提升。 题型方法 D.f(t)=x,g(x)-2 题型1对函数概念的理解 题型2求函数值或函数的解析式 例④(2026·湖南长沙雅礼中学检测) 例⑤(2026·湖北孝感高一期中)已知 (多选)下列说法中正确的是(). A.式子y=√x-1十√一x-1可表示自 f(x)= 是c∈Rx≠2ga)=x+4∈R, 变量为x,因变量为y的函数 (1)求f(g(1),g(f(1))的值. B.函数y=f(x)的图象与直线x=1的 (2)求f(g(x),g(f(x)的表达式. 图象的交点最多有1个 (3若fg(x)》=名求x的值 C.若f(x)=lx-1-x,则f(f2)》 =1 解机(1f)-2-1,g1)=1+4=5, D.f(x)=x2-2x与g(t)=t2-2t是同 fg)=f6=25=3 一个函数 g(f(1)=g(1)=1+4=5. 解析对于A,由y=√x一1十√一x一1有 1 (2)f(g(x)=f(x+4)=2-(z+4 工一120，此时工无解，即解集为☑，根据画数的定 -x-1≥0， 1 义可知，该式子不能表示自变量为x,因变量为y的 1 函数，故A错误。 (3)f(g(x)=f(x+4)=2-(x+④= 对于B,函数y=f(x)的图象与直线x=1的图 y 象的交点最多有1个，故B正确. -x-21 对于C,fx)=x-1-|x,则f(号分)=0， -=2-3 x=1. ff(2)》=f0)=1-0=1,故C正确. ●变式2已知f(x)= 1+x2x∈R 对于D,f(x)=x2-2x与g(t)=t2-2t两个函 (1计算fa)+f(日)的值， 数的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故 D正确. (2)计算f(1)+f(2)+f()+f(3)+ [答案BCD ◆变式1下列各组函数中，表示同一函数 f得)+f④)+f)的值， 的是(). 题型3函数的定义域 Af(x)=x(x2+1) x2十18(x)=x 1.已知解析式求函数的定义域 例⑥求下列函数的定义域： B.f(x)=x,g(x)=√x C.f(x)=1,g(x)=x0 (1)y=2x+3. 2r)-+ 73 重避点手册高中数学必修第一册（上）RUA(浙江专用) (3)y=x-1+1-x.(4y=x+1 [0,3], x2-1 .x2∈[0,9]，.x2-1∈[-1,8]， 点拨根据函数表达式有意义可得到x所满足 即f(x)的定义域为[-1,8]. 的取值集合即为所求」 f(x)的定义域为[-1,8]， 解析桐(1)函数y=2x十3的定义域为{xx∈R. ..-12x+38, (2)要使函数式有意义，即分式有意义，则x十1 ≠0，x≠一1.故函数的定义域为{xx≠一1}. f2x十3)的定义城为[-2，引， (3)要使函数式有意义， 则-1≥0，即≥1， 蜜离[-1，：[-2，引 即 1-x≥0，x≤1， ◆变式4(1)已知函数f(x)的定义域为 所以x=1,从而函数的定义域为{xx=1} [0,1],求f(x2+1)的定义域 (2)已知函数f(2x一1)的定义域为[0， ④因为当21≠0，即工≠士时，看 1),求f(1一3x)的定义域. 意义， 3.函数定义域的逆向问题 所以函数的定义域是{xx≠士1. 例⑨已知函数y= ax-l ◆变式3求下列函数的定义域： 3 的定 9ax2+4a.x+3 (1)f(x)=√2x+6. 义域为R,求实数a的取值范围. (2)f(x)=√1一x+5+x 1 点拨由所给式子确定出对ax2+4ax十3的限 制，再转化为方程根的问题. 2.抽象函数的定义域 例☑已知函数y=f(x)的定义域为 解析依题意，要使函数有意义，必须使ax2十 4ax十3≠0.要使函数的定义域为R,必须使方程ax2+ [一1,5]，则函数y=f(2x2一1)的定义域为 4ax十3=0无解（无实根）. (). 当a=0时，方程a.x2+4a.x十3=0无解； A.[0,3] B.[-3,3] 当a≠0时，若方程ax2十4ax十3=0无解，则有判 C.[-√3，W3] D.[-3,0] 别式△<0，即(4a)2-12a<0, [解析因为函数y=f(x)的定义域为[一1,5]， 所以-1≤2x2-1≤5，即0≤x2≤3，解得-√3≤x≤ 0ca<号 √3，所以函数y=f(2x2-1)的定义域为[-√3，W3]. 综上所速，实数a的取值范国为0，) [答案C ●变式5已知函数y=√ax+1(a<0且 例8已知f(x2-1)的定义域为[0,3]， a为常数)在区间（一∞，1]上有意义，求实数a 则f(x)的定义域为 ,f(2x十3)的定 的取值范围。 义域为 4.函数定义域在实际问题中的应用 点拨定义域是指自变量的取值范围，则f(x2 例10如图所示，半径为R的圆的内接等 1)中x∈[0,3]，求出x2一1的范围即为f(x)的定义 腰梯形ABCD,它的下底AB是⊙O的直径， 域.f(2x十3)的定义域由不等式一1≤2x十3≤8 上底CD的端点在圆上.写出这个梯形的周长 求得 y与腰长x之间的函数关系式，并求出其定 解析根据f(x2一1)的定义域为[0,3]，得x∈ 义域。 74 第三章函数的概念与性质么出型 (3)分离常数法y 2x+1_2x-3)+7=2+ x-3 x-3 B 7 x一3，显然7 —30,所以y≠2. 故函数的值域为（一∞，2）U(2,十∞). 解析设AD=BC=x,作DE⊥AB于点E,连 ④)逆求法由)2x士2红十5可知x∈R, 接BD, x2+x+1 因为AB是⊙O的直径，点C,D在圆上， 即(y-2)x2+(y-2)x+y-5=0. () 所以∠ADB=90°. 当y=2时，方程(*)无解； 因为△EDAP△DBA, 当y≠2时，△=(y-2)2-4(y-2)(y-5)≥0， 所以AD=AE·AB,即AE= 即2<y≤6. 2R 故所求函数的值域为(2,6]. 所以CD=AB-2AE=2R-爱 ●变式6(2025·江西六校高一联考)求 所以周长y与腰长x之间的函数关系式为y= 函数y 2x2+4红-2的值域。 2R+2+(2R爱)-爱+2z+欣 x2+2x+3 例12求下列函数的值域： 因为四边形ABCD的各边长都为正数， 所以AD>0,AE>0,CD>0, (1)y=√-2x-x2十3， x>0, (2)y=2x十√1-2x. 所以 解得0<x<√2R, (3)y=(x2-4x十5)(x2-4x-1)+6. 所以所求函数的定义域为{x0<x<√2R). 解析(1).-2x一x2十3≥0， 题型4函数的值域 ∴.-3≤x≤1 例1I求下列函数的值域： 又.'y=√-2x-x2+3=√-(x+1)2+4, (1)y=x+1,x∈{1,2,3,4,5}. .0≤-(x+1)2+4≤4， (2)y=x2-2x十3，x∈[0,3). .0≤y≤2， 故所求函数的值域为[0,2]. (3)y 2x+1 x-3 (2)令6=/-2z(≥0)，x=1与 2 (4)y= 2x2+2x+5 x2+x+1 y-+1--2》+ 解析(1)直接法因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代 又，t≥0， 入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}. 1 (2)配方法y=x2-2x十3=(x-1)2十2，由x∈ .当t= 时y有最大值，最大值为是。 [0,3),再结合函数的图象（如图所示），可得函数的值 域为[2,6). 由y=一(一}'+的家知西数无最小位 故位诚为(-，引 -2x+3 (3)令t=x2-4x,∴.t=(x-2)2-4>-4, …y=(t+5)(t-1)+6=t2+4t+1=(t+2)2-3. 当t=一2时，y有最小值，最小值为一3. 0123 由y=t2+4t十1的图象知y无最大值，故值域 75 重难点手册高中数学必修第一册（上）RUA(浙江专用) 为[-3，+∞). 为」 易错警示 ●易错题16（错误率38%）函数y=x十 ●易错题15（错误率33%）已知f(x十 √2x+1的值域为 2)的定义域为[1,2]，则f(2x+1)的定义域 参考答案见《全书易错题集》第4页 ]03核心泰养累焦。 考向分类 -1+a-b+c=-8+4a-2b+c, 考向】求函数的定义域 -1+a-b+c=-27+9a-3b+c, 例13(1)（经典·北京卷）函数f(x)= 解得6， 又0<f(-1)=c-6≤3， b=11. 十立的定义效是 所以6<c≤9， 答案C (2)(经典·江苏卷)函数y=√7十6x一x2 回归教材教材P72习题3.1第4题的拓展及应用 的定义域是 常考题型 选填题难度系数0.8高考热度 ★★ 解析(1)因为f(x)=1十√-x, x 核心素养 数学运算、数学抽象 素养水平水平二 1-x≥0， 所以 解得x≤1且x≠0， 真题演练 x≠0， 1.(经典·陕西卷，考向1)设全集为R,函数 故函数的定义域为（一∞，0）U(0,1]. f(x)=√I一x的定义域为M,则CM为 (2)要使函数y=√7十6x-x2有意义， 则7+6x-x2≥0，解得-1≤x≤7， A.(-∞，1) B.(1,+∞) 故函数y=√7十6x一x2的定义域是[-1,7]. C.(-∞，1] D.[1,+∞) 答案(1)(-o∞，0)U(0,1]. 2.(经典·江西卷，考向1)若函数y= (2)[-1,7]. f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)= f(2x) 回归教材教材P65例2和P67练习第1题 x-1 常考题型 选填题难度系数0.9高考热度 ★★ 的定义域是( 核心素养 数学运算 素养水平水平二 A.[0,1 B.[0,1) C.[0,1)U(1,47 D.(0,1) 考向2求函值或参数的取值范围 3.(经典·上海卷，考向2)设常数a∈R, 例14（经典·浙江卷）已知函数f(x)= 函数f(x)=|x-1|+x2-a.若f(2)=1, x3+a.x2+bx+c,且0<f(-1)=f(-2) 则f(1)= f(-3)≤3，则( 4.(经典·浙江卷，考向2)设函数f(x)= A.c≤3 B.3<c≤6 x3+3x2+1.已知a≠0，且f(x)-f(a)= C.6<c≤9 D.c>9 (x-b)(x-a)2,x∈R,则实数a= 解析由已知得 b 76解得-子<a<L 综上可知，实数a的取值范围是a-号<a<1小 易错探因对二次项系数a2一1应分其为0和不为0两 种情况进行讨论，不要认为它一定是二次不等式.因此 要对x2的系数a2一1进行讨论：当a=1时，原不等式 化为一1<0恒成立：当a=一1时，不满足题意：当a≠ a2-1<0, 士1时， 解不等式组即可得 (a-1)2+4(a2-1)<0, 出结果。 误区14忽略对分式中分母的讨论 易错题14（错沃幸38冷獬不等式：2 正解移项得+)一2≤0，左边通分并化简， x-2 得去0，即2 2=0, 1(x-2)(x-5)≥0， 此不等式等价于 x一2≠0， 解得x<2或x≥5. 不等式的解集为{xx<2或x≥5). 易错探因本题易错的地方是不等式两边同乘以x一2 这一式子，没注意到它是大于0还是小于0，不等号是 否改变方向.这里要分x一2>0和x一2<0两种情况 来讨论，若不讨论，肯定会出错.当然，求解这类问题时 最好是将不等号右边变为0的形式： 分式不等式的求解应注意两点：一是不要随意去分母 (除非知道分母是正或负)，而应移项，使其一边为0；二 是要将其等价转化为一元二次不等式，如本题中二 2≥ 1(x-5)(x-2)≥0， 0台 x-2≠0. 误区15混淆复合函数的定义域 易错题15（错误率33%）已知f(x十2)的定义域为 [1,2],则∫(2x+1)的定义域为 正解由于f(x十2)的定义域为[1,2]，即1≤x≤2， 所以3x+24,即f(x)的定义域为[3,4]， 所以3<2x+1<4,解得1<x<号， 4 故f2x+1D的定义城为[，]， 案1，引 易错探因本题易产生如下错解： 错解一：由1≤x+2≤2得-1≤x≤0，则-1≤2x+ 1≤1，因此f(2x+1)的定义域为[-1,1]， 错解二：因为f(x十2)与f(2x十1)含有同一字母“x”, 则取值必相同，所以f(2x+1)的定义域为[1,2]. 事实上，这里只不过是用同一个字母“x”来表示两个不 同的复合函数的自变量而已（函数的自变量用什么字 母表示与函数无关). 出现以上错解是因为对复合函数的定义域的概念理解 不清。 误区16忽略换元后参数的范围 易错题16（错误率38%）函数y=x十√2x十1的值域 为 正解令t=√2x+1,则≥0，且x=1, 21 故y-2+t=号c+1-1:e0,+o 1 画出t∈[0，+∞)时，函数y=2(t+1)2-1的图象， 如图中实线部分所示由图象知)≥一号，所以所求函 数的值域为 -,+∞. 2 答案[，+) 易错探因本题易错的地方是换元后忽略了参数t的取 值范围，误认为t为任意实数，从而得到错误答案。 因为y=+1D-1≥-1u∈R, 所以所求函数的值域为[一1，十∞). 误区17忽略去绝对值的定义域 易描颜”（婚灵来别为）画出函数y一产的菌|mm+1≤2024k, 又m,n,k∈N*,则 (2025k≤nm+n-1, 此时n十1 2024 k≤mn十n-l 2025 于是g2 mn+n- 4049 2025 ,解得n≥2024一m 又对集合{m|0<m<2024}内的每个m∈N,上式都 成立， 则n≥ 4049\ 4049 2024-7m/-2024-2023-4049, 下证n=4049满足题意， 由D可知微<<2密台08<< 2024 4049m+4049 2025 再由(2)可知1,04n<2X4049mg+4049=2m+1< 2024 4049 4049m+4049 2025 即对集合{m|0<m<2024}内的每个m∈N,总存在 k=2m+1是满足题意的. 综上所述，正整数n的最小值为4049. 第三章函数的概念与性质 3.1函数的概念及其表示 3.1.1函数的概念 变式训练答案 [变式1]A提示：A选项中，f(x)可化为f(x)=x, x∈R与g(x)=x是同一函数. B选项中，g(x)=√x=|x与f(x)=x对应法则不 一样 C选项中，g(x)=x°=1(x≠0)与f(x)=1的定义域 不一样 D选项中，g(x)= =x(x≠0)与f(x)=x的定义域 不一样 () 1+(2) 1+a,所以fa)+f(日）=1 2由1)知fa)+f(日)=1， 从而f(2)+f(2)=f(3)+f(3)=f(4)+ 26 f(号)=1，故[f2+f(合]+[r3+f(号】+ [f④+f()门-3，而f=3所以f+f2+ (2)+f3)+(3)++()=名 [变式3](1)使式子√2x+6有意义的实数x的集合是 {xx≥-3}，所以函数的定义域为{xlx≥-3. (2)使式子√个一x有意义的实数x的集合是{xx≤1)， 使式子写十有意义的实数x的巢合是x≠一5引， 所以函数f(x)=V1一元+与的定义域是(xx≤1 且x≠-5}. [变式4](1)因为函数f(x2+1)中的x2+1相当于函 数f(x)中的x,所以0≤x2十1≤1. 所以-1≤x2≤0，所以x=0, 所以f(x2+1)的定义域为{0}， (2)因为f(2x-1)的定义域为[0,1)， 即0≤x<1,所以-1≤2x-1<1, 所以f(x)的定义域为[-1,1)， 所以-11-3z<1,所以0Kx≤号， 所以1-)的定义装为(0，号] [变式5]由题意知ax十1≥0，a<0, ∴x<是，即函数的定义域为(-©，]， 函数在区间（一∞，1]上有意义， -o(-,-】 又，a<0,∴.-l≤a<0.即a的取值范围是[-1,0). [变式6]已知函数式可变形为yx2+2yz十3y=2x2+ 4x-7,即(y-2)x2+2(y-2)x+3y+7=0, 当y≠2时，将上式视为关于x的一元二次方程. ,x∈R,.△≥0，即[2(y-2)]2-4(y-2)(3y+7)≥0， 整理得2y+5y-18<0,解得一号≤y<2(也可以依据 二次函数y=2x2+5x一18在x轴下方的图象求解). 当y=2时，3×2十7≠0，不符合题意，应舍去。 故函数的值较为[号2） 真题演练答案 1.B提示：易知函数f(x)的定义域为（一∞，1]，即M= (一∞，1]，故CRM=(1,+∞). 02x2, 2.B提示：要使g(x)有意义，则 x一1≠0， 解得0≤x<1,故所求的定义域为[0,1). 3.3.提示：由f(2)=1+|22-a=1可得a=4, 所以f(1)=11-1|+11-4=3. 4.-2;1.提示：因为f(x)-f(a)=x3+3x2-a3 3a2,(x-b)(x-a)2=(x-b)(x2-2a.x+a2)=x3 (2a+b)x2+(a2+2ab)x-a2b, 3=-2a-b, a=-2, 所以a2+2ab=0, 解得 b=1. -a3-3a2=-a2b, 练习册答案 A学考过关练 1.C2.C 3.C提示：对于选项A,f(2x)=|2x=2x=2f(x). 对于选项B,f(x)=x一|x|= 0(x≥0，当x≥0 2x(x<0). 时，f(2x)=0=2f(x);当x<0时，f(2x)=4x=2· 2x=2f(x),恒有f(2x)=2f(x). 对于选项C,f(2x)=2x+1=2f(x)一1. 对于选项D,f(2x)=一2x=2(一x)=2f(x) 4.ACD提示：根据函数定义，集合A中的每一个元素 对应集合B中的唯一元素.对于选项A,符合函数的定 义，是从A到B的函数，故A正确；对于选项B,A中 有元素0，在对应关系下y=0,不在集合B中，不是函 数，故B错误；对于选项C,A中任意元素，在对应关系 下y=0,都在集合B中，是从A到B的函数，故C正 确；对于选项D,符合函数的定义，是从A到B的函 数，故D正确 5.BC提示：由题意知函数y=x十1的定义域为R,值 域为R.y=(√x十1)2的定义域为[-1，十o∞)，与函 数y=x十1的定义域不同，不是同一个函数，故A错 误；y=x+1=x十1的定义域为R,定义域和对应 关系与y=x十1均相同，是同一个函数，故B正确；y =(x十1)了=x十1的定义域为R,定义域和对应关 系与y=x十1均相同，是同一个函数，故C正确；y= 十的定义域为(x∈Rx≠1，与函数y=x+1的 定义域不同，不是同一个函数，故D错误。 -x≥0， 6.(1)①由题意知， 2x2-3x-2≠ 解得0且x≠-一， “其定义域为口≤0且x≠-} /x-1≥0， ②由题意知， 解得x=1, 1-x≥0， 其定义域为{xx=1. x+1≠0， ③由题意，xl一z70, 解得x<0,且x≠-1， .其定义域为{xx<0且x≠-1. 4-x≥0， ④由题意知， 解得x≤4且x≠1且 1-|x-2l≠0， x≠3，其定义域为{xx≤4且x≠1且x≠3}. (2)在函数f(x-1)中，2≤x≤3，则1≤x-1≤2， 因此在函数f3x+2中，13x+22,解得-子<x<0, 所以函数f(3x+2)的定义域为{女|-弓<x≤0。 B高考提能练 1.C提示：由题意可知函数y=f(x十1)的定义域为 [-2,3],即-2≤x≤3，故-1≤x+1≤4，则y=f(x) 的定义域为[-1,4]，则对于y=f(2x+1 ,需满足 W/x-1 1-1≤2x+1≤4 x-1>0, 解得1<≤号，即y=2少的 x-1 定义域为1，] 2.B提示：由函数f(x)= 1 的定义域为R, √kx2+kx+1 可知kx2十kx十1>0的解集为R.若k=0,则不等式为 k>0, 1>0恒成立，满足题意；若≠0，则 解 △=2-4k<0, 得0<k<4.综上可知，实数k的取值范围是0≤k<4. 3C提示：函数f()的定义域为(-2,0，即一2< <0,-1+(1，) x-1=x-1 2 又：-1<2x-1<3,解得0x<3, f2z-1)的定义城为(0，号）》 4.ABD提示：选项A,当定义域分别为(-1,0)和(0,1) 时，f()=是的值域均为(1，十∞)，所以fx)-之能 27