2.3.3 点到直线的距离公式（导学案） 数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“点到直线的距离公式”，涵盖定义理解、公式推导（向量投影法等）、记忆与解题步骤，及四大应用题型。课堂导入通过回顾直线方程、交点坐标求法，自然引出距离问题，搭建前后知识联系的学习支架。 导学案突出向量投影法推导逻辑，对比三种推导方法，归纳四大应用模型与解题方法，结合高频易错警示。通过数形结合、转化化归思想，提升学生数学抽象、数学运算和数学建模核心素养，习题梯度合理，助力规范解题与自主反思。

2.3.3 点到直线的距离公式（导学案） 1. 理解点到直线距离的几何定义：点到直线垂线段的长度；能通过向量投影法自主推导点到直线距离公式，了解坐标联立柯西不等式两种推导思路。 1. 熟记距离公式 ，掌握解题标准步骤：先化直线一般式，再代入参数计算，规范处理绝对值根式化简。 1. 熟练运用公式解决基础计算含参数距离求值三角形面积动点距离最值四类题型，能识别“定点到直线动点最短距离=点到直线距离”模型。 1. 在公式推导与解题中体会数形结合转化化归设而不求特殊到一般数学思想，提升数学运算数学抽象数学建模核心素养。 重点： 1. 点到直线距离公式记忆与标准化解题流程； 1. 向量投影法推导公式的核心逻辑； 1. 公式四大基础应用：求距离求参数三角形面积最短距离最值。 难点： 1. 单位法向量投影推导距离的几何逻辑； 1. 含绝对值距离方程分类讨论，参数范围求解； 1. 复杂直线标准化变形，符号根式综合运算； 1. 动点到定直线最短距离模型识别与转化。 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　点到直线的距离 (1)定义 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的 的长度． (2)点到直线的距离公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ ． [说明]　直线方程必须是一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式． 知识点二　两条平行直线间的距离 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的 的长，也就是一条平行直线上任一点到另一直线的 ． (2)两条平行直线间的距离公式 ①P(x0，y0)为l1：Ax＋By＋C1＝0上一点，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)，则l1与l2间的距离d＝ ． ②两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝ ． [说明]　两条直线的方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等． 引言：引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程就可对直线做定量研究， 思考：能否借助直线方程对“情境引入”中的“交点”进行定量研究呢？ 预设：能，可以借助直线方程把交点具体坐标求出来 追问：还有哪些量可以通过直线方程利用代数方法进行定量研究呢？ 预设：两点之间的距离、点到直线的距离、两平行直线的距离等 回顾：若点在直线上,则点的坐标与直线的方程有什么关系? 学生：回顾上节课所学知识，得出答案： 追问：已知两条直线相交，它们的交点坐标与直线的方程有什么关系？ 师生：因为点为直线的交点， 所以点为直线，也在直线上，； 思考：从代数角度，将以上方程①和方程②联立，过程方程组，会有什么结论？ 学生：解方程组，可以得到，即可以得到交点P的坐标 师生总结：求两条直线交点坐标的方法： ①求：若相交直线方程未知，先求直线的方程； ②构：将交点坐标代入两条直线方程，构成方程组 ③解：解方程组，得到交点坐标. 例1 求下列两条直线的交点坐标，并画出图形： 例2判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： （1），； （2），； （3），． 思考：你能用直线的斜率判断上述各对直线的位置关系吗?比较用斜率判断和解方程组这两种方法，你会优先选择哪一种? 一、知识清单 1. 核心公式 到： 特殊：； 2. 三种推导方法对比 1. 坐标联立：思路简单，运算繁杂； 1. 向量投影：设而不求，运算最简（课堂重点）； 1. 柯西不等式：拓展提升，不等式工具应用。 3. 四大应用模型 1. 基础距离计算； 1. 距离条件求参数； 1. 三角形面积（距离作高）； 1. 动点距离最值（垂线段最短）。 4. 高频易错警示 1. 直线未化为一般式，符号对应错误； 1. 分子遗漏绝对值，算出负数距离； 1. 根号下忘记开方； 1. 动点最值硬算两点距离，不会直接套用距离公式简化； 1. 三角形面积忘记乘以。 5. 核心数学思想 数形结合、转化化归、设而不求、特殊到一般。 二、方法归纳 方法1：判断并计算点到直线的距离：先化一般式→确认A、B、C→代入公式→计算化简。 方法2：已知距离求参数值（范围）：列距离等式（不等式）→解方程（不等式）→注意验证。 方法3：求三角形面积：选底边→求底边长（两点距离）→求高（点到直线距离）→代入面积公式。 方法4：距离最值问题——定点到动直线：找直线过定点→最大距离为两定点距离。 方法5：距离最值问题——动点到定直线：等价转化为点到直线的距离。 方法6：等距离问题（两点到直线距离相等）：列距离等式→绝对值方程→注意分类讨论。 1.（25-26高二上·江西赣州·期末）点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知直线过定点，点到直线的距离的最大值为5，则实数（   ） A．0或6 B．或7 C．6 D．7 3.（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知点到直线的距离为，则等于（    ） A． B． C．或 D． 4.（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知点，直线，则点A关于直线l对称的点的坐标为_______． 5.（2025·江苏·模拟预测）已知，两点到直线的距离相等，则（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.3 点到直线的距离公式（导学案） 1. 理解点到直线距离的几何定义：点到直线垂线段的长度；能通过向量投影法自主推导点到直线距离公式，了解坐标联立柯西不等式两种推导思路。 1. 熟记距离公式 ，掌握解题标准步骤：先化直线一般式，再代入参数计算，规范处理绝对值根式化简。 1. 熟练运用公式解决基础计算含参数距离求值三角形面积动点距离最值四类题型，能识别“定点到直线动点最短距离=点到直线距离”模型。 1. 在公式推导与解题中体会数形结合转化化归设而不求特殊到一般数学思想，提升数学运算数学抽象数学建模核心素养。 重点： 1. 点到直线距离公式记忆与标准化解题流程； 1. 向量投影法推导公式的核心逻辑； 1. 公式四大基础应用：求距离求参数三角形面积最短距离最值。 难点： 1. 单位法向量投影推导距离的几何逻辑； 1. 含绝对值距离方程分类讨论，参数范围求解； 1. 复杂直线标准化变形，符号根式综合运算； 1. 动点到定直线最短距离模型识别与转化。 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　点到直线的距离 (1)定义 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段的长度． (2)点到直线的距离公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． [说明]　直线方程必须是一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式． 知识点二　两条平行直线间的距离 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长，也就是一条平行直线上任一点到另一直线的距离． (2)两条平行直线间的距离公式 ①P(x0，y0)为l1：Ax＋By＋C1＝0上一点，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)，则l1与l2间的距离d＝． ②两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝． [说明]　两条直线的方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等． 引言：引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程就可对直线做定量研究， 思考：能否借助直线方程对“情境引入”中的“交点”进行定量研究呢？ 预设：能，可以借助直线方程把交点具体坐标求出来 追问：还有哪些量可以通过直线方程利用代数方法进行定量研究呢？ 预设：两点之间的距离、点到直线的距离、两平行直线的距离等 回顾：若点在直线上,则点的坐标与直线的方程有什么关系? 学生：回顾上节课所学知识，得出答案： 追问：已知两条直线相交，它们的交点坐标与直线的方程有什么关系？ 师生：因为点为直线的交点， 所以点为直线，也在直线上，； 思考：从代数角度，将以上方程①和方程②联立，过程方程组，会有什么结论？ 学生：解方程组，可以得到，即可以得到交点P的坐标 师生总结：求两条直线交点坐标的方法： ①求：若相交直线方程未知，先求直线的方程； ②构：将交点坐标代入两条直线方程，构成方程组 ③解：解方程组，得到交点坐标. 教师：从几何角度和代数角度归纳分析，对应的关系，完成下列表格 几何角度 代数角度 点P 直线l 点P在直线l上 直线l1与l2的交点是P 学生：完成表格. 例1 求下列两条直线的交点坐标，并画出图形： 解：解方程组，得，所以，与的交点是，图形如图： 跟踪练习 求直线的交点坐标. 解：解方程组，得，所以，与的交点是 例2判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： （1），； （2），； （3），． 分析：解直线的方程组成的方程组，若方程组有唯一解，则与相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则；若方程组中的两个方程可化成同一个方程，则与重合． 解：（1）解方程组，得，所以，与相交，交点是． （2）解方程组 得，矛盾，这个方程组无解，所以与无公共点，． （3）解方程组，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，与重合． 师生总结：已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)： 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 思考：你能用直线的斜率判断上述各对直线的位置关系吗?比较用斜率判断和解方程组这两种方法，你会优先选择哪一种? 学生：用斜率判断 追问：解方程组判断直线位置关系真的一无是处吗？有没有优点？ 学生：非也，在判断相交关系时，斜率法只能判断是否相交，而解方程组法，还可以直接把交点坐标求出来. 一、知识清单 1. 核心公式 到： 特殊：； 2. 三种推导方法对比 1. 坐标联立：思路简单，运算繁杂； 1. 向量投影：设而不求，运算最简（课堂重点）； 1. 柯西不等式：拓展提升，不等式工具应用。 3. 四大应用模型 1. 基础距离计算； 1. 距离条件求参数； 1. 三角形面积（距离作高）； 1. 动点距离最值（垂线段最短）。 4. 高频易错警示 1. 直线未化为一般式，符号对应错误； 1. 分子遗漏绝对值，算出负数距离； 1. 根号下忘记开方； 1. 动点最值硬算两点距离，不会直接套用距离公式简化； 1. 三角形面积忘记乘以。 5. 核心数学思想 数形结合、转化化归、设而不求、特殊到一般。 二、方法归纳 方法1：判断并计算点到直线的距离：先化一般式→确认A、B、C→代入公式→计算化简。 方法2：已知距离求参数值（范围）：列距离等式（不等式）→解方程（不等式）→注意验证。 方法3：求三角形面积：选底边→求底边长（两点距离）→求高（点到直线距离）→代入面积公式。 方法4：距离最值问题——定点到动直线：找直线过定点→最大距离为两定点距离。 方法5：距离最值问题——动点到定直线：等价转化为点到直线的距离。 方法6：等距离问题（两点到直线距离相等）：列距离等式→绝对值方程→注意分类讨论。 1.（25-26高二上·江西赣州·期末）点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求点到直线的距离 【分析】利用点到直线的距离公式计算即得. 【详解】点到直线的距离为. 故选：B. 2.（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知直线过定点，点到直线的距离的最大值为5，则实数（   ） A．0或6 B．或7 C．6 D．7 【答案】A 【知识点】直线过定点问题、已知点到直线距离求参数 【分析】根据定点到动直线的距离最大值列式求解即可. 【详解】设定点，则点到直线的距离的最大值为， 解得或6. 故选：A. 3.（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知点到直线的距离为，则等于（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【知识点】已知点到直线距离求参数 【分析】由点到直线的距离公式，即得解 【详解】由点到直线的距离公式得，即， 又，所以． 故选：B. 4.（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知点，直线，则点A关于直线l对称的点的坐标为_______． 【答案】 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】根据给定条件，利用轴对称的意义列式求解. 【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得， 所以点关于直线对称的点的坐标为. 故答案为： 5.（2025·江苏·模拟预测）已知，两点到直线的距离相等，则（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 【答案】C 【知识点】求点到直线的距离、已知点到直线距离求参数 【分析】利用点到直线公式结合题目信息列式可得答案. 【详解】点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 由题意得，解得或. 故选：C. 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $