2.2 基本不等式(含误区11、12)-【重难点手册】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版）浙江专用

答案④. 易错探因若在应用不等式的性质解题时忽略其成立的 条件，就会得出错误的结果，如①中易由α<b错误推出 吕石，从面判断心是正确的：B中易忽略。与6的符 号（认为二者同为正），从而错误推出a>b 应用不等式的性质时，一定要注意“保序”时的条件，如 “非负乘才保序”，还要特别注意“乘负反序”“同号取倒 反序”的情况 误区11忽略基本不等式求最值的条件 易错题1（给误率3然0函数y=2x6-3)(0<x<) 的最大值为 正解 0<x<5, ,2x>0,5-3x>0, y=2x(5-3x)= /x6-a≤号(+9)） 2 25 61 当且仅当3z=5-3x,即x=号时，满足0<x<号且 5 等号成立， 故所求函数的最大值为 6 答案 易错探因本题易产生如下错解： y=2x(5-3x)=2[Vx(5-3m]≤2(c+5-3x)2 2 (5-2.x)2 2 当且仅当x=5一3x,即x=时，满足0<x<号且等 号成立， 此时5-容故)的最大值为 2 81 事实上，不等式右边的() 不是常数，不符合基 本不等式求最值的条件（和或积为定值）. 误区12忽略连续使用基本不等式时等号成立 的条件 易错题12（错误率43%）已知x>0,y>0,且x十2y= ,则士十的最小值为(》 A.1+√2 B.3+22 C.3√2 D.4N2 正解'x十2y=1,x>0,y>0, +-+(+=3+号+3+2 x'y y (当且仅当二=2义，即x=2y时，等号成立)， 反-1w1号 做当x=2-1y=1-%孙， ,工十1有最小值，最小 值为3+2√2. 答案B 易错探因本题易产生如下错解： x>0,y>0,.1=x+2y≥2√2xy,.8xy≤1， w分8 1 +2 1 +28=42 y 故上+的最小值为42。 上述求解过程中使用了两次基本不等式：x十2y≥ 2西，+≥写但这可改取等号的条件分 别为x=2y与x=y,不能同时成立，所以不能等号. 连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等 号的条件是否一致.若不能同时取等号，则连续用基本 不等式是无法求出最值的，此时应对原式进行适当的 拆分或合并，直到取等号的条件一致. 误区13忽略对二次项系数的讨论 易错题13（错误率42%）当a为何值时，不等式 (a2-1)x2+(a-1)x-1<0的獬集是R? 正解若a2-1=0,则a=土1. 当a=1时，原不等式化为-1<0恒成立， .a=1满足题意； 当a=-1时，原不等式化为-2x-1<0,即>之 ∴.a=一1不满足题意； |a2-1<0, 当a≠士1时，由题意得 (a-1)2+4(a2-1)<0, 心6-1≤a。≤20提示：由-46≤a-c≤-6长a -4b≤a-c≤-b, c≤5b可得{ -b≤4a-c≤5b, 9a-c=m(a-c)+n(4a-c), 整理可得9a一c=(m十4n)a一(m十n)c, 5 m+4n=9, m=- 31 所以 解得 （m+n=1, 8 n=3' 所以0u-6=-号a-0+号4a-0 将一仙<。-(<-6两边同时乘-号， ⊙ 将一<a-6≤6两边同时乘8， ② ①2两式相加可得80-号6C-号a-) 8(4a c)≤96+9，即-b≤9u-6<206, 因为b>0,所以-1≤9a≤20. b 7.(1)因为a2+b2-(4a-2b-5)=a2-4a+4+b2+2b+ 1=(a-2)2+(b+1)2≥0， 故a2+b2≥4a-2b-5. (②因为a>0,6>0,所以a+6>0又答+号 a3+6_a+b)a2-ab+b2),因为a2+b≥2ab,所以 ab ab 有2+凭-+e的a+0e-山 b ab ab a6,当a=6时，等号成立，因此会+号a+6 8.(1)第一种方案，两次加油共花费30×5+30×4= 270(元)，两次共加了60升燃油， 所以平均价格为 =4.5(元/升)： 第二种方案，两次加油共花费200十200=400（元），两 次共加了(g0+2婴）=90升燃渝， 所以平均价格为0-智元/升。 (2)由题意可得，第一种方案，两次加油共花费(30m+ 30m)元，两次共加了60升燃油， 16 所以平均价格为30m+30m_m十”（元/升）； 60 2 第二种方案，两次加油共花费200+200=400（元），两 次共加了 200+200)升燃油， m 400 所以平均价格为20020T元/升。 因为”士“严-器 2(m+n) 2(m+n)>0, 所以选择第二种加油方案比较划算 C拓展拔高练 1A提示：假设A≠B,则1A-B>0,令=A,B 2 0,由条件知A一B≤A,B,即1A一B1≤0，从而 2 A=B,与假设矛盾.因此只能是A=B. 2.1)g<4tm(m>0,6>a>0). bb+m 正明：子一十-b十am二ob-加abm b(6+m) b(6+m)' 因为b>a>0,m>0,所以a-b<0,b+m>0, 所以号一+州<0，即号” b 6+m (2)M= 2023202420232021+3N=012017 2019202020192017+3 20232021' 所以由(1)中的结论可得20232021+320232021' ,20192017+3、20192017 即M>N. 2.2基本不等式 变式训练答案 [变武门由√得v+8号a+6. 同理得+号6+0，v8≥号c+a）. 所以V后+8+v6+2+V+8≥号a+b)+ (b+c)+(c+a)]=2(a十b+c). 故√a2+b2+√6+c2+Wc2+a≥2(a+b+c), 当且仅当a=b=c时，等号成立. [变式2]由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca, 得a2+b2+c2≥ab+bc十ca, 当且仅当a=b=c时，等号成立. 由题意得(a十b十c)2=1, a2+62+c2+2ab+26c+2ac=1, 3ab+c+ca)≤1，即ob+bc+a≤号 [变式3]C提示：原不等式可转化为a(x2+1)+ x2+1≥3，又a>0, 12 1 1 则a(x2+1)++1≥2√ax2+D:中 2√a, 1 当且仅当a(x2+1)=十1，即x+1=a时，等号 成立 则根据恒成立的意文可知2，瓜≥号解得。>≥) [变式4](1)因为x>0,y>0,且x十8y-xy=0, 所以xy=x十8y≥2W8xy,故xy≥32， 当且仅当x=8y,即x=16,y=2时取等号，因此xy 的最小值为32. (②由已知得+号=1，所以x十y=(红十y)· y (+)=9+2+号≥9+2√2·=9+4B, 当且仅当8y=二，即x=8+22,y=22+1时取等 y 号，因此x十y的最小值为9十42. [变式5]D提示：设a十1=x,a十2b=y, 则a=-1,6=21,2a+6=ax+》是 题日转化为：已知上+号一1，求宁ax十》号的量 小值. 又z+y=(ax++)=4++>4+25, 当且仅当x3y一5十1时等号成立 则分a+）号≥-}1中2 2 2 2 [变式6]子提示：a十46≥2V5=4va历（当且 仅当a=4b时等号成立)， ∴.(a十4b)≥16ab(当且仅当a=4b时等号成立)， +的≥1+。的21d6 .(a十4b)2+4 8(当且仅当a=4b时等号成立)， (a)+亭=8解得a=1,放6- 真题演练答案 1行.提示：方法-由5x2y2+y=1得x2=1 4 5v2 苦则+y-京+母-当且 -号即y一时取等9，则女十y的最 仅当 小值是手 方法=4=(5r2+y)·4y≤5x+)+y]° 2 孕x+y以，则r+y≥合当且仅当5r+y2 42-2,即-高y-时取等号，则2+y少的最 小值是号 2.43. 提示：x+1)2y+1)=2zy+2y+x+1 √xy Vzy 2xy+6=2+ 6 .由x+2y=5得5≥2√2x, Vxy √Jxy 即V四<5，即y≤客，当且仅当=2)-号时等 号成立 2+6≥2,2y·6=45,当且仅当 2Vxy=- 。,即=3时取等号，结合y≤贺可 知，y可以取到3，故+1)②y+的最小值为45. Vxy 3.4,提示：因为b>0,所以Q++2V4aB+1_ ab ab +1=4铺+流≥2仙·a ab =4,当且仅当 1a2=2b2, 时取等号，放十6土中的最小值是4 ab=2 ab 提示：由已知可得y=1一x,则 x+y=x+1-x2=2x-2z+1=2(e-2）‘+ 2(0区≤1).当x=0或x=1时，x2+y取得最大 值1，当x=合时x+少取得最小值2，所以2+y2 的取值范围是<x+)≤， 17重滩点手册高中数学必修第一册（上）RUA(浙江专用) 2.2基本不等式 重点和难点 重点：基本不等式的定义、证明方法和几何解释， 1.理解基本不等式 用基本不等式解决简单的最值问题。 2.能初步应用基本 难点：基本不等式的几何解释，用基本不等式解决 3.能利用基本不等 简单的最值问题. 口01必备知识梳理 基础梳理 知识点1 重要不等式与基本不等式 重要不等式 基本不等式 符号语言 a2+b2≥2ab v历<安 适用范围 a,b∈R a>0,b>0 等号成立 条件 当且仅当a=b时 当且仅当a=b时 两数的平方和不小于它们积 两个正数的算术平均数不小于 文字语言 的两倍 它们的几何平均数 awe, ①a+b≥2√ab; 常用变形 @生 @ab≤士)y [注意]正教a,6的算术平均数是，几何平均数是vab. 知识点2最值定理 设a,b均为正数。 1.若a十b为定值S,则当a=6时，积a6取最大值S 2.若ab为定值G,则当a=b时，和a十b取最小值2√G 证明“e>06>0,励 当a十6=S时，有a,即b<,当月仅当a=6时， 46 课标要求 等式求最值和证明简单的不等式 气解决简单的应用问题 敲黑板 1.基本不等式成立的条件 是a>0,b>0. (1)若a<0,b<0,如a=-2, 6=一4，会出现一2)+(-) ≥ 2 √/（一2）×（一4）的错误结论. (2)若a,b中有一个小于0， 如a=2,b=一4，则√2×（一4） 无意义 (3)若a或b等于0，虽然 该不等式也成立，但在基本不 等式中一般不研究这种情况. 2.基本不等式的常见变形 形式：a+b≥2Wab,ab≤ ) 敲黑板 利用基本不等式求最值 需注意的问题 1.利用基本不等式求最值 要牢记三个关键词：一正、二 定、三相等. (1)一正：各项必须为正 (2)二定：各项之和或各项 之积为定值. 第二章一元二次函数、方程和不等式么出型 等号成立 (3)三相等：必须验证取等 号时条件是否具备」 当b=G时，有士≥G,放a+6≥2G,当且仅当a-b 2.应用基本不等式求最值 的关键：根据定值去探求最值， 时，等号成立 在探求的过程中常需依照具体 最值定理可简记为： 的问题进行合理的拆、凑、配等 和定积最大，积定和最小 变换。 重难拓展 重难点1基本不等式的变式与拓展 司敲黑板7 基本不等式链： 对基本不等式链的理解与拓展 1.基本不等式链的内涵丰 若a>0,60期2≤<≤ a2+6 富，在实际的运用中相对于基 2 ,当且仅 本不等式更为广泛，但它们都 ab 是在基本不等式的基础上拓展 而来的，也都可以由基本不等 当a=6时等号成立.其中，2，叫作a,6的调和平均数， a2+b2 式（或重要不等式）加以证明. 11 2 2.一般来说，以下四组不 等式可以作为基本不等式的应 叫作a,b的平方平均数. 用形态： + ) 2 其几何意义如图所示. (a>0, √ab b>0). 图形解密 atb @+.6a>0, CF=2 b>0). OD=OF=a+b 8)a+o)(日+号)≥ CD=Jab, 4(ab>0) DE=2 w≥ea, b∈R) 2 若a≥0，b>0,求证：11≤ab≤2 3.不等式链包含六个不等 式(a>0,b>0): 2 a2+b2 1+i√ab 2 1,1 2< ② 2 a2+62 31+1V2 2 1+1Vab,当且仅当a=b时，等号成 0va画< (2)vab≤a+b, 2,当且仅当a=b时，等号成立，已证. (5)√ab≤ a2+b2 2 47 重难点手册高中数学必修第一册（上）RUA(浙江专用) /a"Tb"_atb_a'+b_atb) (3)2 (6)+6 a2+62 2W2 4 2 以上六个不等式中的等号， a2+b2+a2+b2 a2+62+2ab 都是当且仅当a=b时取得. 实际应用中，可根据题设 ,a2十b2≥2ab,当且仅当a=b时，等号成立， 条件和所求，选择性地应用上 述不等式 2≥0， P拓视野7 a2+b2、a+ 2 2°，当且仅当a=b时，等号成立. 基本不等式的拓展 1.三元基本不等式 综上，1 ,1 Q+b得证. ≤<≤ a3+b3+c3≥3abc→ a≤te中)八， 例2已知函数y=√一3x十12十√3x,则该函数的最大值为 abeatbFe 3 a+b+c≥abc, 3 点拨选择不等式链中的十b≤ a2+b2 其中a,b,c都大于0. 2 2 ,将√/一3x十12看作a,将 当且仅当a=b=c时，等 √3x看作b,很显然可得a2+b2=12为定值 号成立 2.推广到n元的基本不等 解析3x十12+√3z ≤ (W/-3x+12)2+(√3x)2 /12 式为 2 2 a十a,十+a≥a1a2…a n =√6. (a1a2,…,am都大于0). y≤2√6，当且仅当√一3x十12=√3z,即x=2时等号成立 当且仅当a1=a2=…=an 时，等号成立 .函数y=√一3x+12+√5x的最大值为26. 答案2√6. -02关健能力提升。 题型方法 a≥2c,再将同向不等式相加即可. 题型1利用基本不等式证明不等式 证明：a6,c>0,∴利用基本不等式可得 1.无附加条件的不等式证明 +b≥2a,c +c≥2ba +a≥2c, 侧图已知a6,c>0,求证：号+么+ alb ce212 a十b+c. [点拨由条件a,b,c>0及所证不等式的结构特 b c a 当且仅当a=b=c时，等号成立. 知，先用基本不等式证名+b>≥，≥2%， a [点评本题是一个无附加条件的不等式恒成立 48 第 的证明问题，证明时要根据所证不等式的结构特征， 合理地构造并正确选用基本不等式或其变形形式，这 也是证明轮换对称结构的不等式（用b换a,a换c,c 换b后，代数式不变的式子叫作轮换对称式，其特征 是a,b,c的地位一样)的常用思路. 2.有附加条件的不等式证明 例④(2026·江苏南通高一检测)已知 a>bab=1,求证：a2+b2≥2√2(a-b) 点拨这是一个条件不等式，因此要用好a>b, ab=1这两个条件.我们观察到不等式左、右两边的次 教特征，周此要向模型Qx+≥2v历方向思考。 [证明a>b,∴.a-b>0.又ab=1, a2+b°_a2+b2+2ab-2ab a-b a-b =(a-b)2+2ab a-b =a-b+2 a-b ≥2，√a-b)3 a-b =2√2， 即a士6≥22，即a2+b≥22a-b》 当且仅当a一b= a二b,即a-b=2时，等号成立 ◆变式1已知a,b,c都是非负实数，试比 较a2+b2+√b2+c2+√c2+a2与√2(a+b十 c)的大小 ●变式2设a,b,c均为正数，且a十b十c= 1证明：ab+bc+ac≤3 题型2直接利用基本不等式求最值 例固已知x>-1,求函数y=+7x+10 x+1 的最小值 点拨对于本题中的函数解析式，可把x十1看成 一个整体（可直接换元），然后把函数用x十1来表示， 通过分离常量配成“积为定值”的形式，再用基本不等 二章一元二次函数、方程和不等式么型 式来处理。 解析方法一（整体法）.x>一1， ,.x十1>0. y=x2+7+10 x+1 -x+1)2+5(x+1)+4 x+1 =(x+1)+ x+7+5 ≥2/x+1).4 +7+5 =9. 当且当x+1=千7即x=1时，等号主 当工=1时，函教)=十7红十10(x>-1D取 x+1 得最小值，最小值为9. 方法二（换元法）设x十1=t, x>-1,t>0, 则y--1》+7-D+0-4+2+5≥8 t 故当t=2,即x=1时，原函数取得最小值，最小 值为9. 点评两种方法其实采用的是同一思路，但换元 法更简洁明了. ●变式3若不等式ax2+,1,≥2-3a x2+1 3 (a>0)恒成立，则实数a的取值范围是(). A.{al0<a≤9} B.{aa≥9} cale≥ naoa≤g 题型3由方程转化为不等式求最值 例6(1)若正实数x,y满足2x十y十6= xy,则xy的最小值是 (2)若实数x,y满足x2+y2十xy=1,则 x十y的最大值是 解析(1)设√xy=t(t>0), 由xy=2x+y+6≥2W2xy+6, 得t2≥2W2t+6,(t-32)(t+√2)≥0， 49 重难点手册高中数学必修第一册（上）尺 t≥32，则xy≥18， 当且仅当2x=y,2x十y十6=xy, 即当x=3,y=6时，等号成立. .xy的最小值为18. (2)题中式子消元有难度，而目标是x十y,且由 已知条件可以构造出x十y的平方， 于是有1=(+-y≥(x+)P-(任告) =x+ 号≥t即x十y 当且仅当x=y>0,x2十y2十xy=1,即x=y= 3时，等号成立，故境2 √ 3 答案(118.(2)2 3 点评(1)中，将原方程变为关于√xy的一元二 次不等式；(2)中，将原方程变为关于x十y的不等式， 然后解不等式即可， ●变式4已知x>0,y>0,且x+8y xy=0. (1)当x,y分别为何值时，xy取得最小 值？请求出最小值 (2)当x,y分别为何值时，x十y取得最小 值？请求出最小值， 题型4用常数代换法求最值 例7已知x>0,y>0,且1+9=1，求 y x十y的最小值， 点拨要求x十y的最小值，应构建某两个数 (或式)的积为定值，因而需要对条件进行必要的变形， 有三种思路：①利用“1”的代换进行变形；②消去x,y中 的任意一个变量：③因式分解 解机方法一(“1"的代换)1十9=1， ∴e+y=e+w(2+9)=10+2+号 x>0,y>0, 50 JA(浙江专用) ￥+9x≥2,2.9g-6. x y Nx y 当且仅当义-9x,即y=3x时取等号. 又过+号=1，=4w=12 .当x=4,y=12时，(x十y）mm=16. 方法二（消元法）：上+9=1， x y .'.x=-y y-9 x>0,y>0,y>9. x+y之g+y=y99y =y-9+9 -9+10 .y>9,.y-9>0. “y-9+9、 y-9≥2，/0y-9)x y-9=6. 当且仅当)一9=)”g即y=12时，取等号，此 时x=4. .当x=4,y=12时，(x十y）mn=16. 方法三（因式分解法）由 31+9=1得9x十y= x y xy,即(x-1)(y-9)=9. 由1+9=1知x>1,y>9 又x+y=(x-1)+(y-9)+10≥ 2/(x-1)(y-9)+10=16, 当x一1=y一9时取等号. 又由+号-1释x-4y-2 .当x=4,y=12时，x十y的最小值为16. 点评本题主要考查应用基本不等式求最值的 思想方法，本题的三种解法都用到了基本不等式，且 都对式子进行了适当变形，从而配凑出满足基本不等 式的条件 9变式5若a>0,b>0,且1十 1 日a+1+a+2b 1,则2a十b的最小值为(). 第二章一元二次函教、方程和不等式么出型 -6,6ab)-a0即a=2,6-号时，等号 1 A.2 2 C.4+2√3 Dt 成立.故a2十 (a-b)的最小值为4. 1 题型5多次应用基本不等式求最值 点评多次用不等式求最值时，必须使“等号”能 例8已知a>b>0,求a2+a-b的最 同时成立，如方法一中“b=a一b,a2二。”方法二中 小值 “6=a-b,4h(a-b)=6(a-b)” 1” 点拨如果要顺利运用基本不等式，则需要对目 ◆变式6已知a>0,b>0,当(a+4b)2+ 标式进行变形，如何对含有两个字母但条件缺乏的目 标式进行变形呢？注意到和式中的次数，一个是二 取得最小值时，6= ab 次，一个是负二次，如此便可以向a江十兰的结构方向 易错警示 发展，于是拆项成为必然的选择， ◆易错题11（错误率38%）函数y= 解桐方法-：6a-b)6+a-b)_ 4 4 2x6-3x)0<<)的最大值为 0+6a-而≥a2+号≥4当且仅当6=a-6. ●易错题12（错误率43%）已知x>0, ,即a=2,6=。 a24 时，等号成立 y>0,且x十2y=1,则上十1的最小值为 1 故a2+6a-b的最小值为4 (). 1 A.1+√2 B.3+2√2 方法=a2+6a-b=[b+(a-6)]?+ C.3√2 D.4√2 1 1 6a-b≥4a-b)+6a-b≥4.当且仅当6=a 参考答案见《全书易错题集》第3页 口03核心泰养聚焦一。 考向分类 对于B,D,取a= 261 时+2+4 考向1基本不等式的应用 1 1 6< =8= 例9(2025·北京卷)已知a>0,b>0,则 1、,1 ab' 2×4 (). 2 A.a2+62>2ab B1+11 1+方=2+4=6> 0 11 =42=2 ,故 ab √2×4 D1+12 B,D错误. C.a+b>√ab alb-jab 对于C,由基本不等式可得a十b≥2√ab>√ab, 解析由基本不等式结合特例即可判断. 故C正确 对于A,当a=b时，a2+b2=2ab,故A错误. 答案C 51 重难点手册高中数学必修第一册（上）尺 例10（经典·全国Ⅱ卷）（多选）对任意 x,y,x2+y2-xy=1,则(). A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 铜因为b≤（色生）≤“a,6c. 由x2+y2-xy=1可变形为(x十y)2-1=3xy≤ 3),解得-2x+≤2，当且仅当x=y=-1 时，x十y=一2，当且仅当x=y=1时，x十y=2,所 以A错误，B正确. 由x2+y2-xy=1可变形为(x2十y2)-1=xy≤ 工义，解得2十y≤2，当且仅当x=y=士1时取 2 等号，所以C正确 因为2+y容2四，所以<告艺，从而 得xy≥-x2+y 2 由x2十y2-xy=1可变形为(x2十y2)-1=xy≥ x2+y 2 ,解得3≥1，即x2+y≥号当且 2 仅当工=y=或工=y= 3 时取等号，所以x2十 3 3 y≥号故D错民 答案BC 教材中利用基本不等式求最值的题目很 回归教材 多，如P45例1，P46练习第3、4题 常考题型 选填题难度系数0.7高考热度★★★ 核心素养 逻辑推理、数学运算 素养水平水平二 52 A(浙江专用) 考向2用常数代换法求最值 例1☐(2025·上海卷)设a,b>0,a十 1 =1,则+的最小值为 翠折灵活利用1”将6十日=6+)： (口十方)展开，利用基本不等式计算即可. 易知6+日-b+日)(a+号)=b+品+2≥ +2=4 2abd 当且仅当ab=1,即a= 26=2时取得最小值， 答案4. 回归教材教材P48习题2.2第1、5题的拓展延伸 常考题型选填题难度系数0.2高考热度★★★ 核心素养 逻辑推理、数学运算 素养水平水平二 真题演练 1.(经典·江苏卷，考向1)已知5x2y2+ y=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是 2.（经典·天津卷，考向2)设x>0,y>0, x+2y=5,则+1)2y+D的最小值为. √xy 3.(经典·天津卷，考向1)若a,b∈R, 山>0，则牛格十销最小值为】 4.(经典·北京卷，考向2)已知x≥0，y≥ 0,且x十y=1,则x2+y2的取值范围是